2026届北京市朝阳区陈经伦中学高三下学期联考数学试题含解析

这是一份2026届北京市朝阳区陈经伦中学高三下学期联考数学试题含解析，共8页。试卷主要包含了设等差数列的前项和为，若，则，定义在上的函数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数（或）的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．复数满足为虚数单位)，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：
①直线与直线的斜率乘积为；
②轴；
③以为直径的圆与抛物线准线相切.
其中，所有正确判断的序号是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
5．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．23B．25C．28D．29
6．若表示不超过的最大整数(如，，)，已知，，，则（ ）
A．2B．5C．7D．8
7．定义在上的函数满足，则（）
A．-1B．0C．1D．2
8．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）
A．B．C．D．
9．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的最小实根的值为（ ）
A．B．C．D．
12．在中，，则=（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的展开式中，的系数为________．
14．已知函数在处的切线与直线平行，则为________.
15．已知实数，对任意，有，且，则______.
16．若非零向量，满足，，，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分.
（1）设抛掷4次的得分为，求变量的分布列和数学期望.
（2）当游戏得分为时，游戏停止，记得分的概率和为.
①求；
②当时，记，证明：数列为常数列，数列为等比数列.
18．（12分）在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求边上的高.
19．（12分）设椭圆E:（a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．
20．（12分）已知函数，其中e为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.
21．（12分）在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数，为常数，且）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.设点在圆外.
（1）求的取值范围.
（2）设直线与圆相交于两点，若，求的值.
22．（10分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）求的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求时的函数值，再排除一个，得正确选项．
【详解】
分析知，函数（或）为偶函数，所以图象关于轴对称，排除B，C，
当时，，排除D，
故选：A．
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．
2、C
【解析】
，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知，，故的虚部为.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
3、D
【解析】
利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系.
【详解】
是偶函数，，
而，因为在上递减，
，
即．
故选:D
【点睛】
本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.
4、B
【解析】
由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，，从而，，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，进而判断第三个结论.
【详解】
解：由题意，可设直线的方程为，
代入抛物线的方程，有．
设点，的坐标分别为，，
则，．
所．
则直线与直线的斜率乘积为．所以①正确．
将代入抛物线的方程可得，，从而，，
根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，
所以直线轴．所以②正确．
如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，
则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，
则．所以③不正确．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．
5、D
【解析】
由可求，再求公差，再求解即可.
【详解】
解：是等差数列
，又，
公差为，
，
故选：D
【点睛】
考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.
6、B
【解析】
求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．
【详解】
解：.，
∴，，
，
同理可得：；；.；，，…….
∴.
故是一个以周期为6的周期数列，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．
7、C
【解析】
推导出，由此能求出的值．
【详解】
∵定义在上的函数满足，
∴，故选C．
【点睛】
本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.
8、C
【解析】
根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时的值，进而得判断框内容.
【详解】
根据循环程序框图可知，
则，
，
，
，
，
此时输出，因而不符合条件框的内容，但符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项，
故选：C.
【点睛】
本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.
9、D
【解析】
由半圆面积之比，可求出两个直角边 的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出.
【详解】
解：由题意知 ，以 为直径的半圆面积，
以 为直径的半圆面积，则，即.
由 ，得 ，所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.
10、D
【解析】
由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案.
【详解】
由题，得，
因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，
所以函数的最小正周期，则，
所以，
当时，，
所以是函数的一条对称轴，
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.
11、C
【解析】
先确定解析式求出的函数值，然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的，通过计算即可得到答案.
【详解】
当时，，所以，故当
时，，所以，而
，所以，又当时，
的极大值为1，所以当时，的极大值为，设方程
的最小实根为，，则，即，此时
令，得，所以最小实根为411.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.
12、B
【解析】
在上分别取点,使得,
可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．
【详解】
如下图，，在上分别取点,使得,
则为平行四边形，故,故答案为B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.
【详解】
的展开式中，
所求项为：，
的系数为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.
