2026届安徽省合肥三中高三下学期联合考试数学试题含解析

这是一份2026届安徽省合肥三中高三下学期联合考试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了若，，则的值为，已知直线，设，满足，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设向量，满足，，，则的取值范围是
A．B．
C．D．
2．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2]B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]
3．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线：与圆：交于，两点，与平行的直线与圆交于，两点，且与的面积相等，给出下列直线：①，②，③，④.其中满足条件的所有直线的编号有（ ）
A．①②B．①④C．②③D．①②④
6．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）
A．1个B．2个C．0个D．无数个
7．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（ ）
A．2B．C．3D．4
8．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知椭圆，直线与直线相交于点，且点在椭圆内恒成立，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．设，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是( )
A．B．C．D．
12．已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在四棱锥中，底面为正方形，面分别是棱的中点，过的平面交棱于点，则四边形面积为__________.
14．定义在上的奇函数满足，并且当时，则___
15．设函数，若在上的最大值为，则________.
16．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且.
（1）求证：；
（2）设平面与交于点，求证：为的中点.
18．（12分）如图在四边形中，，，为中点，.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
19．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线的参数方程：（为参数），直线的极坐标方程：
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的最大值.
20．（12分）已知实数x，y，z满足，证明：.
21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点，点在第一象限，为左顶点，为下顶点，交轴于点，交轴于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求点的坐标.
22．（10分）已知函数，.
（1）当时，
①求函数在点处的切线方程；
②比较与的大小;
（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由模长公式求解即可.
【详解】
，
当时取等号，所以本题答案为B.
【点睛】
本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.
2、B
【解析】
由f(1)=得a2=,
∴a=或a=-(舍),
即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.
3、A
【解析】
在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
在中，设，，，
，即，即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，，解得，.
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.
4、A
【解析】
取，得到，取，则，计算得到答案.
【详解】
取，得到；取，则.
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，取和是解题的关键.
5、D
【解析】
求出圆心到直线的距离为：，得出，根据条件得出到直线的距离或时满足条件，即可得出答案.
【详解】
解：由已知可得：圆：的圆心为（0,0），半径为2，
则圆心到直线的距离为：，
∴，
而，与的面积相等，
∴或，
即到直线的距离或时满足条件，
根据点到直线距离可知，①②④满足条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.
6、B
【解析】
圆心在的中垂线上，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．
【详解】
因为点在抛物线上，
又焦点，，
由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，
这样的交点共有2个，
故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种．
故选：．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．
7、C
【解析】
根据等差数列的求和公式即可得出．
【详解】
∵a1=12，S5=90，
∴5×12+ d=90，
解得d=1．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8、A
【解析】
由已知可得，根据二倍角公式即可求解.
【详解】
角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，
终边经过点，则，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.
9、A
【解析】
先求得椭圆焦点坐标，判断出直线过椭圆的焦点.然后判断出，判断出点的轨迹方程，根据恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率的取值范围.
【详解】
设是椭圆的焦点，所以.直线过点，直线过点，由于，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.由于点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于，即，所以，所以双曲线的离心率，所以.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.
10、C
【解析】
首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.
【详解】
由题知，满足，可行域如下图所示，
可知目标函数在点处取得最小值，
故目标函数的最小值为，
故的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.
11、C
【解析】
利用先求出，然后计算出结果.
【详解】
根据题意，当时，,,
故当时，,
数列是等比数列,
则，故,
解得,
故选.
【点睛】
本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
12、B
【解析】
构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断．
【详解】
如图，取长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，直线=直线。
若令AD1＝m，AB＝n，则m⊥n，但m不垂直于
若m⊥，由平面平面可知，直线m垂直于平面β，所以m垂直于平面β内的任意一条直线
∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】
本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m⊥n⇒m⊥？和m⊥⇒m⊥n？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
设是中点，由于分别是棱的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形.由于平面，所以，而，，所以平面，所以.由于，所以，也即，所以四边形是矩形.
而.
从而.
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
14、
【解析】
根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数对称轴及周期性，进而由的解析式求得的值.
【详解】
满足，
由函数对称性可知关于对称，
且令，代入可得，
由奇函数性质可知，所以
令，代入可得，
所以是以4为周期的周期函数，
则
当时，
所以，
所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题.
15、
【解析】
求出函数的导数，由在上，可得在上单调递增，则函数最大值为，即可求出参数的值.
【详解】
解：定义域为
，
在上单调递增，
故在上的最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.
16、
【解析】
由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）要做证明，只需证明平面即可；
（2）易得∥平面，平面，利用线面平行的性质定理即可得到∥，从而获得证明
【详解】
证明：（1）因为平面，平面，
所以.
因为，所以.
又因为，平面，平面，
所以平面.
又因为平面，所以.
（2）因为平面与交于点，所以平面.
因为分别为的中点，
所以∥.
又因为平面，平面，
所以∥平面.
又因为平面，平面平面，
所以∥，
又因为是的中点，
所以为的中点.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题.
18、（1）1；（2）
【解析】
（1），在和中分别运用余弦定理可表示出，运用算两次的思想即可求得，进而求出；
（2）在中，根据余弦定理和基本不等式，可求得，再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性，求出的面积的最大值．
【详解】
（1）由题设，则
在和中由余弦定理得：
，即
解得，∴
（2）在中由余弦定理得，
即，∴
所以面积的最大值为，此时.
【点睛】
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
19、（1）；（2）10
【解析】
（1）消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求得曲线C的极坐标方程；
（2）将代入曲线C的极坐标方程，利用根与系数的关系，求得，进而得到=，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，曲线C的参数方程为，
消去参数，可得曲线C的普通方程为，即，
又由，
代入可得曲线C的极坐标方程为.
（2）将代入，
得，即，
所以=，
其中，当时，取最大值，最大值为10.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.
20、见解析
【解析】
已知条件，需要证明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，发现，则可以用柯西不等式.
【详解】
，
.
由柯西不等式得，
.
.
.
【点睛】
本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由题意得，求出，进而可得到椭圆的方程；
（2）由（1）知点，坐标，设直线的方程为，易知，可得点的坐标为，联立方程，得到关于的一元二次方程，结合根与系数关系，可用表示的坐标，进而由三点共线，即，可用表示的坐标，再结合，可建立方程，从而求出的值，即可求得点的坐标.
【详解】
（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知点，，
由题意可设直线的斜率为，则，所以直线的方程为，则点的坐标为，
联立方程，消去得：.
设，则，所以，
所以，所以.
设点的坐标为，因为点三点共线，所以，即
，所以，所以.
因为，所以，即，
所以，解得，
又，所以符合题意，
计算可得，，
故点的坐标为.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难题.
22、（1）①见解析，②见解析；（2）见解析
【解析】
（1）①把代入函数解析式，求出函数的导函数得到，再求出，利用直线方程的点斜式求函数在点处的切线方程；
②令，利用导数研究函数的单调性，可得当时，；当时，；当时，．
（2）由题意，，在上有唯一零点．利用导数可得当时，在上单调递减，当，时，在，上单调递增，得到．由在恒成立，且有唯一解，可得，得，即．令，则，再由在上恒成立，得在上单调递减，进一步得到在上单调递增，由此可得．
【详解】
解：（1）①当时，，，，
又，切线方程为，即；
②令，
则，
在上单调递减．
又，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
证明：（2）由题意，，
而，
令，解得．
，，
在上有唯一零点．
当时，，在上单调递减，
当，时，，在，上单调递增．
．
在恒成立，且有唯一解，
，即，
消去，得，
即．
令，则，
在上恒成立，
在上单调递减，
又， ，
．
在上单调递增，
．
【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．