2026届安徽省安庆市怀宁中学高三冲刺模拟数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省安庆市怀宁中学高三冲刺模拟数学试卷含解析，共12页。试卷主要包含了若,,,则下列结论正确的是，已知集合，，则为，设是虚数单位，若复数，则，综上，得或等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）
A．B．C．D．
3．已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ）
①数列的任意一项都是正整数；
②数列存在某一项是5的倍数.
A．①正确，②错误B．①错误，②正确
C．①②都正确D．①②都错误
5．若,,,则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
6．已知集合，，则为( )
A．B．C．D．
7．已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．7B．14C．28D．84
9．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为20，方差为4B．平均数为11，方差为4
C．平均数为21，方差为8D．平均数为20，方差为8
10．设是虚数单位，若复数，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
12．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前项满足，则______.
14．已知二面角α﹣l﹣β为60°，在其内部取点A，在半平面α，β内分别取点B，C．若点A到棱l的距离为1，则△ABC的周长的最小值为_____．
15．点到直线的距离为________
16．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，.
18．（12分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．（12分）已知抛物线：的焦点为，过上一点（）作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点，
（1）证明：直线的斜率是－1；
（2）若，，成等比数列，求直线的方程.
20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为.
(1)求；
(2)求的周长 .
21．（12分）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．
（1）求的值；
（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若，求的值；
⑶设直线， 的斜率分别为， ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先确定集合中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】
，.
故选：A．
【点睛】
本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．
2、D
【解析】
分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值.
【详解】
设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D.
【点睛】
本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养.
3、B
【解析】
先利用对称得，根据可得，由几何性质可得，即，从而解得渐近线方程.
【详解】
如图所示：
由对称性可得：为的中点，且，
所以，
因为，所以，
故而由几何性质可得，即，
故渐近线方程为，
故选B.
【点睛】
本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出是解题的关键，属于中档题.
4、A
【解析】
利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.
【详解】
因为,是方程的两个不等实数根,
所以,,
因为,
所以
,
即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,
又,,
所以,,,
以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;
若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,
由,,依次计算可知,
数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,
故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;
故选:A.
【点睛】
本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.
5、D
【解析】
根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.
【详解】
由指数函数的性质，可得，即，
又由，所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
6、C
【解析】
分别求解出集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.
【详解】
因为集合，，
所以
故选：C
【点睛】
本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.
7、A
【解析】
先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率
【详解】
解：抛物线经过点
，，
，，
故选：A
【点睛】
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.
8、D
【解析】
利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解
【详解】
，
解得．
．
故选：D
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
9、D
【解析】
由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.
【详解】
样本的平均数是10，方差为2，
所以样本的平均数为,方差为.
故选:D.
【点睛】
样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.
10、A
【解析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可
【详解】
∵复数，∴，，则，
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题
11、A
【解析】
根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.
【详解】
因为，
所以.
因为，
所以，
因为，为增函数，
所以
所以，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.
12、A
【解析】
设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.
【详解】
如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为
因为点在角的终边上，所以
依题有,则，
所以，
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由已知写出用代替的等式，两式相减后可得结论，同时要注意的求解方法．
【详解】
∵①，
∴时，②，
①－②得，
∴，
又，
∴（）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查求数列通项公式，由已知条件．类比已知求的解题方法求解．
14、
【解析】
作A关于平面α和β的对称点M，N，交α和β与D，E，连接MN，AM，AN，DE，根据对称性三角形ADC的周长为AB+AC+BC＝MB+BC+CN，当四点共线时长度最短，结合对称性和余弦定理求解.
【详解】
作A关于平面α和β的对称点M，N，交α和β与D，E，
连接MN，AM，AN，DE，
根据对称性三角形ABC的周长为AB+AC+BC＝MB+BC+CN，
当M，B，C，N共线时，周长最小为MN设平面ADE交l于，O，连接OD，OE，
显然OD⊥l，OE⊥l，
∠DOE＝60°，∠MOA+∠AON＝240°,OA＝1，
∠MON＝120°，且OM＝ON＝OA＝1，根据余弦定理，
故MN2＝1+1﹣2×1×1×cs120°＝3，
故MN．
故答案为：．
【点睛】
此题考查求空间三角形边长的最值，关键在于根据几何性质找出对称关系，结合解三角形知识求解.
15、2
【解析】
直接根据点到直线的距离公式即可求出。
【详解】
依据点到直线的距离公式，点到直线的距离为。
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式的应用。
16、或
【解析】
依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）不同的样本的个数为.
（2）①分布列见解析，.
②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.
【解析】
（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.
（2）名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数服从超几何分布，故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.
【详解】
（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，
18名男同学中应抽取的人数为名，
故不同的样本的个数为.
（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
∴的取值为0，1，2，3.
∴，，
，.
∴的分布列为
∴.
②∵，.
∴线性回归方程为.
当时，.
可预测该同学的物理成绩为96分.
【点睛】
在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．
18、（1），；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．
试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d=== 1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则
q1===8，∴q=2，
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=1n+2n﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1， ∵数列{1n}的前n项和为n（n+1），
数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为；
考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和．
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设，，由已知，得，代入中即可；
（2）利用抛物线的定义将转化为，再利用韦达定理计算.
【详解】
（1）在抛物线上，∴，
设，，
由题可知，，∴，
∴，
∴，∴，
∴
（2）由（1）问可设：：，
则， ， ，
∴，∴，
即（*），
将直线与抛物线联立，可得：，
所以，
代入（*）式，可得满足，∴：.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可；
（2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可．
【详解】
（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.
（2）∵，所以，，又，且 ，，的周长为
【点睛】
本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题.
21、（1）；（2）点在定直线上．
【解析】
（1）设出直线的方程为，由直线和圆相切的条件：，解得；
（2）设出，运用导数求得切线的斜率，求得为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得在定直线上；
【详解】
解：（1）依题意设直线的方程为，
由已知得：圆的圆心，半径，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，解得或（舍去）．
所以；
（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，
所以，所以，设，则以为切点的切线的斜率为，
所以切线的方程为．
令，，即交轴于点坐标为，
所以， ，
，
．
设点坐标为，则，
所以点在定直线上．
【点睛】
本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题．
22、（1）（2） （3）
【解析】
试题分析：（1）；（2）由椭圆对称性，知，所以，此时直线方程为，故． （3）设，则，通过直线和椭圆方程，解得，，所以，即存在．
试题解析：
（1）设椭圆方程为，由题意知：
解之得：，所以椭圆方程为：
（2）若，由椭圆对称性，知，所以，
此时直线方程为，
由，得，解得（舍去），
故．
（3）设，则，
直线的方程为，代入椭圆方程，得
，
因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，
又在直线上，所以，
同理，点坐标为，，
所以，
即存在，使得．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
76
83
812
526
0
1
2
3