14、
【解析】
根据题意得出，由此可得出实数的值.
【详解】
，，直线的斜率为，
由于函数在处的切线与直线平行，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
15、-1
【解析】
由二项式定理及展开式系数的求法得，又，所以，令得：，所以，得解．
【详解】
由，且，
则，
又，
所以，
令得：
，
所以，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
16、1
【解析】
根据向量的模长公式以及数量积公式，得出，解方程即可得出答案.
【详解】
，即
解得或（舍）
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）分布列见解析，数学期望为6；（2）①；②证明见解析
【解析】
（1）变量的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，进而可求出变量的分布列和数学期望；
（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，分别求出两种情况的概率，进而可求得；②得分分两种情况，第一种为得分后抛掷一次正面向上，第二种为得分后抛掷一次反面向上，可知当且时，，结合，可推出，从而可证明数列为常数列；结合，可推出，进而可证明数列为等比数列.
【详解】
（1）变量的所有可能取值为4，5，6，7，8.
每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率也为，
则，
.
所以变量的分布列为：
故变量的数学期望为.
（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为.
②得分分两种情况，第一种为得分后抛掷一次正面向上，第二种为得分后抛掷一次反面向上，
故且时，有，
则时，，
所以，
故数列为常数列；
又，
，所以数列为等比数列.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查常数列及等比数列的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）利用正弦定理将边化成角，可得，展开并整理可得，从而可求出角；
（2）由余弦定理得，进而可得，由，可求出的值，设边上的高为，可得的面积为，从而可求出.
【详解】
（1）由题意，由正弦定理得.
因为，所以，所以，展开得，整理得.
因为，所以，故，即.
（2）由余弦定理得，则，得，故，
故的面积为.
设边上的高为，有，故，
所以边上的高为.
【点睛】
本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
19、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
，
要使,需使,即,所以,所以又,
所以,所以,即或,
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,,,
所求的圆为,此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系．
点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理．存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备．（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性．
20、（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.
【解析】
（1）由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解；
（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解
【详解】
（1）,
①当时,,
∴函数在内单调递增；
②当时,令,解得或,
当或时,,则单调递增,
当时,,则单调递减,
∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为
（2）（Ⅰ）当时,所以在上无零点；
（Ⅱ）当时,,
①若,即,则是的一个零点；
②若,即,则不是的零点
（Ⅲ）当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以
①当时,在上单调递增。又，所以
（ⅰ）当时,在上无零点；
（ⅱ）当时,,又,所以此时在上恰有一个零点；
②当时,令,得,由,得；由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,
因为,,所以此时在上恰有一个零点,
综上,
【点睛】
本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想
21、（1）（2）
【解析】
（1）首先将曲线化为直角坐标方程，由点在圆外，则解得即可；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，设、对应的参数分别为，列出韦达定理，由及在圆的上方，得，即即可解得；
【详解】
解：（1）曲线的直角坐标方程为.
由点在圆外，得点的坐标为，结合，解得.
故的取值范围是.
（2）由直线的参数方程，得直线过点，倾斜角为，
将直线的参数方程代入，并整理得
，其中.
设、对应的参数分别为，则，.
由及在圆的上方，得，即，代入①，得，，
消去，得，结合，解得.
故的值是.
【点睛】
本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程的几何意义的应用，属于中档题.
22、（1），；（2）1．
【解析】
（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；
（2）设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．
【详解】
（1）∵点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，|PF|＝3，
∴23，
解得：p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x，
∵点P（2，n）（n＞0）在抛物线C上，
∴n2＝4×2＝8，
由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．
（2）∵F（1，0），∴设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，
代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1，y2是y2+4my﹣4＝0的两个不同实根，
∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，
x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，
x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，
（），（x2﹣2，），
（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）
＝x1x2﹣2（x1+x2）+4
＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8
＝﹣8m2+8m+5
＝﹣8（m）2+1．
∴当m时，取最大值1．
【点睛】
本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
4
5
6
7
8