2026年山东临沂市罗庄区初中学业水平模拟考试（A卷）数学（含解析）

这是一份2026年山东临沂市罗庄区初中学业水平模拟考试（A卷）数学（含解析），共24页。
注意事项：
1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作；
2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的运算结果等于（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B；
本题考查去绝对值符号，解题的关键是熟练掌握负数的绝对值等于它的相反数．
2. 下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形进行判定即可；
【详解】解：既是中心对称图形也是轴对称图形；
既是中心对称图形也是轴对称图形；
是中心对称图形，不是轴对称图形；
既是中心对称图形也是轴对称图形；
3. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案．
【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥，
故选：D．
4. “共享单车”被称作中国新四大发明，极大地方便了人们的出行．根据共享单车在进入临沂第100天后发布的《临沂单车出行大数据报告》，临沂用户累计骑行总距离达4201万公里，约等于绕地球1050圈，4201万用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将4201万化为普通整数，再根据科学记数法的定义，将其写成的形式，其中，为整数，即可得到正确结果．
【详解】解：∵ 4201万 =42010000 ，
根据科学记数法的要求，需要满足，因此可得
42010000=4.201×107．
5. 下列各因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查因式分解，运用平方差公式、完全平方公式、提取公因式法，对各选项逐一验证即可得到结果．
【详解】解：对选项A：∵−x2+(−2)2=4−x2=22−x2
由平方差公式得 22−x2=(2−x)(x+2)=(−x+2)(x+2)
A正确．
对选项B：∵(x−1)2=x2−2x+1≠x2+2x−1
B错误．
对选项C：∵(4x−1)2=16x2−8x+1≠4x2−4x+1 ，正确因式分解为4x2−4x+1=(2x−1)2
C错误．
对选项D：∵x2−4x=x(x−4) ，而2(x+2)(x−2)=2x2−8≠x2−4x
D错误．
6. 《数学之美》特种邮票于2025年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案不同，其余均相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用树状图法或列表法，得到总的事件结果数和两次抽取的邮票图案名称相同的事件结果数，即可得到概率．
【详解】解：用字母A，B，C，D，分别表示抽取到圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带，
列表如下：
如表，共有16个等可能的事件，其中两次抽取的邮票图案名称相同的事件有4个，
故概率为．
7. 某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里，根据题意即可列出分式方程.
【详解】解：设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里，
依题意得：．
故选D．
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
8. 如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点的旋转路径为弧，若，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设与交于点，连接，由题意得到，证明是等腰三角形，求出和即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，
设与交于点，连接，
矩形绕点逆时针旋转至矩形，
，
，
∴EH=AH2−AE2=62−(32)2=32，
∴，
是等腰直角三角形，
，
∵S△AEH=12AE⋅EH=12×32×32=9 ，
S扇形AHG=nπr2360=45π×62360=92π ，
则阴影部分的面积为S扇形AHG+S△AEH=9π2+9 ．
9. 已知反比例函数经过点,当时自变量的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】先由待定系数法求出k的值，再根据增减性确定自变量x的取值范围.
【详解】解：∵反比例函数经过点，
∴k=(-2) ×3=-6，
∴，
∴当时，；当时，，
∴当时自变量的取值范围为或.
故选：C
本题考查待定系数法和反比例函数的性质，由y≠0，将y值范围进行分类讨论是解答此题的关键.
