2026届安徽省明光市二中高三第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省明光市二中高三第一次模拟考试数学试卷含解析，共17页。试卷主要包含了若复数，设等差数列的前项和为，若，则，已知函数，则下列结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a，b∈R，，则（ ）
A．b＝3aB．b＝6aC．b＝9aD．b＝12a
2．设全集集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（ ）
A．B．
C．D．
4．正项等差数列的前和为，已知，则=（ ）
A．35B．36C．45D．54
5．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
6．若复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
7．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
8．已知定点，，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
9．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则下列结论中正确的是
①函数的最小正周期为；
②函数的图象是轴对称图形；
③函数的极大值为；
④函数的最小值为．
A．①③B．②④
C．②③D．②③④
11．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
12．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，, 则异面直线与所成的角为____.
14．已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________.
15．已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________．
16．在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，若的解集为．
（1）求的值；
（2）若正实数，，满足，求证：．
18．（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：
（1）能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？
（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.
附：
19．（12分）已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
（Ⅰ）解不等式f(x)>1；
（Ⅱ）当x>0时，若函数g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x)，求实数a的取值范围．
20．（12分）在中，．
（1）求的值；
（2）点为边上的动点（不与点重合），设，求的取值范围．
21．（12分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
22．（10分）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数据：
（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）①建立月总成本与月产量之间的回归方程；②通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）
附注：①参考数据：，，，，.
②参考公式：相关系数，，.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
两复数相等，实部与虚部对应相等.
【详解】
由，
得，即a，b＝1．
∴b＝9a．
故选：C．
【点睛】
本题考查复数的概念，属于基础题.
2、A
【解析】
先求出，再与集合N求交集.
【详解】
由已知，，又，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.
3、D
【解析】
由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围．
【详解】
解：，或其积，或其商仍是该数列中的项，
或者或者是该数列中的项，
又数列是递增数列，
，
，，只有是该数列中的项，
同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有，
，或（舍，，
根据，，，
同理易得，，，，，，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．
4、C
【解析】
由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出.
【详解】
正项等差数列的前项和，
，
，
解得或（舍），
，故选C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
5、D
【解析】
由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.
【详解】
依题意得
由，得
即，解得.
故选:.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
6、B
【解析】
根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出.
【详解】
,
,
故选：B
【点睛】
本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.
7、B
【解析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
8、B
【解析】
根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.
【详解】
因为线段的垂直平分线与直线相交于点，如下图所示：
所以有，而是中点，连接，故，
因此
当在如下图所示位置时有，所以有，而是中点，连接,
故，因此，
综上所述：有，所以点的轨迹是双曲线.
故选：B
【点睛】
本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.
9、A
【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.
【详解】
如图所示：
设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，
因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，
又因为，所以，
又因为，
所以，所以，
所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.
10、D
【解析】
因为，所以①不正确；
因为，所以，
，所以，
所以函数的图象是轴对称图形，②正确；
易知函数的最小正周期为，因为函数的图象关于直线对称，所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可．当时，，且，令，得，可知函数在处取得极大值为，③正确；
因为，所以，所以函数的最小值为，④正确．
故选D．
11、C
【解析】
解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.
【详解】
由，解得，故.依题意，所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.
12、D
【解析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；
【详解】
解：函数，
要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
要求两条异面直线所成的角，需要通过见中点找中点的方法，找出边的中点，连接出中位线，得到平行，从而得到两条异面直线所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．
【详解】
取的中点E,连AE, ,易证，∴为异面直线与所成角，
设等边三角形边长为，易算得∴在
∴
故答案为
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，本题是一个典型的异面直线所成的角的问题，解答时也是应用典型的见中点找中点的方法，注意求角的三个环节，一画，二证，三求．
14、
【解析】
首先根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的值域，结合区间上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由于，所以，
由于区间上的值小于0恒成立，
所以（）.
所以，
由于，所以，
由于，所以令得.
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
15、
【解析】
构造，先利用定义判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化为，结合奇偶性，单调性求解不等式即可.
【详解】
令，则是上的偶函数，
，则在上递减，于是在上递增．
由得，
即，
于是，
则，
解得．
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
16、
【解析】
利用等体积法求解点到平面的距离
【详解】
由题在长方体中，，
，
所以，所以，
设点到平面的距离为
，解得
故答案为：
【点睛】
此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见详解.
【解析】
（1）将不等式的解集用表示出来，结合题中的解集，求出的值；
（2）利用柯西不等式证明.
【详解】
解：（1），，
，
因为的解集为，所以，
；
（2）由（1）
由柯西不等式，
当且仅当，，，等号成立．
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.
18、（1）有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.
（2）
【解析】
(1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值,从而由参考数据作出判断.
(2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果.
【详解】
（1）由题意可知，
有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.
（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.
人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率.
【点睛】
本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）。
【解析】
（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集；（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得，，再由，求得的范围．
【详解】
（Ⅰ）当时，原不等式可化为，此时不成立；
当时，原不等式可化为，解得，即；
当时，原不等式可化为，解得.
综上，原不等式的解集是．
（Ⅱ）因为，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，，所以．
所以，解得，故实数的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
20、（1）（2）
【解析】
（1）先利用同角的三角函数关系求得,再由求解即可；
（2）在中,由正弦定理可得,则,再由求解即可.
【详解】
解:（1）在中,,所以,
所以
（2）由（1）可知,所以,
在中,因为,所以,
因为,所以 ,
所以.
【点睛】
本题考查已知三角函数值求值,考查正弦定理的应用.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）当时，将原不等式化简后两边平方，由此解出不等式的解集.（2）对分成三种情况，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，根据单调性求得的取值范围.
【详解】
（1）时，可得，即，
化简得：，所以不等式的解集为.
（2）①当时，由函数单调性可得
，解得；
②当时，，所以符合题意；
③当时，由函数单调性可得，
，解得
综上，实数的取值范围为
【点睛】
本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.
22、（1）见解析；（2）①②3.386（万元）
【解析】
（1）利用代入数值，求出后即可得解；
（2）①计算出、后，利用求出后即可得解；
②把代入线性回归方程，计算即可得解.
【详解】
（1）由已知条件得，
，∴，
说明与正相关，且相关性很强.
（2）①由已知求得，，
所以，所求回归直线方程为.
②当时，（万元），
此时产品的总成本约为3.386万元.
【点睛】
本题考查了相关系数的应用以及线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题.
戴口罩
不戴口罩
青年人
50
10
中老年人
20
20
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87
2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26