2026届安徽省铜陵市第一中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省铜陵市第一中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了已知集合，，则，的二项展开式中，的系数是，已知函数是奇函数，则的值为，给定下列四个命题等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
2．已知实数，则的大小关系是( )
A．B．C．D．
3．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）
A．B．C．D．
4．已知集合,，则
A．B．
C．D．
5．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．
6．的二项展开式中，的系数是（ ）
A．70B．-70C．28D．-28
7．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为，则圆周率（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A．－10B．－9C．－7D．1
9．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
10．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为( )
A．1B．C．D．
11．已知复数满足（其中为的共轭复数），则的值为( )
A．1B．2C．D．
12．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.
14．在二项式的展开式中，的系数为________.
15．已知圆柱的上下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该圆柱的体积为____
16．已知关于空间两条不同直线m、n，两个不同平面、，有下列四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若，且，则.其中正确命题的序号为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列，满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）分别求数列，的前项和，.
18．（12分）在平面直角坐标系中，设，过点的直线与圆相切，且与抛物线相交于两点．
（1）当在区间上变动时，求中点的轨迹；
（2）设抛物线焦点为，求的周长(用表示)，并写出时该周长的具体取值．
19．（12分）已知圆,定点 ,为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线
（1）求曲线的方程
（2）过点的直线与交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.
20．（12分）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.
21．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.
22．（10分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）求样本平均数的大小；
（2）若一个零件的尺寸是100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.
【详解】
因为，所以
故选：C
【点睛】
本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.
2、B
【解析】
根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．
【详解】
解：∵，
∴，，．
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3、C
【解析】
设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.
【详解】
设球的半径为R，
根据题意圆柱的表面积为，
解得，
所以该球的体积为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.
4、D
【解析】
因为,,所以,,故选D．
5、D
【解析】
首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；
【详解】
解：∵，解得
∴，∴.
故选：D
【点睛】
本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
6、A
【解析】
试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A．
考点：二项式定理的应用．
7、A
【解析】
计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.
【详解】
由，∴.
故选：A
【点睛】
本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.
8、B
【解析】
根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值.
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.
9、D
【解析】
利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．
【详解】
当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.
故选：D
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
10、B
【解析】
首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.
【详解】
联立方程：可得：，，
结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：
.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.
11、D
【解析】
按照复数的运算法则先求出，再写出，进而求出.
【详解】
，
，
.
故选：D
【点睛】
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
12、A
【解析】
根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.
【详解】
由图像知，，，解得，
因为函数过点，所以，
，即，
解得，因为，所以，
.
故选：A
【点睛】
本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得.
【详解】
解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，
在中，，，，如下图所示，
底面圆的半径为，
则所形成的几何体的表面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.
14、60
【解析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
二项式的展开式通项为：，
取，则的系数为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
15、
【解析】
由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.
【详解】
解：因为轴截面是正方形，且面积是36，
所以圆柱的底面直径和高都是6
故答案为：
【点睛】
考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.
16、③④
【解析】
由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断．
【详解】
①若且，的位置关系是平行、相交或异面，①错；
②若且，则或者，②错；
③若，设过的平面与交于直线，则，又，则，∴，③正确；
④若，且，由线面垂直的定义知，④正确．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）；
【解析】
（1），，可得为公比为2的等比数列，可得为公差为1的等差数列，再算出，的通项公式，解方程组即可；
（2）利用分组求和法解决.
【详解】
（1）依题意有
又.
可得数列为公比为2的等比数列，为公差为1的等差数列，
由，得
解得
故数列，的通项公式分别为.
（2），
.
【点睛】
本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.
18、（1）．（2）的周长为，时，的周长为
【解析】
（1）设的方程为，根据题意由点到直线的距离公式可得，将直线方程与抛物线方程联立可得，设､坐标分别是､,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.
（2）根据抛物线的定义可得，由（1）可得，再利用弦长公式即可求解.
【详解】
（1）设的方程为
于是
联立
设､坐标分别是､
则
设的中点坐标为，则
消去参数得：
（2）设，，由抛物线定义知
，，
∴
由（1）知
∴
，，
的周长为
时，的周长为
【点睛】
本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题.
19、（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）设以为直径的圆心为，切点为，取关于轴的对称点，连接，计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案.
（2）设直线的方程为，设，联立方程得到
，，计算，得到答案.
【详解】
（1）设以为直径的圆心为，切点为，则，
取关于轴的对称点，连接，故，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆，其中，
曲线方程为.
（2）设直线的方程为，设，
直线的方程为，同理，
所以，
即，
联立，
所以，
代入得，
所以点都在定直线上.
【点睛】
本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20、（1）（）；（2）.
【解析】
（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.
（2）联立方程计算得到，，计算得到答案 .
【详解】
（1）由消得，即，
是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.
（2）由得，∴，
由得∴，∴.
【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21、（1）；（2）见解析.
【解析】
事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望．
【详解】
事件表示男学员在第次考科目二通过，
事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）.
（1）事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
.
（2）的可能取值为400，600，800，1000，1200.
，
，
，
，
.
则的分布列为：
故 (元).
【点睛】
本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.
22、（1）66.5 （2）属于
【解析】
（1）利用频率分布直方图的平均数公式求解；（2）求出，即可判断得解.
【详解】
（1）
（2）
所以该零件属于“不合格”的零件
【点睛】
本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
考试情况
男学员
女学员
第1次考科目二人数
1200
800
第1次通过科目二人数
960
600
第1次未通过科目二人数
240
200

400
600
800
1000
1200