2026届安徽省亳州市蒙城县第六中学高考临考冲刺数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省亳州市蒙城县第六中学高考临考冲刺数学试卷含解析，共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知复数，则，集合，，则，双曲线，的展开式中的系数为等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，若，则实数的值是（ ）
A．-1B．7C．1D．1或7
2．设，，则（ ）
A．B．C．D．
3．集合，，则( )
A．B．C．D．
4．已知复数，则的虚部为（ ）
A．－1B．C．1D．
5．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
6．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．双曲线：（），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，且)，则“在上是单调函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．设为虚数单位，复数，则实数的值是（ ）
A．1B．-1C．0D．2
10．的展开式中的系数为( )
A．－30B．－40C．40D．50
11．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数一个递增区间为
C．函数的图像关于直线对称
D．将函数图像向左平移个单位可得函数的图像
12．要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ）
A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度
B．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度
C．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度
D．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式为______________．
14． “直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．
15．的展开式中的系数为________________．
16．若变量，满足约束条件，则的最大值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）△的内角的对边分别为,且．
(1)求角的大小
(2)若,△的面积,求△的周长．
18．（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形(如图所示)，其中.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.
19．（12分）已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax.
（1）求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；
（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；
（3）若∃x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求实数a的最大值．
20．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
（1）当直线的倾斜角为时，求线段AB的中点的横坐标；
（2）设点A关于轴的对称点为C，求证：M，B，C三点共线；
（3）设过点M的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点P，使得（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．
21．（12分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为.
（1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度；
（2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.
22．（10分）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
2、D
【解析】
集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可
【详解】
，
，
则
故选
【点睛】
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．
3、A
【解析】
解一元二次不等式化简集合A，再根据对数的真数大于零化简集合B，求交集运算即可.
【详解】
由可得，所以，由可得,所以,所以，故选A．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.
4、A
【解析】
分子分母同乘分母的共轭复数即可.
【详解】
，故的虚部为.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.
5、B
【解析】
利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得
【详解】
，故.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
6、A
【解析】
计算，再计算交集得到答案.
【详解】
，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
7、B
【解析】
首先求得双曲线的一条渐近线方程，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出，进而求出渐近线的方程.
【详解】
设左焦点为，一条渐近线的方程为，由左焦点到渐近线的距离为2，可得，所以渐近线方程为，即为,
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.
8、C
【解析】
先求出复合函数在上是单调函数的充要条件，再看其和的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.
【详解】
，且)，
由得或，
即的定义域为或，（且）
令，其在单调递减，单调递增，
在上是单调函数，其充要条件为
即.
故选：C.
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.
9、A
【解析】
根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得的值.
【详解】
复数，
由复数乘法运算化简可得，
所以由复数定义可知，
解得，
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.
10、C
【解析】
先写出的通项公式，再根据的产生过程，即可求得.
【详解】
对二项式，
其通项公式为
的展开式中的系数
是展开式中的系数与的系数之和.
令，可得的系数为；
令，可得的系数为；
故的展开式中的系数为.
故选：C.
【点睛】
本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.
11、B
【解析】
化简到，根据定义域排除，计算单调性知正确，得到答案.
【详解】
，
故函数的定义域为，故错误；
当时，，函数单调递增，故正确；
当，关于的对称的直线为不在定义域内，故错误.
平移得到的函数定义域为，故不可能为，错误.
故选：.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.
12、B
【解析】
分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．
详解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到
再将得到的图象向左平移个单位长度得到
故选B．
点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合和的关系是解决本题的关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、，
【解析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得，，结合图象求得该函数的最小正周期，可得出，再将点代入函数解析式，求出的值，即可求得该函数的解析式.
【详解】
由图象可知，，，，，
从题图中可以看出，从时是函数的半个周期，则，.
又，，得，取，
所以，．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
14、必要不充分
【解析】
先求解直线l1与直线l2平行的等价条件，然后进行判断.
【详解】
“直线l1：与直线l2：平行”等价于a＝±2，
故“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分.
【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判定，把已知条件进行等价转化是求解这类问题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
15、
【解析】
在二项展开式的通项中令的指数为，求出参数值，然后代入通项可得出结果.
【详解】
的展开式的通项为，令，
因此，的展开式中的系数为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过时，取最大值，代入可求得结果.