10. 如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出，得到，证明是的中位线，根据即可得到答案．
【详解】解：抛物线，
对称轴为，当时，
，
，
是线段的中点，
故是的中位线，
，
是以点为圆心，为半径的圆上的动点，
，
二、填空题（本题共1大题，5小题，每小题3分，共15分）
11. 函数中，自变量的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：，，
解得：，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，则___________．
【答案】1或
【解析】
【分析】根据坐标系中两点之间的距离=x1−x22+y1−y22，列方程求解即可．
【详解】解：由题意，得5=2m+3−m−12+m−1−m−12，
解得，m2=−9 ．
13. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：3x2−12x+2=0 ，
方程两边同除以3，得x2−4x+23=0 ，
移项，得x2−4x=−23，
配方，得x2−4x+4=−23+4 ，x−22=103，
∴．
14. 如图，在中，，，边的中点为，边上的点满足．若，则的长是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质以及直角三角形所对的直角边是斜边的一半得到，根据勾股定理求出，即可求出，过点作，求出，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，，
，
边的中点为，
，
过点作，
，
是等腰三角形，
是的中点，
，
．
15. 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由勾股定理得：，
∴，解得：，
即，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解决下列问题：
（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）本题是实数混合运算题，按照运算顺序，先计算乘方，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后合并同类项得到结果．
（2）本题是解分式方程题，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原分式方程的解．
【小问1详解】
解：−14+13+3(tan60°−1)
=−1+33+3(3−1)
=−1+33+3−3
=2−233
【小问2详解】
解：1x−2=2+1+x2−x
方程两边同时乘以，得 1=2(x−2)−(1+x)
展开整理得 1=x−5
解得
检验：当时，x−2=4≠0 ，
因此是原分式方程的解．
17. 如图，矩形中，．
（1）求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形；
（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
解：如图，四边形就是所求作的正方形．
由作图可知，，，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由作图可知，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
【小问2详解】
由（1）知：，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
在中，，
，
∴正方形EFGH的边长为．
本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
18. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
【答案】，
【解析】
【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解．
【详解】解：测角仪显示的度数为，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，，

在中，，
∴．
本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．
19. 小张家准备购买一台电脑，小张将收集到的该地区和其它品牌电脑销售情况的有关数据统计如下：

根据上述三个统计图，请解答：
（1）6至11月三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是___________，11月份B品牌电脑的销售量是___________；
（2）11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖多少台？
（3）若小张打算购买C品牌电脑，那他的理由是什么？请写出你的猜测（写出一条猜测即可）
【答案】（1）A；234 （2）54台 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据第一张图，可得到三种品牌的销售总量；根据扇形图和折线图，通过比例关系，可以得到B品牌电脑的销量；
（2）根据扇形图计算出其它品牌的销量，再作差计算即可；
（3）可从销量，稳定性等多角度回答，理由不唯一．
【小问1详解】
解：由条形图，可知三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是A；
由扇形图可知，11月份A品牌占比，11月份B品牌占比23.4% ，11月份C品牌占比，
结合折线图中数据可知，11月份A品牌销售270台，B品牌销售234台，C品牌销售275台；
【小问2详解】
解：由（1）可知，11月份共销售234÷23.4%=1000 （台），
由扇形图可知，11月份其它品牌共销售1−27%−23.4%−27.5%=22.1% ，
∴其它品牌共销售1000×22.1%=221 （台），
275−221=54 （台），
∴11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖54台；
【小问3详解】
解：理由：C品牌的销量从6月到11月一直十分稳定，且销量较高（答案不唯一）．
20. 某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环．
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：
下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况
（1）的值为___________；
（2）①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象；
②求出当时最符合表中数据的函数解析式；
