2026年小升初数学思维强化训练专题04：和差倍问题进阶题型专项(知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场)(学生版+解析)

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知识梳理
1. 基本模型回顾
2. 进阶题型分类与解题策略
（1）隐藏和或差
特征：题目不直接给出“和”或“差”，需通过条件推导。
方法：通过“总数”“倍数变化”“增减操作”等间接求出和或差。
例：甲是乙的3倍，甲给乙10个后两人相等 → 可推出原差为20。
（2）倍数变化问题
特征：原来有倍数关系，经过“增加”“减少”“转移”后倍数改变。
方法：设原来份数，利用“差不变”或“和不变”列式。
关键：找不变量（和不变、差不变、倍数关系变化）。
（3）多量和差倍问题
特征：涉及三个或以上量，如甲、乙、丙的和差倍关系。
方法：两两比较，转化为两个量的问题；或设最小量为“1份”，统一份数。
（4）和差倍与年龄问题结合
特征：年龄差不变，倍数随时间变化。
方法：利用“年龄差不变”作为突破口，结合差倍模型求解。
（5）和差倍与平均数结合
特征：给出平均数，求总量，再结合倍数关系。
方法：总量 = 平均数 × 份数，再用和倍或差倍求解。
3. 核心解题方法
（1）画线段图法：
用线段表示数量，直观展示和、差、倍关系。
例如：甲是乙的3倍，画乙为1段，甲为3段。
（2）设份数法（设1份量）：
设较小量为“1份”，大量为“几份”，统一单位。
适用于和倍、差倍、多量问题。
（3）找不变量法：
和不变：如总数不变，分配方式变。
差不变：如两人年龄差、物品转移前后差不变。
倍数变，但差或和不变，是解题突破口。
（4）方程思想（算术化表达）：
不列方程，但用“设未知数”思路列式，如“设乙为1份，则甲为3份”。
4. 分数书写规范
（1）所有分数使用标准书写形式，如： 12、 53、 214
（2）结果若为带分数，优先写成带分数形式
（3）除法算式中，商可用分数表示，如： 8÷3=83
（4）计算过程中保留分数，避免小数误差
5. 解题步骤
（1）读题审题：圈出关键词（“是……倍”“多……”“少……”“和为”）
（2）判断类型：是和差？和倍？差倍？还是进阶题型？
（3）画图或设份：画线段图，设1份量
（4）找等量关系：和、差、倍、不变量
（5）列式计算：分步列式，注意单位
（6）验算作答：代入原题验证，写完整答句
6. 易错点提醒
（1）混淆“和倍”与“差倍”的公式
（2）忽略“差不变”“和不变”等隐藏条件
（3）倍数关系理解错误（如“甲比乙多2倍”≠“甲是乙的2倍”）
（4）分数结果未化简或未写成带分数
（5）单位不统一时未换算
例题讲解
【例题1】（隐藏差问题）
题目：甲、乙两人共有图书120本，甲的图书是乙的4倍。甲比乙多多少本？
解析：
这是和倍问题，先求甲、乙各多少本。
设乙为1份，则甲为4份，共1 + 4 = 5份
每份： 120÷5=24（本）
乙：24本，甲： 24×4=96（本）
甲比乙多： 96−24=72（本）
答：甲比乙多72本。
【跟踪训练】
题目：小明和小红共有零花钱180元，小明的钱是小红的2倍。小明比小红多多少元？
【例题2】（倍数变化问题——差不变）
题目：甲筐苹果是乙筐的5倍，从甲筐取出20千克放入乙筐后，两筐苹果一样多。原来两筐各有多少千克？
解析：
设乙筐原来为1份，则甲筐为5份
差： 5−1=4份
转移后相等，说明甲给乙20千克后差减少40千克（甲少20，乙多20）
所以原差为40千克
4份 = 40千克 → 1份 = 10千克
乙：10千克，甲： 10×5=50千克
答：甲筐原来有50千克，乙筐有10千克。
【跟踪训练】
题目：甲仓大米是乙仓的4倍，从甲仓运走18吨到乙仓后，两仓大米相等。原来两仓各有多少吨？
【例题3】（多量和倍问题）
题目：甲、乙、丙三人共有钱360元，甲的钱是乙的2倍，乙的钱是丙的3倍。三人各有多少元？
解析：
设丙为1份，则乙为3份，甲为 3×2=6份
总份数： 1+3+6=10份
每份： 360÷10=36（元）
丙：36元，乙： 36×3=108元，甲： 36×6=216元
答：甲有216元，乙有108元，丙有36元。
【跟踪训练】
题目：三个年级共植树240棵，六年级植的是五年级的2倍，五年级植的是四年级的3倍。各年级植多少棵？
提升练习
1.甲、乙两数和为120，甲比乙多2倍。求甲、乙两数。
2.两筐水果共重150千克，从甲筐取出10千克放入乙筐后，甲筐是乙筐的2倍。原来两筐各重多少千克？
3.三个班共捐款480元，一班捐的是二班的2倍，二班捐的是三班的3倍。各班捐多少元？