【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

将化为，则最大时，直线在轴截距最大；
由直线平移可知，当过时，在轴截距最大，
由得：，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I）；（II）．
【解析】
试题分析：（I）由已知可得
；（II）依题意得：
的周长为．
试题解析：（I）∵，∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（II）依题意得：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
考点：1、解三角形；2、三角恒等变换．
18、（1）（2）当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.
【解析】
（1）设米，总费用为，解即可得解；
（2）结合（1）可得占地面积结合导函数分类讨论即可求得最值.
【详解】
（1）由题意知:矩形面积米，
设米，则米，由题意知:，得，
设总费用为，
则，
解得:，又，故，
所以发酵池边长的范围是不小于15米，且不超过25米；
（2）设发酵馆的占地面积为由（1）知:，
①时，，在上递增，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；
②时，，在上递减，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；
③时，时，，递减；时，递增，
因此，即时，发酵馆的占地面积最小；
综上所述：当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.
【点睛】
此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.
19、（1）m(t)＝（2）a≤2－2.（3）a≤2－2.
【解析】
（1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解．
（2）注意到函数h(x)的图像上任意不同两点A，B连线的斜率总大于1，等价于h(x1)－h(x2)＜x1－x2(x1＜x2)恒成立，从而构造函数F(x)＝h(x)－x在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立来加以研究．
（3）用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到a≤，再利用导数求函数M(x)＝的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值．
【详解】
（1） f′(x)＝1－，x＞0，
令f′(x)＝0，则x＝1.
当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝t－lnt；
当0＜t＜1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t＋1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)＝1.
综上，m(t)＝
（2）h(x)＝x2－(a＋1)x＋lnx，
不妨取0＜x1＜x2，则x1－x2＜0，
则由，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2，
变形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．
令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0，
则F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，
故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．
因为2x＋≥2，当且仅当x＝时取“＝”，
所以a≤2－2.
（3）因为f(x)≥，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.
因为x∈(0,1]，则x＋1∈(1,2]，所以∃x∈(0,1]，使得a≤成立．
令M(x)＝，则M′(x)＝.
令y＝2x2＋3x－lnx－1，则由y′＝＝0 可得x＝或x＝－1(舍)．
当x∈时，y′＜0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在上单调递减；
当x∈时，y′＞0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在上单调递增．
所以y≥ln4－＞0，
所以M′(x)＞0在x∈(0,1]时恒成立，
所以M(x)在(0,1]上单调递增．
所以只需a≤M(1)，即a≤1.
所以实数a的最大值为1.
【点睛】
本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于难题.
20、 (1) AB的中点的横坐标为；（2）证明见解析；（3）
【解析】
设.
（1）因为直线的倾斜角为，，所以直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理，得，则，
故线段AB的中点的横坐标为．
（2）根据题意得点，
若直线AB的斜率为0，则直线AB的方程为，A、C两点重合，显然M，B，C三点共线；
若直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，
联立方程组，消去并整理得，
则，设直线BM、CM的斜率分别为、，
则，即=，即M，B，C三点共线．
（3）根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为，
设，
联立方程组，消去并整理，得，
由，整理得，又，
所以，
结合，得，
当时，该直线为轴，即，
此时椭圆上任意一点P都满足，此时符合题意；
当时，由，得，代入椭圆C的方程，得，整理，得，
再结合，得到，即，
综上，得到实数的取值范围是．
21、（1）当时，公路的长度最短为千米；（2）（千米）.
【解析】
（1）设切点的坐标为，利用导数的几何意义求出切线的方程为，根据两点间距离得出，构造函数，利用导数求出单调性，从而得出极值和最值，即可得出结果；
（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根据勾股定理即可求出的长度.
【详解】
（1）由题可知，设点的坐标为，
又，
则直线的方程为，
由此得直线与坐标轴交点为：，
则，故，
设，则.
令，解得=10.
当时，是减函数；
当时，是增函数.
所以当时，函数有极小值，也是最小值，
所以， 此时.
故当时，公路的长度最短，最短长度为千米.
（2） 在中，，,
所以，
所以，
根据正弦定理
,
，
，
，
又，
所以.
在中，，，
由勾股定理可得，
即，
解得，（千米）.
【点睛】
本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.
22、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）令，，利用可求得数列的通项公式，由此可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法求得，进而可得出结论.
【详解】
（1）令，，
当时，；
当时，，则，故；
（2），
.
【点睛】
本题考查利用求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.