2026届安徽省淮北市相山区师范大学附属实验中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

这是一份2026届安徽省淮北市相山区师范大学附属实验中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析，共10页。试卷主要包含了已知复数，下列判断错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．
2．已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递增B．函数在上单调递减
C．函数图像关于对称D．函数图像关于对称
3．已知是边长为的正三角形，若，则
A．B．
C．D．
4．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．复数在复平面内对应的点位于第三象限
C．的共轭复数D．
5．下列判断错误的是( )
A．若随机变量服从正态分布，则
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件
C．若随机变量服从二项分布： ， 则
D．是的充分不必要条件
6．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
A．B．C．D．
8．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A．收入最高值与收入最低值的比是
B．结余最高的月份是月份
C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同
D．前个月的平均收入为万元
10．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
11．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．5B．3C．D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，，的夹角为30°，，则_________.
14．已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________．
15．某校名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以人一组或者人一组.如果人一组，则必须角色相同；如果人一组，则人角色相同或者人为级别连续的个不同角色.已知这名学生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，现在新加入名学生，将这名学生分成组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.
16．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：
（Ⅰ）根据数据可知与之间存在线性相关关系，求出与的线性回归方程（系数精确到0.01）；
（Ⅱ）该公司制定了如下奖励制度：以（单位：万台）表示日销售，当时，不设奖；当时，每位员工每日奖励200元；当时，每位员工每日奖励300元；当时，每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售（万台）服从正态分布（其中是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按30天计算）获得奖励金额总数大约多少元.
参考数据：，，，，
参考公式：相关系数，其回归直线中的，若随机变量服从正态分布，则，.
18．（12分）设椭圆：的右焦点为，右顶点为，已知椭圆离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线斜率的取值范围.
19．（12分）某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为五个小组（所调查的芯片得分均在内），得到如图所示的频率分布直方图，其中．
（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．
（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．
20．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的值域.
（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.
22．（10分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间
上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.
2、C
【解析】
依题意可得，即函数图像关于对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性；
【详解】
解：由，
，所以函数图像关于对称，
又，在上不单调.
故正确的只有C，
故选：C
【点睛】
本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.
3、A
【解析】
由可得，因为是边长为的正三角形，所以，故选A．
4、D
【解析】
利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.
【详解】
因为，，，所以的周期为4，故，
故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共
轭复数为，C错误；，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.
5、D
【解析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.
【详解】
对于选项，若随机变量服从正态分布，根据正态分布曲线的对称性，有，故选项正确，不符合题意；
对于选项，已知直线平面，直线平面，则当时一定有，充分性成立，而当时，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项正确，不符合题意；
对于选项，若随机变量服从二项分布： ， 则，故选项正确，不符合题意；
对于选项，，仅当时有，当时，不成立，故充分性不成立；若，仅当时有，当时，不成立，故必要性不成立.
因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确，符合题意.
故选：D
【点睛】
本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
6、A
【解析】
首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.
【详解】
由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形，
设中点为，连接，，可知，，
同时易知，，
所以面，故即为与面所成角，
有，
故.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.
7、D
【解析】
由程序框图确定程序功能后可得出结论．
【详解】
执行该程序可得．
故选：D．
【点睛】
本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．
8、D
【解析】
根据复数运算，求得，再求其对应点即可判断.
【详解】
，故其对应点的坐标为.
其位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.
9、D
【解析】
由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；
结余最高为月份，为，故项正确；
至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；
前个月的平均收入为万元，故项错误．
综上，故选．
10、B
【解析】
化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
11、C
【解析】
试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以
，故C为正确答案．
考点：异面直线所成的角．
12、D
【解析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.
【详解】
解：由抛物线方程可知，，即，.设
则，即，所以.
所以线段的中点到轴的距离为.
故选:D.
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
由求出，代入，进行数量积的运算即得.
【详解】
，存在实数，使得.
不共线，.
，，，的夹角为30°，
.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.
14、
【解析】
构造，先利用定义判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化为，结合奇偶性，单调性求解不等式即可.
【详解】
令，则是上的偶函数，
，则在上递减，于是在上递增．
由得，
即，
于是，
则，
解得．
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
15、
【解析】
对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.
【详解】
依题意，名学生分成组，则一定是个人组和个人组.
