2026届安徽省寿县一中高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省寿县一中高三第二次诊断性检测数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了已知集合，，则，已知数列满足，的展开式中含的项的系数为等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ）
A．6里B．12里C．24里D．48里
3．双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为，若，且，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
4．在中，D为的中点，E为上靠近点B的三等分点，且，相交于点P，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合，，则
A．B．
C．D．
7．已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ）
A．16B．17C．18D．19
8．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
9．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )
A．2B．C．D．
10．的展开式中含的项的系数为（ ）
A．B．60C．70D．80
11．设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
12．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图是一个算法伪代码，则输出的的值为_______________.
14．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF=60°，则|FR|等于_____.
15．已知是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为______.
16．已知正实数满足，则的最小值为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．
（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．
18．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
19．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程是（为参数，常数），曲线的极坐标方程是.
（1）写出的普通方程及的直角坐标方程，并指出是什么曲线；
（2）若直线与曲线，均相切且相切于同一点，求直线的极坐标方程.
20．（12分）如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（12分）已知首项为2的数列满足.
（1）证明：数列是等差数列．
（2）令，求数列的前项和.
22．（10分）如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，，，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，，其中栈道，，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.
用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；
求当为何值时，栈道总长度最短.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.
【详解】
构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得.
故选:B.
【点睛】
本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.
2、C
【解析】
设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程．
【详解】
设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，
由题意得：，
解得（里，
（里．
故选：C．
【点睛】
本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
3、D
【解析】
根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用，求出点，因为点在双曲线上，及，代入整理及得，又已知，即可求出离心率．
【详解】
由题意可知，代入得：，
代入双曲线方程整理得：，又因为，即可得到，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于，，的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题．
4、B
【解析】
设，则，，
由B，P，D三点共线，C，P，E三点共线,可知，,解得即可得出结果.
【详解】
设，则，，
因为B，P，D三点共线，C，P，E三点共线，
所以，，所以，.
故选:B.
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.
5、A
【解析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出，结合，得出，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
解：由双曲线可知，焦点在轴上，
则双曲线的渐近线方程为：，
由于焦距是虚轴长的2倍，可得：，
∴，
即：，，
所以双曲线的渐近线方程为：.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.
6、D
【解析】
因为，，
所以，，故选D．
7、B
【解析】
计算，故，解得答案.
【详解】
当时，，即，且.
故，
，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.
8、A
【解析】
根据函数图像平移原则，即可容易求得结果.
【详解】
因为，
故要得到，只需将向左平移个单位长度.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.
9、C
【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.
【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，
所以，.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.
10、B
【解析】
展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解
【详解】
由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，
所以的展开式中含的项的系数为．
故选：B
【点睛】
本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
11、A
【解析】
由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率．
【详解】
由题意∵，∴由双曲线定义得，从而得，，
在中，由余弦定理得，化简得．
故选：A．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式．
12、B
【解析】
根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.
【详解】
因为终边上有一点，所以，
故选：B
【点睛】
此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5
【解析】
执行循环结构流程图，即得结果.
【详解】
执行循环结构流程图得,结束循环，输出.
【点睛】
本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.
14、2
【解析】
由题意知：，，，.由∠NRF=60°，可得为等边三角形，MF⊥PQ，可得F为HR的中点，即求.
【详解】
不妨设点P在第一象限，如图所示，连接MF，QF.
∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点
∴，.
∵M，N分别为PQ，PF的中点，
∴，
∵PQ垂直l于点Q，
∴PQ//OR，
∵，∠NRF=60°，
∴为等边三角形，
∴MF⊥PQ，
易知四边形和四边形都是平行四边形，
∴F为HR的中点，
∴，
故答案为：2.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
15、
【解析】
依题意可得，再根据求模，求数量积，最后根据夹角公式计算可得；
【详解】
解：因为是夹角为的两个单位向量
所以，
又，
所以，，
所以，
因为所以；
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题.
16、4
【解析】
由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.
【详解】
.
当且仅当时等号成立.
据此可知：的最小值为4.
【点睛】
条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）
【解析】
（1）设，根据可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；
（2）设，与椭圆方程联立，利用求得；利用韦达定理表示出与，根据平行四边形和向量的坐标运算求得，消去后得到轨迹方程；根据求得的取值范围，进而得到最终结果.
【详解】
（1）设，则
由知：
点在圆上
点的轨迹的方程为：
轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆
（2）设，由题意知的斜率存在
设，代入得：
则，解得：
设，，则
四边形为平行四边形
又 ∴，消去得：

顶点的轨迹方程为
【点睛】
本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略的取值范围.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；
（2）原不等式可转化为在R上恒成立，分别求函数与的最小值，根据能同时成立，可得的最小值，即可求解.
【详解】
（1）①当时,不等式可化为,得，无解；
②当-2≤x≤1时,不等式可化为得x>0,故01时,不等式可化为,得x