曲靖市2025-2026学年高三一诊考试数学试卷（含答案解析）

这是一份曲靖市2025-2026学年高三一诊考试数学试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了集合，则，已知双曲线C，方程在区间内的所有解之和等于等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（ ）
A．4B．8C．9D．27
4．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
6．集合，则（ ）
A．B．C．D．
7．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为( )
A．B．C．D．
8．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
9．方程在区间内的所有解之和等于( )
A．4B．6C．8D．10
10．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
11．等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，，，现将沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
12．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为 ．
14．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y的值为________．
15．设Sn为数列{an}的前n项和，若an0，a1=1，且2Sn=an（an+t），n∈N*，则S10=_____.
16． “”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）
（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．
参考公式：
18．（12分）已知数列{an}满足条件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn．
19．（12分）已知函数．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．
20．（12分）已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线 垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线 交于点Q，且,求点P的坐标.
21．（12分）等差数列的前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列{}的前项和为，求使成立的的最小值．
22．（10分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，设，证明：，，使.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得的值，即可比较各选项.
【详解】
如下图所示，平面，从而平面，
易知与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴，
∵平面，平面，且与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴，
∴结合四个选项可知，只有正确.
故选：A.
本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.
2．C
【解析】
设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值．
【详解】
设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键．
3．D
【解析】
设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.
【详解】
设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，
作正四面体的高为，
则，
，
，
设内切球的半径为，内切球的球心为，
则，
解得：；
设外接球的半径为，外接球的球心为，
则或，，
在中，由勾股定理得：
，
，解得，
，

故选：D
本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.
4．B
【解析】
先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．
【详解】
双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，
∴kl，
∴直线l的方程为y（x﹣c），
与y＝±x联立，可得y或y，
∵，
∴2•，
∴ab，
∴c＝2b，
∴e．
故选B．
本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．
5．B
【解析】
化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
6．D
【解析】
利用交集的定义直接计算即可.
【详解】
，故，
故选：D.
本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.
7．B
【解析】
根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值.
【详解】
设会旗中五环所占面积为，
由于，所以，
故可得.
故选：B.
本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.
8．D
【解析】
设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】
设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：
，因此双曲线的渐近线方程为：
.
故选：D
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.
9．C
【解析】
画出函数和的图像，和均关于点中心对称，计算得到答案.
【详解】
，验证知不成立，故，
画出函数和的图像，
易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点，
故所有解之和等于.
故选：.
本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键.
10．D
【解析】
由题知，又，代入计算可得.
【详解】
由题知，又.
故选：D
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.
11．A
【解析】
设E为BD中点，连接AE、CE，过A作于点O，连接DO，得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到即为直线AC与平面ABD所成角，进而求得其正弦值，得到结果.
【详解】
设E为BD中点，连接AE、CE，
由题可知，，所以平面，
过A作于点O，连接DO，则平面，
所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，
所以，可得，
在中可得，
又，即点O与点C重合，此时有平面，
过C作与点F，
又，所以，所以平面，
从而角即为直线AC与平面ABD所成角，，
故选：A.
该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.
12．A
【解析】
由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.
【详解】
由题,因为,所以,
设,则由,可得,解得,
可将三棱锥还原成如图所示的长方体,
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,
所以外接球的体积.
故选:A
本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
试题分析：可以得出，所以在区间上使的范围为，所以使得≥0的概率为
考点：本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.
点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.
14．
【解析】
根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值.
【详解】
根据茎叶图中的数据，得：
甲班5名同学成绩的平均数为，
解得；
又乙班5名同学的中位数为73，则；
.
故答案为：.
本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.
15．55
【解析】
由求出.由，可得，两式相减，可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即求.
【详解】
由题意，当n=1时，，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理得，
，
即，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
.
故答案为：55.
本题考查求数列的前项和，属于基础题.
16．充分不必要
【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.
【详解】
由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①；②数学期望为6，方差为2.4.
【解析】
（1）完成列联表，由列联表，得，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．
（2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．
② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意，由此能求出随机变量的数学期望和方差．
【详解】
解：（1）完成列联表（单位：人）：
由列联表，得：
，
∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．
（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，
偶尔或不用网购的有人，
∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：
．
② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，
将频率视为概率，
∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，
由题意，
∴随机变量的数学期望，
方差D（X）=．
本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析
【解析】
（Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，对分奇偶讨论，即可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用错位相减法求出，运用分析法证明即可.
【详解】
（Ⅰ），
当为奇数时，，又由，得，
当为偶数时，，又由a2＝3，得，
；
（Ⅱ）由（1）得，
则①
②
①-②可得：
，
，
若证明Sn，则需要证明，
又，即证明，即证，
又显然成立，故Sn得证.
本题主要考查了由递推公式求通项公式，错位相减法求前项和，分析法证明不等式，考查了分类讨论的思想，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.
19．（1）（2）
【解析】
（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，
由得
由得
解：，得
∴当时，关于的不等式的解集为
（2）①当时，，
所以在上是减函数，在是增函数，所以，
由题设得，解得.②当时，同理求得.
综上所述，的取值范围为.
本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.
20．（I）．
（II）
【解析】
（I）写出坐标，利用直线与直线垂直，得到.求出点的坐标代入，可得到的一个关系式，由此求得和的值，进而求得椭圆方程.（II）设出点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得点的坐标，代入，化简可求得点的坐标.
【详解】
（I）∵椭圆的左焦点，上顶点，直线AF与直线垂直
∴直线AF的斜率，即 ①
又点A是线段BF的中点
∴点的坐标为
又点在直线上
∴ ②
∴由①②得：
∴
∴椭圆的方程为．
（II）设
由（I）易得顶点M、N的坐标为
∴直线MP的方程是：
由 得：
又点P在椭圆上，故
∴
∴
∴或（舍）
∴
∴点P的坐标为
本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.
21．（1）；（2）的最小值为19.
【解析】
（1）根据条件列方程组求出首项、公差，即可写出等差数列的通项公式；
（2）根据等差数列前n项和化简，利用裂项相消法求和，解不等式即可求解.
【详解】
(1)等差数列的公差设为，，，
可得，，
解得，，
则；
(2)，
，
前n项和为
，
即，
可得，即，
则的最小值为19.
本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，裂项相消法求和，属于中档题
22．（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1），分，，，四种情况讨论即可；
（2）问题转化为，利用导数找到与即可证明.
【详解】
（1）.
①当时，恒成立，
当时，；
当时，，所以，
在上是减函数，在上是增函数.
②当时，，.
当时，；
当时，；
当时，，所以，
在上是减函数，在上是增函数，
在上是减函数.
③当时，，
则在上是减函数.
④当时，，
当时，；
当时，；
当时，，
所以，在上是减函数，
在上是增函数，在上是减函数.
（2）由题意，得.
由（1）知，当，时，，
.
令，，
故在上是减函数，有，
所以，从而.
，，
则，
令，显然在上是增函数，
且，，
所以存在使，
且在上是减函数，
在上是增函数，
，
所以，
所以，命题成立.
本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道较难的题.
经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
50
100
女性
70
100
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
50
50
100
女性
70
30
100
合计
120
80
200