（3）如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源___________min．
【答案】（1）80 （2）①图象见解析；② （3）66
【解析】
【分析】（1）根据表格数据，可以得出加热的阶段，水温y与时间x呈一次函数关系，由表格可知，每分钟水温上升，16分钟的时候为，，故20分钟的时候刚好；
（2）①根据表格数据描点，再通过加热阶段和降温阶段分别是一次函数关系和类反比例关系，画出图象即可；
②根据表格数据，确定函数解析式即可；
（3）由表格可知，每16分钟一循环，找到第一个16分钟中水温为时对应的时间，再通过循环确定第9次即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，阶段，为加热，且每分钟水温上升，
又，
∴20分钟时，对应的水温为，即；
【小问2详解】
解：①图象如下：
②由表格，可知，
∴当时，，
由表格，可知，当，y是x的一次函数，由题意，，
设，
代入，得，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由表格和图象可知，每16分钟一循环，
在第一个16分钟，当和时，水温为，
故每个16分钟，有2次水温为，第9次为第5个16分钟的第1次，
此时（分钟）．
21. 如图，内接于是的直径，弧弧于点交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）等腰三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理证明∠BAC=∠DAB ，求出，证明，在中，，即可得到结论；
（2）证明，再根据证明，即可得到是等腰三角形；
（3）设，则，得到，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：是的直径，连接，
，
，
，
∴∠BAC=∠DAB ，
，
，
，
，
，
，
∴∠BAC=∠F ，
，
，
∴∠BAC+∠AGE=90° ，
，
，
在中，，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：是等腰三角形，理由如下：
由（1）知，，
，
∵∠BAC=∠F ，且∠BAC+∠AGE=90° ，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
【小问3详解】
解：，
设，则，
，
．
22. 【问题再现】人教版《数学》八年级下册第68页有这样一个题：
如图是一个正方形，点E、F分别是上的点，且，问：吗？为什么？
我们可以通过证明，从而得出．若把题中的换成，同样可以通过证明，从而得出．
（1）如图1，在正方形中，E，F，G分别是上的点，，垂足为点M，求证：．
（2）如图2，在的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，交于点M．则的度数为______；
（3）如图3，点P是线段上的动点，分别以为边在AB的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点M，N．
①求的度数；
②连接交于点H，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）将线段向上平移至处，交于，由，可得进而根据【问题再现】的过程证明即可得出结论；
（2）将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接，设正方形网格的边长为单位1，由勾股定理求得，判断出，即可得出结果；
（3）①平移线段至处，连接，证得，得出，证明，得出，即可得出结果；
②证明，得出即可．
【小问1详解】
证明：将线段向上平移至处，交于，交于，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接，如图2所示：
∴，
设正方形网格的边长为单位1，
则由勾股定理可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
【小问3详解】
①平移线段至处，连接，如图3所示：
则，四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形与四边形都是正方形，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如备用图所示：
∵为正方形的对角线，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质等知识．
23. 在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）．
（1）求这个函数图象的最小值；
（2）无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，求定点坐标；
（3）若点在这个函数图象上，求函数的解析式，并直接写出函数值随增大而减小时的取值范围．
【答案】（1）当时，；当时，
（2）
（3）当时，函数解析式为，的取值范围；当时，函数解析式为，的取值范围．
【解析】
【分析】（1）先将二次函数化为顶点式，得到函数的对称轴为直线，再根据和进行分类讨论即可；
（2）令，则，根据题意得到2x+2=0x2−1=0，即可求出答案；
（3）将代入，解得或，分类讨论即可．
【小问1详解】
解：，
故函数的对称轴为直线，
当时，即时，
，
故在处取得最小值，；
当时，即时，
，
故在处取得最小值，；
当时，；当时，；
【小问2详解】
解：令，则，
即，
无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，
∴2x+2=0x2−1=0，
解得，
故定点坐标为；
【小问3详解】
解：在图像上，
将代入，得，
解得或，
当时，函数解析式为，对称轴为直线，
，当时， 随的增大而减小；
当时，函数解析式为，对称轴为直线，
，当时，随的增大而减小；
当时，函数解析式为，的取值范围；
当时，函数解析式为，的取值范围．
第一次
第二次
A
B
C
D
A
AA
AB
AC
AD
B
BA
BB
BC
BD
C
CA
CB
CC
CD
D
DA
DB
DC
DD
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．
如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．
测出眼睛到地面的距离．
测出所站地方到古树底部的距离．

________．
．
．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）
（参考数据：）
接通电源后的时间（单位：min）
0
1
2
3
4
5
8
10
16
18
20
21
24
32
水箱中水的温度（单位：℃）
20
35
50
65
80
64
40
32
20
50
64
40
20