广西壮族自治区贺州市2025-2026学年高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份广西壮族自治区贺州市2025-2026学年高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了已知等边△ABC内接于圆等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为实数集，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知实数满足约束条件，则的最小值是
A．B．C．1D．4
4．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
5．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为
A．B．
C．D．
8．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．9B．27C．81D．
9．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级．某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为，则该班（ ）
A．物理化学等级都是的学生至多有人
B．物理化学等级都是的学生至少有人
C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人
D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人
11．从抛物线上一点 (点在轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知集合，则元素个数为( )
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.
14．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________．
15．已知向量，，且，则实数m的值是________．
16．已知集合，，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若的解集为，，求证：．
18．（12分）这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究，一名同学在数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期和全国累计报告确诊病例数量（单位：万人）之间的关系如下表：
（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？
（2）求出关于的线性回归方程（系数精确到0.01）.并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，.
19．（12分）已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn为等差数列{an}的前n项和，.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设bn＝an⋅3n，求数列{bn}的前n项和Tn.
20．（12分）记函数的最小值为.
（1）求的值；
（2）若正数，，满足，证明：.
21．（12分）在数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得成立，求实数的最小值
22．（10分）已知数列满足，，其前n项和为.
（1）通过计算，，，猜想并证明数列的通项公式；
（2）设数列满足，，，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
求出集合，，，由此能求出．
【详解】
为实数集，，，
或，
．
故选：．
本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．A
【解析】
列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】
金、木、水、火、土任取两类，共有：
金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，
其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，
所以2类元素相生的概率为，故选A.
本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
3．B
【解析】
作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，
设，则，易知当直线经过点时，z取得最小值，
由，解得，所以，所以，故选B．
4．D
【解析】
如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，则，，，设，
则
.
当，即时等号成立.
故选：.
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
5．C
【解析】
根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解．
【详解】
，，
，．
故选：C．
本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则．
6．B
【解析】
根据特殊值及函数的单调性判断即可；
【详解】
解：当时，，无意义，故排除A；
又，则，故排除D；
对于C，当时，，所以不单调，故排除C；
故选：B
本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.
7．C
【解析】
由题可得，解得，
则，，
所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C．
8．A
【解析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.
【详解】
设等比数列的公比为q.
由，得，解得或.
因为.且数列递增，所以.
又，解得，
故.
故选：A
本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．D
【解析】
由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
由题意得，，得，解得，
得.
当时，；当时，，
则的最小值为.
故选：D.
本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
10．D
【解析】
根据题意分别计算出物理等级为，化学等级为的学生人数以及物理等级为，化学等级为的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知，名学生减去名全和一科为另一科为的学生人（其中物理化学的有人，物理化学的有人），
表格变为：
对于A选项，物理化学等级都是的学生至多有人，A选项错误；
对于B选项，当物理和，化学都是时，或化学和，物理都是时，物理、化学都是的人数最少，至少为（人），B选项错误；
对于C选项，在表格中，除去物理化学都是的学生，剩下的都是一科为且最高等级为的学生，
因为都是的学生最少人，所以一科为且最高等级为的学生最多为（人），
C选项错误；
对于D选项，物理化学都是的最多人，所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少（人），D选项正确.
故选：D.
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
11．A
【解析】
根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标，进而求出点的坐标，代入斜率公式即可求解.
【详解】
设点的坐标为，
由题意知，焦点,准线方程，
所以，解得，
把点代入抛物线方程可得，
，因为，所以，
所以点坐标为，
代入斜率公式可得，.
故选：A
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.
12．B
【解析】
作出两集合所表示的点的图象，可得选项.
【详解】
由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2，
故选：B.
本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.
【详解】
因为，
所以，
又
故切线方程为，
整理为，
故答案为：
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.
14．
【解析】
设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解．
【详解】
由题意，如图所示，设，则，
又由，，所以为的中点，为的三等分点，
则，，
所以
．
本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
15．1
【解析】
根据即可得出，从而求出m的值．
【详解】
解：∵；
∴；
∴m＝1．
故答案为：1．
本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．
16．
【解析】
利用交集定义直接求解．
【详解】
解：集合奇数，
偶数，
．
故答案为：．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）当时，将所求不等式变形为，然后分、、三段解不等式，综合可得出原不等式的解集；
（2）先由不等式的解集求得实数，可得出，将代数式变形为，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可证得结论.
【详解】
（1）当时，不等式为，且.
当时，由得，解得，此时；
当时，由得，该不等式不成立，此时；
当时，由得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
（2）由，得，即或，
不等式的解集为，故，解得，，
， ，，
当且仅当，时取等号，．
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18．（1）可以用线性回归模型拟合与的关系；（2），预测2月10日全国累计报告确诊病例数约有4.5万人.
【解析】
（1）根据已知数据，利用公式求得，再根据的值越大说明它们的线性相关性越高来判断.
（2）由（1）的相关数据，求得，，写出回归方程，然后将代入回归方程求解.
【详解】
（1）由已知数据得，，，
所以，
，
所以.
因为与的相关近似为0.99，说明它们的线性相关性相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）得，，
，
所以，关于的回归方程为：，
2月10日，即代入回归方程得：.
所以预测2月10日全国累计报告确诊病例数约有4.5万人.
本题主要考查线性回归分析和回归方程的求解及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．（1）.（2）
【解析】
（1）先设等差数列{an}的公差为d（d＞0），然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程，解出d的值，即可得到数列{an}的通项an；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用错位相减法计算前n项和Tn.
【详解】
（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d（d＞0），则
a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，
整理，得12d2+7d﹣10＝0，
解得d（舍去），或d，
∴an＝1（n﹣1），n∈N*.
（2）由（1）知，bn＝an⋅3n•3n＝（2n+1）•3n﹣1，
∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）•3n﹣1，
∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n，
两式相减，可得：
﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）•3n
＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n
＝3+2（2n+1）•3n
＝﹣2n•3n，
∴Tn＝n•3n.
本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n项和.考查了转化与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.
20．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）将函数转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解；
（2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可.
【详解】
解法一：（1）
当时，，
当，，
当时，，
所以
解法二：（1）
如图
当时，
解法三：（1）
当且仅当即时，等号成立.
当时
解法一：（2）由题意可知，，
因为，，，所以要证明不等式，
只需证明，
因为成立，
所以原不等式成立.
解法二：（2）因为，，，所以，
，
又因为，
所以，
所以，原不等式得证.
补充：解法三：（2）由题意可知，，
因为，，，所以要证明不等式，
只需证明，
由柯西不等式得：成立，
所以原不等式成立.
本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.
21．（1）；（2）
【解析】
（1）由得，两式相减可得是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；
（2），分类讨论，当时，，作商法可得数列为递增数列，由此可得答案，
【详解】
解：（1）因为，，
两式相减得：，即，
是从第二项开始的等比数列，
∵
∴，则，
；
（2），
当时，；
当时，
设递增，
，
所以实数的最小值．
本题主要考查地推数列的应用，属于中档题．
22．（1），证明见解析；（2）
【解析】
（1）首先利用赋值法求出的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围．
【详解】
（1）数列满足，，其前项和为．
所以，，
则，，，
所以猜想得：．
证明：由于，
所以，
则：（常数），
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
所以，整理得．
（2）数列满足，，
所以，
则，
所以．则，
所以，
所以，整理得，
由于，所以，即．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．
日期
1
2
3
4
5
6
7
全国累计报告确诊病例数量（万人）
1.4
1.7
2.0
2.4
2.8
3.1
3.5
物理
化学