河北省廊坊市安次区2026年初中学业水平考试第一次模拟数学试卷（含解析）

这是一份河北省廊坊市安次区2026年初中学业水平考试第一次模拟数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了考试结束，监考人员将答题卡收回等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上．
3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．
4．考试结束，监考人员将答题卡收回．
卷Ⅰ（选择题，36分）
一、选择题（本题共12道小题，每题3分，共计36分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）
1. 如图，这是某市2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最小的一天是（ ）
A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期四
【答案】C
【解析】
【详解】解：星期一的温差为：，
星期二的温差为：，
星期三的温差为：，
星期四的温差为：，
∵，
∴日温差最小的一天是星期三．
2. 如图，是的外角，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
【详解】解：是的外角，
．
3. 已知是方程的解，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将已知解代入原方程，即可求出的值.
【详解】解：∵ 是方程 的解
∴ 将代入原方程，得
移项计算得
因此的值为.
4. 下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的定义， 根据“从左面看几何体，所看到的视图是左视图”即可求解．画轮廓线时，看见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键．
【详解】解：由题意得，此领奖台的左视图是：
故选：C．
5. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点分别是点．下列结论不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质即可得到结论．
【详解】解：把△以点为中心顺时针旋转得到△，
，，，故A，B，不符合题意．
不一定等于，
∴符合题意；
故选：．
6. 2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案．
【详解】解：．
故选：C．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对应知识点逐一判断即可．
【详解】根据初中整式运算法则逐一判断：
对于A选项，∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，A运算正确；
对于B选项，∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∴，B运算错误；
对于C选项，∵与不是同类项，不能合并，
∴，C运算错误；
对于D选项，∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，
∴，D运算错误．
8. 如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，交于点，证明四边形为菱形，则，可得为等边三角形和，则，进而根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，交于点，则：，
四边形为平行四边形，，
四边形为菱形，
，
∴，为等边三角形，
，
阴影部分的面积．
9. 如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明．
【详解】解：，，
，
，
B选项正确；
和不是同位角，
无法证明，
A选项错误；
，
，
C选项错误；
，且与不一定会相等，
与不一定会相等，
D选项错误．
10. 某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案．
【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快．
根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）．
∴“破浪”队获胜的概率为 ．
11. 如图，菱形和菱形中，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接交于点O，根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明，再由勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，连接交于点O，
∵四边形和都是菱形，，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，为等边三角形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
12. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可．
【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图：
在中，利用勾股定理，得，
在中利用勾股定理，得，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中利用勾股定理，得，
则，
解得，
∴点N的纵坐标是．
故选：B．
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本大题有4个小题，每空3分，共12分，把答案写在答题卡的横线上．）
13. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：
14. 若方程的两个根为和，则______．
【答案】
【解析】
【分析】确定方程的二次项系数和常数项，代入关系计算即可．
【详解】解：对于一元二次方程 ，
若方程的两个根为，，根据根与系数的关系得 ，
本题中方程为 ，
可得 ，，
代入得 ．
15. 化简的结果是______．
【答案】
【解析】
【详解】解：
16. 取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点的横坐标为1，
∴点的坐标为，
∴点的纵坐标为1，
∴点的坐标为，
同理点的横坐标为，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
∴四个点一个循环，
∵余1，
∴点的坐标与点相同，是，
故答案为：．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答题应写出文字说明或演算步骤）
17. 如图，在数轴上有，，三点，点、所表示的数分别为和．
（1）若点、关于点对称，求、、三点所表示的数的和；
（2）若点表示的数为，且点在点的左侧，求的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：点、所表示的数分别为和，点、关于点对称，
∴表示的数为，
三点表示的数的和为，；
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得：，
的取值范围是．
18. 在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程．
化简：
原式．第一步
．第二步
．第三步
．第四步
（1）嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是： ；
（2）请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值．
【答案】（1）第一步和第二步
（2）见解析，当时，原式
【解析】
【分析】（1）第一步加法运算出错，第二步因式分解出错；
（2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可．
【小问1详解】
解：嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：第一步和第二步；
【小问2详解】
解：
，
当时，原式．
19. 当下，人工智能发展日新月异，其应用已成为提升工作效率的重要引擎．某公司计划从A、B两款人工智能产品中选择一款投入使用．该公司对A、B两款人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试，每项能力均测试10次，取10次测试得分的平均数作为该项的成绩（单位：分）．各项数据统计如下：
语言交互能力得分统计表
分析能力和学习能力测试得分统计表
