2026年大庆市高三最后一模数学试题（含答案解析）

这是一份2026年大庆市高三最后一模数学试题（含答案解析），共31页。试卷主要包含了设复数z＝，则|z|＝，设分别为的三边的中点，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
2．函数且的图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★ ，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为( )
A．B．C．D．
6．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
7．设复数z＝，则|z|＝（ ）
A．B． C．D．
8．在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是( )
A．B．3C．D．
9．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（ ）
A．B．C．D．
10．设分别为的三边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12．如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前项和为，，则满足的正整数的值为______.
14．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则
15．在平面直角坐标系中，双曲线的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______.
16．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝a+2i（其中i是虚数单位，a∈R），若z1•z2是纯虚数，则a的值为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）改革开放年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示在分以上为交通安全意识强.
求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；
已知交通安全意识强的样本中男女比例为，完成下列列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；
用分层抽样的方式从得分在分以下的样本中抽取人，再从人中随机选取人对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有人得分低于分的概率.
附：其中
18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点.
（1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）求的值.
19．（12分）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，是与的等比中项.
（1）求；
（2）设数列满足，，求数列的通项公式.
20．（12分）已知数列，其前项和为，若对于任意，，且，都有.
（1）求证：数列是等差数列
（2）若数列满足，且等差数列的公差为，存在正整数，使得，求的最小值.
21．（12分）已知，（其中）
.
(1)求；
(2)求证：当时，．
22．（10分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.
（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？
（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.
附：

参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.
详解：由①得到，，故①无解，
所以直线与抛物线是相离的.
由，
而为到准线的距离，故为到焦点的距离，
从而的最小值为到直线的距离，
故的最小值为，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.
2．B
【解析】
先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.
【详解】
由题可知定义域为，
，
是偶函数，关于轴对称，
排除C，D.
又，，
在必有零点，排除A.
故选：B.
本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.
3．B
【解析】
根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．
【详解】
解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，
用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的．
故选：．
本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．
4．A
【解析】
根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.
【详解】
依题意，.
故选：A
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.
5．B
【解析】
根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项.
【详解】
由（）★★ ，得（+2）★★，
又★，所以★，★，★， ，以此类推，2020★2018★2018，
又◆◆，◆，
所以◆，◆，◆， ，以此类推，◆2020，
所以（◆2020）（2020★2018），
故选：B.
本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.
6．D
【解析】
试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D．
考点：数列的通项公式．
7．D
【解析】
先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.
【详解】
解：z＝＝＝＝﹣﹣,
则|z|＝＝＝＝.
故选：D.
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.
8．D
【解析】
设点，由，得关于的方程.由题意，该方程有解，则，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值.
【详解】
由题意，设点.
，
即，
整理得，
则，解得或.
.
故选：.
本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.
9．D
【解析】
首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小
【详解】
因为偶函数在减，所以在上增，
，，，∴.
故选：D
本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.
10．B
【解析】
根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.
【详解】
根据题意,可得几何关系如下图所示:
,
故选:B
本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.
11．B
【解析】
根据诱导公式化简再分析即可.
【详解】
因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.
故选：B
本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.
12．B
【解析】
，将,代入化简即可.
【详解】
.
故选：B.
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．6
【解析】
已知，利用，求出通项，然后即可求解
【详解】
∵，∴当时，，∴；当时，，∴，故数列是首项为-2，公比为2的等比数列，∴.又，∴，∴，∴.
本题考查通项求解问题，属于基础题
14．
【解析】，由题意，得,
解得，则的周期为4，且，所以.
考点：三角函数的图像与性质.
15．
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积．
【详解】
解：双曲线：双曲线中，，，
则双曲线的一条准线方程为，
双曲线的渐近线方程为：，
可得准线方程与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标，，，，
则三角形的面积为．
故答案为：
本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
16．-1
【解析】
由题意，令即可得解.
【详解】
∵z1＝1﹣2i，z2＝a+2i，
∴，
又z1•z2是纯虚数，∴，解得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．，概率为；列联表详见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关；.
【解析】
根据频率和为列方程求得的值，计算得分在分以上的频率即可；
根据题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论；
用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.
【详解】
解：
解得.
所以，该城市驾驶员交通安全意识强的概率
根据题意可知，安全意识强的人数有，
其中男性为人，女性为人，
填写列联表如下：

所以有的把握认为交通安全意识与性别有关.
由题意可知分数在，的分别为名和名，
所以分层抽取的人数分别为名和名，
设的为，，的为，，，，则基本事件空间为，，，，，，，，，，，，，，共种，
设至少有人得分低于分的事件为，则事件包含的基本事件有
，，，，，，，，共种
所以.
本题考查独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于中档题.
18．（1）：，：；（2）
【解析】
（1）根据点斜式写出直线的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用，将曲线的参数方程转化为普通方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得的值.
【详解】
（1）的直角坐标方程为，即，
则的极坐标方程为.
曲线的普通方程为.
（2）直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），
代入曲线的普通方程，得.
设，对应的参数分别为，，所以，在的两侧.则.
本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义，属于中档题.
19．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意，建立首项和公差的方程组，通过基本量即可写出前项和；
（2）由（1）中所求，结合累加法求得.
【详解】
（1）由题意可得即
又因为，所以，所以.

（2）由条件及（1）可得.
由已知得，
所以
.
又满足上式，
所以
本题考查等差数列通项公式和前项和的基本量的求解，涉及利用累加法求通项公式，属综合基础题.
20．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）用数学归纳法证明即可；
（2）根据条件可得，然后将用，，表示出来，根据是一个整数，可得结果．
【详解】
解：（1）令，，则
即
∴，∴成等差数列，
下面用数学归纳法证明数列是等差数列，
假设成等差数列，其中，公差为，
令，，
∴
，
∴，
即，
∴成等差数列，
∴数列是等差数列；
（2），
，
若存在正整数，使得是整数，
则
，
设，，
∴是一个整数，
∴，从而
又当时，有，
综上，的最小值为．
本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属于难题．
21．（1）（2）见解析
【解析】
(1)取，则；取，则，
∴；
(2)要证，只需证，
当时，；
假设当时，结论成立，即，
两边同乘以3 得：
而
∴，即时结论也成立，
∴当时，成立.
综上原不等式获证.
22．（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算得到答案.
（Ⅱ），计算，，，得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得：
，
故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事件总数为，
，，，
.
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
男
女
总计
合格
不合格
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
男
女
总计
合格
10
16
26
不合格
10
4
14
总计
20
20
40
0
1
2