2025_2026学年高二数学上册期末模拟试卷北师大版 [含答案]

这是一份2025_2026学年高二数学上册期末模拟试卷北师大版 [含答案]，共4页。试卷主要包含了测试范围，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版选择性必修第一册。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线x=−14y2的准线方程为（ ）
A．x=−1B．x=1C．y=−1D．y=1
1．【答案】B
【解析】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左，
所以抛物线的准线方程为．
故选：B.
2．经过两点5,3和−1,9的直线的倾斜角为（ ）
A．π4B．π3C．34πD．56π
2．【答案】C
【解析】经过两点和的直线斜率为，
所以该直线的倾斜角为，
故答案为：C.
3．直线l的一个方向向量为m=−4,2,2，平面α的一个法向量为n=2,−1,x，若l/平面α，则x=（ ）
A．−5B．5C．−1D．1
3．【答案】B
【解析】直线的一个方向向量为，
平面的一个法向量为，
因为平面，则，
所以，，解得.
故选：B.
4．甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有（ ）
A．480B．360C．240D．144
4．【答案】A
【解析】优先甲、乙、丙进行排列，先从6个位置中选出3个位置，共有种，
根据甲、乙均在丙同侧，有甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙、丙乙甲共4种排法，
剩下3人共有种排法，
根据分步计数乘法原理，所求不同的排法共有种.
故选:A.
5．已知随机变量X的分布列如下，若EX=0，则D3X+1=（ ）
A．73B．7C．21D．22
5．【答案】C
【解析】由题意可得：，解得，
则，
所以.
故选：C.
6．在棱长均相等的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60∘，则向量AC1在向量AA1上的投影向量为（ ）
A．2BB1B．32BB1C．3BB1D．2BB1
6．【答案】D
【解析】设平行六面体棱长为，，
且，，
，
在上的投影向量为.
故选：D.
7．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点D在C上且F2D=2BF2，若以AB为直径的圆过点F1，则ba的值为（ ）
A．53B．63C．223D．324
7．【答案】C
【解析】连接，，，，
由以AB为直径的圆恰好过左焦点可得，由双曲线的对称性得四边形为矩形，
可设，则，
在直角三角形中，可得，
即，解得，
又在直角三角形中，，
即，，
因为
所以，即.
故选：C．
8．在三棱锥O−ABC中，OA=OB=OC=1，AB=BC=CA=2，点P满足OP=mOA+ nOB+lOC，若实数m，n，l满足m+2n+3l=3，则OP的最小值为（ ）
A．3B．355C．377D．31414
8．【答案】D
【解析】因为，，
所以，即，
同理可证OA，OB，OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
所以，设，，
则，所以，，，四点共面，
因为，，，，
所以，.
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，
因为，所以的最小值为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．设随机变量X~Nμ1,σ12，随机变量Y~Nμ2,σ22，其正态密度曲线如图所示，则（ ）
A．μ1PX≥μ2
C．σ1>σ2D．PY≥σ1>PY≥σ2
9．【答案】ABD
【解析】，，
两曲线分别关于直线对称，由图可知，故A正确；
又，所以，故B正确；
又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故C错误；
又，所以，故D正确；
故选：ABD.
10．在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（ ）
A．y=c1x2+c2xB．y=x+c1x+c2
C．y=c1+lnx+c2D．y=c1ex+c2
10．【答案】ABC
【解析】对于选项A ：，令 则；
对于选项B：
令；
对于选项 C：
即 令 则；
对于选项D： 令则
此时斜率为 ，与最小二乘法不符．
故选：ABC.
11．已知随机事件A，B满足P(A)=12，P(B)=13，P(A|B)=P(A|B)，则（ ）
A．P(AB)=2P(AB)B．P(AB)=P(A)P(B)
C．P(A|B)=14D．P(A|B)=13
11．【答案】AB
【解析】对于A，因为，，，
所以，
所以，即，故A正确；
对于B，因为①，，
又因为，所以，所以
代入①可得：，所以，
，所以，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D不正确；
故选：AB.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知在x2+x+a5展开式中含x5的项的系数为51，则正实数a的值为 ．
12．【答案】
【解析】由展开式中，
所以，
解得或（舍）．
故答案为：.
13．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A的坐标为−4,2，AB边上的中线CM所在的直线方程为
x−y+1=0，∠B的角平分线所在的直线方程为2x+y−2=0，则直线BC的方程为 ．
13．【答案】
【解析】设，
因为点的坐标为，所以中点，
又所在的直线方程为，
所以，即，
又点在直线上，
所以，
由解得，所以，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
14．已知以M为圆心的圆M:x2+y2−12x−14y+60=0及其上一点A(2,4)，设T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA+TP=TQ，则实数t的取值范围为 ．
14．【答案】
【解析】根据题意，圆，即，
其圆心为，半径，
设，，
又由，则，，，
若，则有，变形可得，
若在圆上，则，
则有，变形可得：，
即点也在圆上，
从而圆与圆有公共点，
则有，
变形可得：，
解得：，即的取值范围为；
故答案为：．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知在3x−123xn的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14:3.
(1)求n；
(2)求展开式中所有的有理项.
15．（13分）
【解析】（1）依题意有，即，
整理可得，解得或（不合题意，舍去），所以的值为.
（2）展开式通项为，
由题意得，则，
所以第项、第项与第项为有理项，它们分别为，，.
16．（15分）
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，AB=AA1=2，∠BAD=π3，点E是棱A1B1的中点.
(1)求异面直线BE与AD1所成角的余弦值；
(2)求直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值.
16．（15分）
【解析】（1）连接，交于点，因为是菱形，所以，
分别以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
，，则，
所以,
点是棱的中点,则，
，
csBE,AD1=BE⋅AD1BEAD1=12−32+414+34+4⋅1+3+4=31020，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）由（1）知，设平面的一个法向量是，
则，取得，
，
csBB1,n=BB1⋅nBB1n=225=55，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．（15分）
地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl（导致早起倾向）和PER（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标：
长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重，
(1)从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；
(2)若编号1～8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9～16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n＝a＋b＋c＋d）.
17．（15分）
【解析】（1）由题意得，只实验鼠中，有7只体征状况严重.
的可能取值有0，1，2，3，
， ，
， .
所以的分布列为
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
（2）由题意得，根据所给数据，得到2×2列联表：
零假设：实验鼠体征状况与蛋白干预没有关系.
利用列联表中的数据得，，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验鼠体征状况与蛋白干预无关.
18．（17分）
甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得−10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为12，乙答对的概率为23，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲得10分的概率；
(2)设这次比赛共有4局，设Y为甲得0分的次数，求Y的分布列和数学期望；
(3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率．
18．（17分）
【解析】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况，
根据独立事件概率乘法公式，可得；
（2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错，
甲、乙都答对的概率为，
甲、乙都答错的概率为，
根据互斥事件的概率加法公式，可得，
因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以.
则，
，
，
，
，
则的分布列为：
则的数学期望；
（3）甲最终获胜有以下四种情况：
① 三局都得10分，其概率为，
② 两局得10分，一局得分，其概率为，
③ 两局得10分，一局得分，其概率为，
④ 一局得10分，两局得分，其概率为，
综上可得，甲最终获胜的概率为.
19．（17分）
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点M与两定点Q,P的距离的比值MQMP=λ(λ>0,λ≠1)是个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=2，定点分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=12.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，过点F斜率为k(k