河南省洛阳市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份河南省洛阳市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2025— 2026 学年第二学期期中考试
高二数学试卷参考答案
一、选择题
1 - 4 CABB 5 - 8 CDAB
二、选择题
9. BC 10. ABD 11. ACD
三、填空题
12. 4 13. 37 14. ( 1 , + ∞ )
四、解答题
15. (1) 由f(x) = ax3 + bx ,得f , (x) = 3ax2 + b. ……1 分因为f(x) 在 x = - 2 处取得极大值 16 ,
所以 ……3 分解得 ……5 分经检验当时 , f(x) 在 x = - 2 处取得极大值 16 , ……6 分故f(x) = x3 - 12x. ……7 分(2) 由 (1) 可知 , f , (x) = 3x2 - 12 = 3 (x - 2) (x + 2) , ……8 分当 x ∈ [1 ,2) 时 , f , (x) < 0 , f(x) 单调递减 ;
当 x ∈ (2 , 3] 时 , f , (x) > 0 , f(x) 单调递增 ; ……9 分
又因为f(1) = - 11, f(3) = - 9 , f(2) = - 16. ……11 分
所以f(x) 在 [ \l "bkmark1" 1 , \l "bkmark2" 3 ] 上的最大值为 - 9 ,最小值为 - 16. ……13 分16. (1) 令 x = 2 ,得 a0 = (2 × 2 - 5) 8 = 1 , ……1 分
令 x = 3 ,得 a0 + a1 + a2 + a3 + … + a8 = (2 × 3 - 5) 8 = 1 , … … 3 分
∴ a1 + a2 + a3 + … + a8 = ( a0 + a1 + a2 + a3 + … + a8) - a0 = 0. ……5 分高二数学答案 第1 页 ( 共 4 页) (2026. 4)
(2) (2x - 5) 8 = [2(x - 2) - 1] 8 = a0 + a1 (x - 2) + a2 (x - 2) 2 + … + a8 (x - 2) 8 . ……7 分
∴ a3 = CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(5),8) × 23 × ( - 1) 5 = - 448. ……9 分
(3) 由 (2) 可知 ,ak = CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(8),8)-k × 2k × ( - 1) 8-k , ……10 分∴ a0 ,a2 ,a4 ,a6 ,a8 都大于零 ,而 a1 ,a3 ,a5 ,a7 都小于零 , ……11 分
∴ | a0 | + | a1 | + | a2 | + … + | a8 |
= a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 + a8 , ……13 分
令 x = 1 ,则 (2 × 1 - 5) 8 = a0 + a1 × ( - 1) + a2 ( - 1) 2 + … + a8 ( - 1) 8
= a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 + a8 = 38 .
∴ | a0 | + | a1 | + | a2 | + … + | a8 | = 38 = 6561. ( 未写出 6561 不扣分) ……15 分
……1 分
则f , ……3 分显然当 x > 1 时 , f , (x) > 0;当 x < 1 时 , f , (x) < 0.
即f(x) 在 ( - ∞ ,1) 上单调递减 ,在 ( 1 , + ∞ ) 单调递增. ……5 分
所以f(x) 的极小值为f(1) = - e , ……6 分
f(x) 无极大值. ……7 分
2ex + x
(2) 由f(x) = ae2x + ( a - 2)ex - x ≥ 0 ,得 a ≥ 2x x . ……8 分e + e
令 g
则 g ,
……10 分
令 h(x) = ex + x - 1 ,则 h , (x) = ex + 1 > 0.
所以 h (x) 是增函数 ,又 h(0) = 0 , ……11 分
所以当 x > 0 时 ,h (x) > 0 ,从而 g , (x) < 0 ,
当 x < 0 时 ,h (x) < 0 ,从而 g , (x) > 0 ,
即 g(x) 在 ( - ∞ ,0) 上单调递增 ,在 (0 , + ∞ ) 上单调递减. ……13 分
故 g(x) max = g (0) = 1. ……14 分
从而 a ≥ 1 ,即实数 a 的取值范围为[ 1 , + ∞ ) . ……15 分
18. (1) 依题意 , 甲乙所选无人机编号的奇偶相同 ,故有 AEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),5) + AEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),4) = 32 种选择 ……3 分(2) ① 依题意 ,每个年级分得 3 架无人机 ,共有 CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(3),9)CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(3),6)CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(3),3) = 1680 种分配方法. ……6 分
② 依题意 ,三个年级分得的无人机数量为 2 - 2 - 5 ,共有种分配方法 , ……10 分
③ 依题意 ,三个年级分得的无人机数分别为 1 - 2 - 6 ,1 - 3 - 5 ,2 - 3 - 4.
若无人机数量为 1 - 2 - 6 ,分配方法数为 :CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(1),9)CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),8)CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(6),6)AEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(3),3) = 1512 ; ……12 分
若无人机数量为 1 - 3 - 5 ,分配方法数为 :CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(1),9)CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(3),8)CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(5),5)AEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(3),3) = 3024 ; ……14 分
若无人机数量为 2 - 3 - 4 ,分配方法数为 :CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),9)CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(3),7)CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(4),4)AEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(3),3) = 7560 ; ……16 分
根据分类加法计数原理分配方法种数为 1512 + 3136 + 7560 = 12096. ……17 分
19. (1) ∵ f , = ax - ……1 分∴ f , = 0 ,又f ……2 分所以切线方程为 y ……3 分
……4 分
① 当 a ≥ 0 时 ,ax + 1 ≥ 0 , ∴ 若 x > 1 ,f , (x) > 0 ,即f(x) 的递增区间为( 1 , + ∞ ) ,若 0 < x < 1 , f , (x) < 0 ,即f(x) 的递减区间为(0 , 1) , ……5 分
② 当 a < 0 时 , 由 ax + 1 = 0 得 x 即 a = - 1 , f , (x) ≤ 0 ,即f(x) 的递减区间为(0 , + ∞ ) . ……6 分
1 1
若 - > 1 即 - 1 < a < 0 ,当 0 < x < 1 或 x > - 时 , f , (x) < 0 ,即f(x) 的递
a a
减区间为(0
当 1 < x < - 时 , f , (x) > 0 ,即f(x) 的递增区间为( 1 , . ……8 分
1 1
若 - < 1 即 a < - 1 ,当 0 < x < - 或 x > 1 时 , f , (x) < 0 ,即f(x) 的递减区间
a a
1
为 (0 , - ) , ( 1 , + ∞ ) .
a
当 - < x < 1 时 , f , (x) > 0 ,即f(x) 的递增区间为 1 ) . ……10 分综上 ,当 a ≥ 0 时 , f(x) 的递减区间为(0 , 1) ,递增区间为( 1 , + ∞ ) .
当 - 1 < a < 0 时 , f(x) 的递减区间为 ,递增区间为( 1 , 当 a = - 1 时 , f(x) 的递减区间为(0 , + ∞ ) ,无递增区间.
当 a < - 1 时 , f(x) 的递减区间为(0 , ,递增区间为 ……11 分
(3) 由 (2) 知 ,当 a ≥ 0 或 a = - 1 时 ,函数 y =f 的零点个数不超过 2 ,不符合题意. ……12 分
又当 a < 0 时 ,易得若 x → + ∞ ,则f(x) → - ∞ ,若 x → 0 ,则f(x) → + ∞ , ……13 分若函数 y =f 有三个零点 ,
则 ] < 0 ,即
……15 分解得 实数 a 的取值范围是 ……17 分