2026年广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年广东省揭阳市高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．
2．函数在的图象大致为
A．B．
C．D．
3．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( )
A．B．C．D．
5．已知函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，，当取得最小值时，函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
10．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ）
A．2或B．3或C．4或D．5或
11．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
12．设集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若点在直线上，则的值等于______________ .
14．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________．
15．已知为等差数列，为其前n项和，若，，则_______.
16．设，满足条件，则的最大值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：
（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；
（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.
（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？
附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，
参考数据：.
18．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求及的值.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值.
20．（12分）已知数列的通项，数列为等比数列，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和.
21．（12分）设数列是等差数列，其前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
22．（10分）已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2），，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
因为将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，结合已知，即可求得答案.
【详解】
将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
，
又和的图象都关于对称，
由，
得，，
即，
又，
.
故选：B.
本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
2．A
【解析】
因为，所以排除C、D．当从负方向趋近于0时，，可得.故选A．
3．C
【解析】
由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.
【详解】
，，
由于，则，同理可知，，
函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，
，则，，则，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.
所以，.
故选：C.
本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.
4．A
【解析】
求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．
【详解】
满足条件的正如下图所示：
其中正的面积为，
满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示，
阴影部分区域的面积为.
则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.
故选：A.
本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题．
5．A
【解析】
先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和得到A和.
【详解】
因为关于轴对称，所以，所以，的最小值是.，则，所以.
本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.
6．C
【解析】
由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解
【详解】
先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时，
故选：C
本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题
7．C
【解析】
根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.
【详解】
根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：
由图可知，该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体，
该几何体的体积为.
故选：C.
本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.
8．C
【解析】
如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
9．C
【解析】
设抛物线的解析式，得焦点为，对称轴为轴，准线为，这样可设点坐标为，代入抛物线方程可求得，而到直线的距离为，从而可求得三角形面积．
【详解】
设抛物线的解析式，
则焦点为，对称轴为轴，准线为，
∵ 直线经过抛物线的焦点，，是与的交点，
又轴，∴可设点坐标为，
代入，解得，
又∵点在准线上，设过点的的垂线与交于点，，
∴.
故应选C.
本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出点坐标，从而求得参数的值．本题难度一般．
10．C
【解析】
先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出.
【详解】
设直线的倾斜角为，则，
所以，，即，
所以直线的方程为.当直线的方程为，
联立，解得和，所以；
同理，当直线的方程为.，综上，或.选C.
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.
11．A
【解析】
试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．
考点：集合的运算．
12．A
【解析】
根据交集的结果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，从而可求.
【详解】
依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.
本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据题意可得，再由，即可得到结论.
【详解】
由题意，得，又，解得，
当时，则，
此时；
当时，则，
此时，
综上，.
故答案为：.
本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.
14．
【解析】
解法一：曲线上任取一点，利用基本不等式可求出该点到直线的距离的最小值；
解法二：曲线函数解析式为，由求出切点坐标，再计算出切点到直线的距离即可所求答案.
【详解】
解法一（基本不等式）：在曲线上任取一点，
该点到直线的距离为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，曲线上任意一点到直线距离的最小值为；
解法二（导数法）：曲线的函数解析式为，则，
设过曲线上任意一点的切线与直线平行，则，解得，
当时，到直线的距离；
当时，到直线的距离.
所以曲线上任意一点到直线的距离的最小值为.
故答案为：.
本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算，可转化为利用切线与直线平行来找出切点，转化为切点到直线的距离，也可以设曲线上的动点坐标，利用基本不等式法或函数的最值进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15．1
【解析】
试题分析：因为是等差数列，所以，即，又，所以，
所以．故答案为1．
【考点】等差数列的基本性质
【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.
16．
【解析】
作出可行域，由得，平移直线，数形结合可求的最大值.
【详解】
作出可行域如图所示
由得，则是直线在轴上的截距.
平移直线，当直线经过可行域内的点时，最小，此时最大.
解方程组，得，.
.
故答案为：.
本题考查简单的线性规划，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）；（3）利润约为111.2万元.
【解析】
（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；
（2）首先求出利润y和养殖量x的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；
（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.
【详解】
（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，
则5个月份任意选取3个月份的基本事件有
，，，，，，
，，，，共计10个，
故恰好有两个月考核合格的概率为；
（2），，
，
，
故；
（3）当千只，
（十万元）（万元），
故9月份的利润约为111.2万元.
本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.
18．（1）（2）；
【解析】
（1）由代入中计算即可；
（2）由余弦定理可得，所以，由，变形即可得到答案.
【详解】
（1）因为，可得：，
∴，或（舍），∵，
∴.
（2）由余弦定理，
得
所以，
故，
又，
所以，
所以.
本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）记，连结，推导出，平面，由此能证明平面平面；（2）推导出，平面，连结，由题意得为的重心，，从而平面平面，进而是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：记，
连结，中，，，，
，，平面，
平面，平面平面．
（2）中，，，，，
，，
，，
，平面，∴，
连结，由题意得为的重心，
，，，平面
平面平面，∴在平面的射影落在上，
是与平面所成角，
中，，，，
．
与平面所成角的正弦值为．
本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据，，成等差数列以及为等比数列，通过直接对进行赋值计算出的首项和公比，即可求解出的通项公式；
（2）的通项公式符合等差乘以等比的形式，采用错位相减法进行求和.
【详解】
（1）数列为等比数列，且，，成等差数列.
设数列的公比为，
，，解得
（2）
，
，
，
，
.
本题考查等差、等比数列的综合以及错位相减法求和的应用，难度一般.判断是否适合使用错位相减法，可根据数列的通项公式是否符合等差乘以等比的形式来判断.
21．（1）（2）见解析
【解析】
（1）设数列的公差为，由，得到，再结合题干所给数据得到公差，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用放缩法证明不等式即可；
【详解】
解：（1）设数列的公差为，∵，∴，
∴，∴.
（2）∵，
∴
，
∴.
本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）将代入函数的解析式，将函数的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）由参变量分离法得出在区间内有解，分和讨论，求得函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，.
当时，；
当时，.
函数的值域为；
（2）不等式等价于，
即在区间内有解
当时，，此时，，则；
当时，，
函数在区间上单调递增，当时，，则.
综上，实数的取值范围是.
本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
月养殖量/千只3
3
4
5
6
7
9
10
12
月利润/十万元
3.6
4.1
4.4
5.2
6.2
7.5
7.9
9.1
生猪死亡数/只
29
37
49
53
77
98
126
145