①若新加入的学生是士兵，则可以将这个人分组如下；名士兵；士兵、排长、连长各名；营长、团长、旅长各名；师长、军长、司令各名；名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；
②若新加入的学生是排长，则可以将这个人分组如下：名士兵；连长、营长、团长各名；旅长、师长、军长各名；名司令；名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；
③若新加入的学生是连长，则可以将这个人分组如下：名士兵；士兵、排长、连长各名；连长、营长、团长各名；旅长、师长、军长各名；名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；
④若新加入的学生是营长，则可以将这个人分组如下：名士兵；排长、连长、营长各名；营长、团长、旅长各名；师长、军长、司令各名；名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；
⑤若新加入的学生是团长，则可以将这个人分组如下：名士兵；排长、连长、营长各名；旅长、师长、军长各名；名司令；名团长.所以新加入的学生可以是团长.
综上所述，新加入学生可以扮演种角色.
故答案为：.
【点睛】
本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题.
16、
【解析】
试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．
考点：几何体的体积的计算．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）7839.3元
【解析】
（Ⅰ）由题意计算x、y的平均值,进而由公式求出回归系数b和a,即可写出回归直线方程;
（Ⅱ）由题意计算平均数μ，得出z~N (μ,)，求出日销量z∈[0.13,0.15) 、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，计算奖金总数是多少.
【详解】
（Ⅰ）因为，
，
因为，
所以，
所以；
（Ⅱ）因为，
所以，
故即，
日销量的概率为，
日销量的概率为，
日销量的概率为，
所以奖金总数大约为：（元）.
【点睛】
本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，还考查了利用正态分布计算概率，进而估计总体情况，属于中档题.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由题意可得，，，解得即可求出椭圆的C的方程；
（Ⅱ）由已知设直线l的方程为y=k (x-2) ，(k≠0)， 联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF,解得.由方程组消去y，解得，由,得到,转化为关于k的不等式，求得k的范围.
【详解】
（Ⅰ）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3，
所以，
因为椭圆离心率为，所以，
又，
解得，，，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）设直线的斜率为，则，设，
由得，
解得，或，由题意得，
从而，
由（Ⅰ）知，，设，
所以，，
因为，所以，
所以，解得，
所以直线的方程为，
设，由消去，解得，
在中，，
即，
所以，即，
解得，或.
所以直线的斜率的取值范围为.
【点睛】
本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程，属于难题.
19、（1）（2）预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析
【解析】
（1）先求出，再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；（2）先求出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.
【详解】
（1）依题意，，故．
又因为．所以，
所求平均数为
（万分）
（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率．
设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，
，
，
故每颗芯片的测试费用的数学期望为
（元），
因为，
所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片．
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20、（1）（2）
【解析】
（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；
（2）不等式转化为，求出在上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值．
【详解】
解：（1）或或
解得或或无解
综上不等式的解集为．
（2）时，，即
所以只需在时恒成立即可
令，
由解析式得在上是增函数，
∴当时，
即
【点睛】
本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，求出的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；
（2）对分类讨论，分别求出以及的最小值或范围，与的最小值建立方程关系，求出的值，进而求出的取值关系.
【详解】
（1）当时，，
令，
∵∴，
而是增函数，∴，
∴函数的值域是.
（2）当时，则在上单调递减，
在上单调递增，所以的最小值为，
在上单调递增，最小值为，
而的最小值为，所以这种情况不可能.
当时，则在上单调递减且没有最小值，
在上单调递增最小值为，
所以的最小值为，解得（满足题意），
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
22、（1）；（2）（i）详见解析；（ii）会超过；详见解析
【解析】
（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.
（2）（i）写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.
（ii）由（i）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果.
【详解】
（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，
则P（ξ＝2），P（ξ＝3），
则这3天中空气质量至少有2天为优的概率
为；
（2）（i），
，
，
X的分布列如下：
（ii）由（i）可得：
E（X）＝02201480302（元），
故该企业9月的经济损失的数学期望为30E（X），
即30E（X）＝9060元，
设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，
可得：，
，，
E（Y）＝02201480320（元），
所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成
经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），
由19840+9060＝28900＞28800，
即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成
经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.
【点睛】
本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。
月 份
5
6
7
8
9
10
11
12
研发费用（百万元）
2
3
6
10
21
13
15
18
产品销量（万台）
1
1
2
2.5
6
3.5
3.5
4.5
AQI
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
重度污染
天数
6
14
18
27
25
10
X
0
220
1480
P