4.哥哥和弟弟共有邮票180张，哥哥给弟弟15张后，哥哥的邮票是弟弟的2倍。原来各有多少张？
5.两数差为45，大数是小数的4倍。求大数。
6.甲仓粮食是乙仓的5倍，从甲仓运走30吨到乙仓后，甲仓是乙仓的2倍。原来两仓各有多少吨？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙两人存款和为600元，若甲再存100元，则甲是乙的3倍。原来甲有多少元？
2.两桶油共重200千克，从第一桶倒出20千克到第二桶后，第一桶是第二桶的 32。原来两桶各重多少千克？
3.三个数和为120，甲是乙的2倍，乙是丙的3倍。求丙。
4.父子今年年龄和为50岁，4年前父亲年龄是儿子的6倍。今年父亲多少岁？
5.两数和为180，若大数减去30，小数加上30，则两数相等。原来大数是多少？
6.甲筐苹果是乙筐的4倍，从甲筐取出一部分给乙筐后，甲筐是乙筐的2倍，且甲筐减少了24千克。乙筐原有多少千克？问题类型
已知条件
基本公式
解题关键
和差问题
两数和、两数差
大数 = (和 + 差) ÷ 2小数 = (和 - 差) ÷ 2
画线段图，找“差”对应的位置
和倍问题
两数和、倍数关系
小数 = 和 ÷ (倍数 + 1)大数 = 小数 × 倍数
找“1倍数”，设为1份
差倍问题
两数差、倍数关系
小数 = 差 ÷ (倍数 - 1)大数 = 小数 × 倍数
找“差”对应几份
参考答案及解析
一、跟踪训练答案
1.解：设小红为1份，小明为2份，共3份，每份： 180÷3=60，小明：120元，小红：60元，多： 120−60=60（元）
答：多60元。
2.解：设乙仓为1份，甲仓为4份，差3份。转移18吨后相等 → 原差36吨 → 3份 = 36 → 1份 = 12，乙：12吨，甲：48吨
答：甲48吨，乙12吨。
3.解：设四年级为1份，五年级为3份，六年级为6份，共10份，每份： 240÷10=24，四：24棵，五：72棵，六：144棵
答：四24棵，五72棵，六144棵。
二、提升练习答案
1.解：“甲比乙多2倍” → 甲是乙的3倍，设乙为1份，甲为3份，共4份，每份： 120÷4=30，甲：90，乙：30
答：甲90，乙30。
2.解：设后来乙筐为1份，则甲为2份，共3份 = 150 → 每份50，后来乙：50，甲：100
→ 原来乙： 50−10=40，甲： 100+10=110
答：甲110千克，乙40千克。
3.解：设三班为1份，二班为3份，一班为6份，共10份，每份： 480÷10=48，三班：48元，二班：144元，一班：288元
答：一班288元，二班144元，三班48元。
4.解：设后来弟弟为1份，哥哥为2份，共3份 = 180 → 每份60，后来弟弟：60，哥哥：120
→ 原来弟弟： 60−15=45，哥哥： 120+15=135
答：哥哥135张，弟弟45张。
5.解：设小数为1份，大数为4份，差3份 = 45 → 1份 = 15，大数： 15×4=60
答：大数是60。
6.解：设原来乙仓为1份，甲仓为5份，差4份。运30吨后，甲剩 5份−30，乙为 1份+30，有：
5份−30=2×1份+30 → 5份−30=2份+60 → 3份=90 → 1份 = 30
→ 乙：30吨，甲：150吨
答：甲150吨，乙30吨。
三、模拟赛场答案
1.解：设乙为1份，则甲+100 = 3份，甲 = 3份 - 100，又甲 + 乙 = 600 → 3份−100+1份=600 → 4份=700 → 份 = 175，乙：175，甲： 600−175=425
答：原来甲有425元。
2.解：设后来第二桶为2份，则第一桶为3份，共5份 = 200 → 每份40，后来第二桶：80，第一桶：120
→ 原来第二桶： 80−20=60，第一桶： 120+20=140
答：第一桶140千克，第二桶60千克。
3.解：设丙为1份，乙为3份，甲为6份，共10份 = 120 → 1份 = 12，丙：12
答：丙是12。
4.解：4年前和： 50−8=42，设儿子为1份，父亲为6份，共7份 → 每份6，儿子4年前6岁，今年10岁；父亲今年 36+4=40 岁
答：父亲今年40岁。
5.解：设后来相等为1份，则原大数： 1份+30，小数： 1份−30，和： 2份=180 → 份 = 90，大数： 90+30=120
答：原来大数是120。
6.解：设乙筐原有 x 千克，则甲原有 4x 千克。
甲取出24千克给乙 → 甲剩 4x−24，乙为 x+24
有： 4x−24=2x+24 → 4x−24=2x+48 → 2x=72 → x=36
答：乙筐原有36千克。