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a，b，c的值分别是多少？（直接写出答案）
（2）哪款产品的语言交互能力更强？请综合各项统计数据说明理由．
（3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的权重计算最终成绩，那么哪款产品的成绩最好？
【答案】（1），，
（2）A产品，理由见详解
（3）B产品的成绩最好
【解析】
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义，结合统计图即可求得结果；
（2）通过对比A、B产品的语言交互能力得分统计表中的平均数、众数和中位数，得分更高者说明能力更强，即可判断；
（3）利用平均数，先分别计算A产品和B产品在语言交互能力、分析能力、学习能力的权重成绩，再对比二者的成绩，得分高者成绩最好．
【小问1详解】
解：由统计图可知，
A产品10次得分的平均数为（分），
B产品10次得分从小到大排序为：5、6、6、6、7、7、8、9、9、10，
∵10为偶数，
∴B产品10次得分的中位数为第5个和第6个数据的平均数，而第5和第6个数据均为7，
∴B产品10次得分的中位数为（分），
在A产品中，出现次数最多的得分为7分，即众数为7分，
∴，，．
【小问2详解】
解：A产品，
理由：在语言交互能力得分统计表中，A产品的平均数、中位数和众数均高于B产品，
所以A产品语言交互能力更强．
【小问3详解】
解：A产品：（分），
B产品：（分），
∵，
∴B产品的成绩最好．
20. 如图，在中，，，分别是边上的高线和中线．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，高线，中线的意义，熟练掌握性质是解题的关键．
（1）根据题意，得，，结合解答即可．
（2）根据是边上的中线，得到．于是，代换解答即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
∴．
【小问2详解】
解：∵是边上的中线，
∴．
∴，
．
21. 某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库、甲平均每小时扫描200件快递入库．乙平均每小时送150件快递出库．某天仓库里原有若干件快递，甲工作2小时后，乙开始工作．又过了3小时后，甲离开，乙按原速工作．当天仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的部分关系图象如图所示．
（1）该天仓库里原有 件快递，点A的坐标为 ；
（2）分别求和时，y与x之间的函数解析式；
（3）已知仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，该天“半饱和”状态持续了小时，求a的值．
【答案】（1）200，(2，600)
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据图像即可求解；
（2）分时间段根据数量变化规律求函数解析式；
（3）结合“半饱和”状态的持续时间列方程求解．
【小问1详解】
解：根据题意，该天仓库里原有件快递，
点A的坐标为；
【小问2详解】
当时，设y关于x的函数解析式为．
将坐标和代入得：
解得
．
而派送员乙送750件需要的时间是（小时），
函数图象与x轴的交点坐标是．
当时，设y关于x的函数解析式为
将坐标和代入得：
解得
，
y关于x的函数解析式为．
【小问3详解】
当时，．解得
当时，．解得．
解得．
22. 项目背景：胜芳古镇是国家级历史文化名镇，其“胜芳河灯会”是首批国家级非物质文化遗产．活动小组为研究灯会中大型灯门拱架的结构，取其圆形拱架截面示意图（截面为圆的一部分）进行测量与建模实践．
（1）活动一，测量与建模：如图1是灯门拱架截面示意图（截面为圆的一部分），测得圆形拱门的开口弦长为，拱高（圆拱的最大高度）为．求及半径的长；
（2）活动二，灯光效果模拟实验：如图2为模拟灯会灯光效果，光源点M沿弧缓慢移动．经测量，结合（1）中的数据回答问题．
①当点M在弧的三等分点处，且在点A的右侧时，求劣弧的长；
②如图3，当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口．求此时的度数，并判断当光源M沿弧（不含端点C，D）移动时，的度数是否发生变化．
【答案】（1）
（2）①；②，的度数不变
【解析】
【分析】（1）通过弦，拱高，弦端点的半径，垂直于弦的半径，构造直角三角形，利用勾股定理，即可得出结论；
（2）①利用弧长的计算公式，即可得出结果；
②利用圆周角定理及其推论，可得出结果．
【小问1详解】
解：由题意得为圆拱的半径，，
，
设则，
在中，据勾股定理得：，
即，解得，
∴．
【小问2详解】
解：①，
的长m，
当点M在的三等分点处，且在点A的右侧时，
m；
②当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口，为优弧所对的圆周角，
光源M沿（不含端点C，D）移动时，
圆心角不变， ，
的度数不变．
23. 有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．
图1 图2
（1）求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式．
（2）这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度．
（3）当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）有，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题时要能读懂题意，灵并能活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意知，底座抛物线的顶点坐标为，从而可设该二次函数解析式为，又过点，进而求出，可得解析式；
（2）依据题意，由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，故可设该二次函数解析式为，代入得建立方程组进而计算可以得解析式，再令从而可以得解；
（3）依据题意，令，从而可得或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方，进而可以判断得解．
【小问1详解】
解：由题意知，底座抛物线的顶点坐标为，
故可设该二次函数解析式为，
又过点，
．
．
．
【小问2详解】
解：由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，
故可设该二次函数解析式为，代入得
，
，，．
．
当时，．
答：这个不倒翁的总高度为．
【小问3详解】
解：由题意，令，
或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方．
当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，有一部分会偏离边线．
24. 数学实验：折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．
（1）折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
（2）在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
（3）如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析；
（3）改变；的周长的最小值为；
【解析】
【分析】本题考查了正方形的折叠问题．
（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到；
（2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可；
（3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到．
【小问1详解】
解：如图，作，的角平分线即可．
∵，，
∴．
∵，分别是，的角平分线，
∴
∴
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴点G是的中点，
∴点G在边、的垂直平分线上；
【小问3详解】
解：如图，作的角平分线交于E，连接，
∵是折痕，
∴且垂直平分
∴，
∵为定值即，
∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长，
故的最小值为，
此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图：
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
即，
∵
∴
产品
平均数
中位数
众数
A
a
8
c
B
7.3
b
6
产品
分析能力
学习能力
A
7.5
8
B
8
9