2026届安徽省宿州市宿城第一中学高三第二次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省宿州市宿城第一中学高三第二次模拟考试数学试卷含解析，共10页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数在上为增函数，则的值可以是，集合的真子集的个数是，已知，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知向量，，则与共线的单位向量为( )
A．B．
C．或D．或
3．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．双曲线：（），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．函数在上为增函数，则的值可以是( )
A．0B．C．D．
6．集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
9．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
10．在正方体中，点、分别为、的中点，过点作平面使平面，平面若直线平面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
A．0.110B．0.112C．D．
12．已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______．
14．若点在直线上，则的值等于______________ .
15．已知，圆，直线PM，PN分别与圆O相切，切点为M，N，若，则的最小值为________.
16．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.
18．（12分）已知向量，函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值．
19．（12分）诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：
（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；
（Ⅱ）若定义水站诚信度高于的为“高诚信度”，以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；
（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.
20．（12分）已知函数，设的最小值为m.
（1）求m的值；
（2）是否存在实数a，b，使得，？并说明理由.
21．（12分）已知的内角的对边分别为，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.
22．（10分）如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据分段函数直接计算得到答案.
【详解】
因为所以.
故选：.
【点睛】
本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.
2、D
【解析】
根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.
【详解】
因为，，则，
所以，
设与共线的单位向量为，
则，
解得 或
所以与共线的单位向量为或.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.
3、C
【解析】
令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令，则，，，，
，因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
4、B
【解析】
首先求得双曲线的一条渐近线方程，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出，进而求出渐近线的方程.
【详解】
设左焦点为，一条渐近线的方程为，由左焦点到渐近线的距离为2，可得，所以渐近线方程为，即为,
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.
5、D
【解析】
依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.
【详解】
当时，在上不单调，故A不正确；
当时，在上单调递减，故B不正确；
当时，在上不单调，故C不正确；
当时，在上单调递增，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.
6、C
【解析】
根据含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，计算可得；
【详解】
解：集合含有个元素，则集合的真子集有（个），
故选：C
【点睛】
考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，属于基础题．
7、A
【解析】
根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.
【详解】
由题知，
，则.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..
8、C
【解析】
转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】
函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
【点睛】
本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.
9、C
【解析】
以D为原点，DA，DC，DD1 分别为轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值．
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，，，
取平面的法向量为，
设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ，则sinθ＝|，
直线与平面所成角的正弦值为.
故选C．
【点睛】
本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题．
10、B
【解析】
作出图形，设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，推导出，由线面平行的性质定理可得出，可得出点为的中点，同理可得出点为的中点，结合中位线的性质可求得的值.
【详解】
如下图所示：
设平面分别交、于点、，连接、、，取的中点，连接、，连接交于点，
四边形为正方形，、分别为、的中点，则且，
四边形为平行四边形，且，
且，且，则四边形为平行四边形，
，平面，则存在直线平面，使得，
若平面，则平面，又平面，则平面，
此时，平面为平面，直线不可能与平面平行，
所以，平面，，平面，
平面，平面平面，，
，所以，四边形为平行四边形，可得，
为的中点，同理可证为的中点，，，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
11、C
【解析】
根据题意知,，代入公式,求出即可.
【详解】
由题意可得,因为,
所以,即.
所以这种射线的吸收系数为.
故选:C
【点睛】
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
12、A
【解析】
分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.
详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，
则当时，得，即，
则满足，
则，即，则，
设，则，
当，解得，当，解得，
当时，函数取得最小值，
当时，；
当时，，
所以，即的取值范围是，故选A.
点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
把向量进行转化，用表示，利用基本不等式可求实数的值.
【详解】
，解得＝1．
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.
14、
【解析】
根据题意可得，再由，即可得到结论.
【详解】
由题意，得，又，解得，
当时，则，
此时；
当时，则，
此时，
综上，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,，代入，，则在直线上，即可得方程为，将 ，代入化简可得，
则直线过定点,由则点在以为直径的圆上，则.即可求得.
【详解】
如图，由可知R为MN的中点，所以，，
设，则切线PM的方程为，
即，同理可得，
因为PM，PN都过，所以，，
所以在直线上，
从而直线MN方程为，
因为，所以，
即直线MN方程为，
所以直线MN过定点,
所以R在以OQ为直径的圆上，
所以.
故答案为: .
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.
16、
【解析】
先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果.
【详解】
一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：
1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个，
其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件，
因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）按进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为在时恒成立，按和分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的的范围，再取交集，得到答案.
【详解】
解：（1）当时，等价于
或或，
解得或或，
所以不等式的解集为：.
（2）依题意即在时恒成立，
当时，，即，
所以对恒成立
∴，得；
当时，，
即，
所以对任意恒成立，
∴，得∴，
综上，.
【点睛】
本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.
18、（1），（2）
【解析】
（1）利用向量的数量积和二倍角公式化简得，故可求其周期与单调性；
（2）根据图像过得到，故可求得的大小，再根据数量积得到的乘积，最后结合余弦定理和构建关于的方程即可．
【详解】
（1），
最小正周期：，
由得，
所以的单调递增区间为；
（2）由可得：，
所以．
又因为成等差数列，所以
而，
．
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）两次活动效果均好，理由详见解析.
【解析】
（Ⅰ）结合表中的数据，代入平均数公式求解即可；
（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件为，利用列举法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可；
（Ⅲ）结合表中的数据判断即可.
【详解】
（Ⅰ）表中十二周“水站诚信度”的平均数
.
（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为，总的基本事件为共15种，
事件所包含的基本事件为共10种，
由古典概型概率计算公式可得，.
（Ⅲ）两次活动效果均好.
理由：活动举办后，“水站诚信度'由和看出，后继一周都有提升.
【点睛】
本题考查平均数公式和古典概型概率计算公式；考查运算求解能力；利用列举法正确列举出所有的基本事件是求古典概型概率的关键；属于中档题、常考题型.
20、（1）（2）不存在；详见解析
【解析】
（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m.
（2）由，利用基本不等式即可求出.
【详解】
（1）
；
（2），
若，同号，，不成立；
或，异号，，不成立；
故不存在实数，，使得，.
【点睛】
本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.
【解析】
（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（Ⅱ）由正弦定理可得，则，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
（Ⅰ）由得
再由正弦定理得
因此，
又因为，所以.
（Ⅱ）当时，的周长有最大值，且最大值为3，
理由如下：
由正弦定理得，
所以，
所以.
因为，所以，
所以当即时，取到最大值2，
所以的周长有最大值，最大值为3.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题.
22、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）利用中位线的性质得出，然后利用线面平行的判定定理可证明出平面；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）因为、分别为、的中点，所以．
又因为平面，平面，所以平面；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以．
设直线与平面所成角为，所以．
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
第一周
第二周
第三周
第四周
第一周期
第二周期
第三周期