山东济宁市兖州区2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试卷（含解析）期中下学期

这是一份山东济宁市兖州区2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试卷（含解析）期中下学期，共26页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用复数的运算得，再由共轭复数的定义，即可求解.
【详解】因为，则，
所以.
2. 已知向量.若三点共线，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用三点共线的概念进行求解.
【详解】若，，三点共线，则向量与共线，
因为，，
由共线条件可得：，
化简可得：，求解得：.
故选：A.
3. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦定理可求得，根据斜二测画法得到原图形边长即可．
【详解】因为其中轴，轴，
所以，由余弦定理得，
，
即，解得，
由斜二测画法知原为直角三角形，，，
，
所以周长为．
故选：A．
4. 如图，在圆中，是圆心，点在圆上，的值（ ）
A. 只与圆的半径有关
B. 只与弦的长度有关
C. 既与圆的半径有关，又与弦的长度有关
D. 是与圆的半径和弦的长度均无关的定值
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义去求，与的夹角用和去表示，即得结论.
【详解】设与的夹角为，在中，.
，
的值只与弦的长度有关，
故选：.
本题主要考查向量的数量积，结合圆的性质，属于基础题.
5. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位），则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，再结合两向量的夹角公式求解．
【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，
∴，船行风速：，
∴，
则．
故选：B.
6. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得.
【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使，
则，，
当时，，故充分性不成立，
由，则，
故，所以，
即，故，
所以同向共线，必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
7. 在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】注意到，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到，进而得到结论.
【详解】




∴BA⊥AC,
∴△ABC为直角三角形，
故选：
8. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个球，则该球的半径的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得圆锥的底面半径和高，利用等面积法求得圆锥内切球的半径，从而确定正确答案.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，依题意，圆锥的母线长，
且，所以.
设圆锥的内切球半径为，则，
解得，也即圆锥内的球的半径的最大值是.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. z的虚部为B. z的共轭复数为
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的除法运算公式，化简复数，判断选项.
【详解】由，
故z的虚部为，，，
，A、C对，B、D错.
10. 在中，有，且的面积，判断下列命题正确的是（ ）
A. B. 周长为
C. 外接圆半径为D. 中线的长为
【答案】AD
【解析】
【分析】先由正弦定理得到三边比例，利用余弦定理结合角的范围求出角，再通过面积公式确定参数，进而计算周长、外接圆半径，最后用向量法求出中线的长度，逐一判断选项.
【详解】由正弦定理，得a:b:c=sinA:sinB:sinC=2:3:7，
设，，c=7k （）.
csC=a2+b2−c22ab=4k2+9k2−7k22⋅2k⋅3k=12， 又，故，A选项正确.
S△ABC=12absinC=12⋅2k⋅3k⋅32=332k2=332，解得，则，，.
△ABC的周长为，B选项错误.
由正弦定理，2R=csinC=732=2213，故外接圆半径，C选项错误.
设为中点，则，
|CD|2=14(|CA|2+2CA⋅CB+|CB|2) =14(b2+2abcsC+a2)=14(32+2×3×2×12+22)=194，
故|CD|=192，D选项正确.
11. 中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形．
B. 若，则点的轨迹一定通过的内心．
C. 若为重心，则
D. 若点满足，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据可确定角为锐角，但不一定为锐角三角形，可判定A；根据单位向量、共线向量的概念可判断B；根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D．
【详解】选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为锐角三角形，
故A错误；
选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致．
若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；
选项C：若为的重心，设边的中点为，
则，故C正确；

选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心，
于是有．又，
则
，故D正确．

故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【详解】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为，
所以，所以.
13. 在梯形ABCD中，，，．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理求出，故梯形ABCD为等腰梯形，，作出辅助线，得到旋转体是底面半径为，高为2的圆柱，挖去2个底面半径为，高为的圆锥，求出圆柱和圆锥体积，相减后得到答案.
【详解】梯形ABCD如图所示，

，，，
，，
∵，∴，
，解得．
故梯形ABCD为等腰梯形，，
过点A作于点T，则，．
旋转体是底面半径为，高为2的圆柱，挖去2个底面半径为，高为的圆锥，
则所围成的几何体的体积．
故答案为：
14. 已知的面积为，，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】过作交于点，分别表示出，再由三角形的面积先求出的值，根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出.
【详解】
如图所示，过作交于点.
则有，
，.
因为的面积为，，
所以，解得.
所以
.
解得，即.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数是关于的方程的两个根，且.
（1）求和的值；
（2）记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知也是方程的一个根，利用韦达定理计算即得答案；
（2）由，得到，即得，代入计算即得.
【小问1详解】
由复数是实系数方程的一个根，
可知也是方程的一个根，
由韦达定理，可得，
，
所以，.
【小问2详解】
因为，所以，则，
则得，由（1）可得，，
所以.
16. 如图，在高为2的正三棱柱中，, 是棱的中点．
（1）求该正三棱柱的表面积；
（2）求三棱锥的体积；
（3）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少．
【答案】（1）
（2）
（3）的最小值为；此时
【解析】
【分析】（1）利用三棱柱的表面积公式计算即可；
（2）先证明平面，再由，利用三棱锥的体积公式计算即得；
（3）将平面绕翻折到平面，使其与平面同在一个平面内，利用三点共线时线段和最小即可求得.
【小问1详解】
因正三棱柱的底面边长为2，高为2，
故其表面积为：；
【小问2详解】
因，是棱的中点，则，
又因平面平面，平面平面，
且平面，则平面.
则；
【小问3详解】
如图，将平面绕翻折到平面，使其与平面同在一个平面内，
设为棱的中点，连接，交于点，此时，三点共线，
故取得最小值为，
因，且，则∽，故.
17. 已知分别是三个内角的对边，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由正弦定理将条件统一到角，再利用辅助角公式结合角的范围得到；
（2）利用面积公式先得到，再利用余弦定理得到，联立方程组解得，．
【小问1详解】
由及正弦定理得
，
，
所以．又，所以．
所以，所以．
又，所以，所以，所以．
【小问2详解】
由题意，，所以①
由余弦定理，得，得②．
由（1）（2），解得，．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，Q是线段BC上的动点，且满足，P是CD的中点，设．
（1）用向量表示向量；
（2）设．
①求的值；
②求的面积．
【答案】（1），，
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，由平面向量基本定理结合向量的线性运算代入计算，即可得到结果；
（2）①由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果；②由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为P是CD中点，所以，
得．
由， 得 ，
又由向量的减法，得 ．
【小问2详解】
①由，得，
则，
，
．
又，所以，
故，解得（舍去）或，所以．
②由①知，，
所以的面积．
19. 在中，内角的对边分别是．
（1）求的值；
（2）若，求角A；
（3）若，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由正弦定理即可求得；
（2）由正弦定理与和角公式化简计算求得，结合三角形的内角范围即得；
（3）由题设等式与正、余弦定理可推得，结合推理得到 ，即得证.
【小问1详解】
由和正弦定理，可得，解得；
【小问2详解】
由正弦定理和，可得，
整理得sinA−BsinA+B−sinBsinA+B=1 ，即sinA−B−sinA+B=sinB ，
展开化简得，
因为，所以，故.
【小问3详解】
因为，所以，
由余弦定理，，
则得即，
再由正弦定理，，
因为，
所以，
化简得，
因为，所以，
所以或，
所以或（舍去），
故.