江苏省南通市暨苏北七市（三模）2026届高三第二次调研测试数学试卷含答案（word版）

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二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 5 13. 45∘ 14. 4;32 (第一空 2 分, 第二空 3 分)
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
解: (1) 设 PD 的中点为 E ,连接 EA,EN .
因为 E,N 是 PD,PC 的中点,所以在 △PDC 中, EN//DC,EN=12DC .
因为 ABCD 为正方形， M 为 AB 中点，所以 AM//DC,AM=12DC ，
所以 AM//EN,AM=EN ，即四边形 AMNE 是平行四边形. 3 分
所以 MN//AE ,又因为 AE⊂ 平面 PAD,MN⊄ 平面 PAD ,
所以 MN// 平面 PAD . 6 分
(2)因为 PD⊥ 平面 ABCD ， AD,DC⊂ 平面 ABCD ，所以 PD⊥DA,PD⊥DC . 在正方形 ABCD 中, DA⊥DC ,

所以以 {DA,DC,DP} 为正交基底建立空间直角坐标系 O−xyz . 8 分因为 PD=AD=2 ，
所以 C0,2,0 ， B2,2,0 ， P0,0,2 ， 所以 PB=2,2,−2,PC=0,2,−2 . 设平面 PBC 的一个法向量为 m=x,y,z , 所以 m⋅PB=0,m⋅PC=0, 即 2x+2y−2z=0,2y−2z=0,
解得 x=0 ,取 y=1 ,得 z=1 ,所以 m=0,1,1 , 10 分
又平面 PAD 的一个法向量为 n=0,1,0 ,
所以 cs=m⋅nmn=12=22 ,
所以平面 PAD 与平面 PBC 夹角的余弦值为 22 . 13 分
16. (15 分)
解: (1) 因为 sinB1+csB=sinC2−csC ,
所以 2sinB−sinBcsC=sinC+csBsinC .
所以 2sinB−sinC=sinBcsC+csBsinC=sinB+C . 3 分
因为 A+B+C=180∘ ,所以 sinB+C=sin180∘−A=sinA ,
所以 2sinB=sinA+sinC , 6 分
由正弦定理得, 2b=a+c ,所以 a,b,c 成等差数列. 8 分
(2)因为 B=60∘ ,代入 sinB1+csB=sinC2−csC ,可得 sinC+30∘=1 ,
因为 00,gx2=f′x2+23a2−1>0 ,
所以存在 x3,x4∈x1,x2 ,且 x3≠x4 ,使得曲线 y=fx 在 x=x3 和 x=x4
15 分
18.(17分)
解: (1) 依题意, 2a=2×2b ,即 a=2b ,
又焦距为 23 ，所以 a2−b2=3 ，
解得 a2=4,b2=1 ,所以 C 的标准方程为 x24+y2=1 . 3 分
(2)证明:由椭圆的对称性，不妨设 Ax0,y0,B−x0,y0,0≤y00 , 故数列 Tn 在 n≥3 时递增,又 T4=3×434−100 ,故当 n=3 ，4时， PAn+1−PBnPAn+1∣Bn ，即 PBn∣An+1>13 . 说明甲取得从业资格的前一次考试 2 级刚过的概率较大. 15 分
当 n≥5 时, PAn+1−PBn>0 ,故 PBn∣An+1