2026年河南开封市高三三校第二次模拟预测数学试题（附答案解析）

这是一份2026年河南开封市高三三校第二次模拟预测数学试题（附答案解析），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（ ）
A．元B．元C．元D．元
2．如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（ ）
A．圆锥B．四棱锥C．三棱锥D．长方体
3．2024年1月，国家统计局公布了2023年的主要数据，其中人口的变化最引人瞩目．2023年全年出生人口数约为9020000，又创新低．其中数字9020000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
6．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（ ）．

A．8B．6C．6.5D．7.5
7．计算的结果等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字-1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，和是菱形的对角线．若，，则菱形的面积为（）
A．B．C．D．
10．光合作用，通常是指绿色植物(包括藻类)吸收光能，把二氧化碳和水合成富能有机物，同时释放氧气的过程．小明通过实验探究了和环境下大豆苗光合作用氧气释放速度 (毫克/小时)与光照强度 (千勒克斯)之间的关系，并绘制了氧气释放速度(毫克/小时)与光照强度(千勒克斯)之间的关系图象(如图所示)，下列说法正确的是（ ）
A．光照强度越大，大豆苗释放氧气的速度越快
B．当时，两种温度环境下的大豆苗氧气释放速度相同
C．当时，环境下的大豆苗比环境下的大豆苗小时多释放毫克氧气
D．当时，环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快
二、填空题
11．二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的x的值：______．
12．在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是________．
13．按一定规律排列的代数式：则第n个代数式是______．
14．图是我国明末《崇祯历书》中记录《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图，根据割圆八线图，在扇形中， ，，交 于点，过点作，若，则图中阴影部分的面积是______．
15．定义：在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图，在对垂四边形中，已知，，，点E为边上一动点，连接，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的长为______．
三、解答题
16．（1）计算：
（2）化简：．
17．中小学午餐配送是郑州教育的“暖心服务”工程． 某校午餐原来由甲公司配送，为了提高饭菜质量，新学期午餐由乙公司配送． 学生会为了解用餐学生对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况，组织学生对两家公司的饭菜质量进行分数评价（满分为10分）． 学生会随机抽取了10位学生的评价分数：
学生会同学在进行数据分析时首先计算了各公司得分的平均数：甲公司分；乙公司分．
(1)为了能够更加全面、客观地对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况进行评价，你认为还需要了解中位数、众数、方差中的哪些统计量？请至少选择一个你认为合适的统计量进行数据分析．
(2)根据前面的工作，你认为用餐学生对哪家公司的饭菜质量更加满意，为什么？
18．如图，点是反比例函数的图象上一点，是直线延长线上的一点，且，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，若．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)是线段的中点，将沿轴向左平移 个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求平移前点的坐标．
19．如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，点E在上，将点E绕点A逆时针旋转得到点F．
(1)在图中求作点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，连接交于点G，当G是的中点时，求的值．
20．为增强体育锻炼，提高群众身体素质，阳光社区申请了专项资金，准备购买A，B两种体育锻炼器材，安装在后山公园，用于社区居民锻炼身体．已知每套A种器材价格比B种器材多200元，每套A种器材需占地，每套B种器材需占地，购买3套A种器材和5套B种器材共需15000元．
(1)A，B两种体育锻炼器材的单价分别是多少元？
(2)阳光社区申请到专项资金50000元，购买20套A，B两种体育锻炼器材，经预算，安装前期准备工程的费用不少于专项资金的四分之一，安装这20套体育锻炼器材占地的最大面积是多少平方米？
21．根据以下素材，探索解决问题．
任务1：分析测量原理
（1）利用素材1说明的理由．
任务2：完善测量数据
（2）在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度．
任务3：推理计算高度
（3）利用素材3求出旗杆的高度．
22．已知抛物线y＝ (b，c为常数)．
(1)当，时，求抛物线的顶点M的坐标；
(2)若抛物线的顶点M的坐标为，当c的值最大时，求抛物线的解析式；
(3)当时，若在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，此时b和c的值．
23．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积．
(1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：
解：∵，D是的中点，∴．
∴． （依据：______________________）
又∵，∴．
∴．
∴_____________________．
∴．∴．
又∵，∴G是的中点，∴为中位线．
∴，．∴．
(2) “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题：
①求证：；
②求出重叠部分（）的面积．
(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________．
学生A
学生B
学生C
学生D
学生E
学生F
学生G
学生H
学生I
学生J
甲公司
7
6
7
6
9
7
9
8
10
9
乙公司
6
5
8
7
8
8
8
9
8
10
测量旗杆的高度
素材1
可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离．
素材2
可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．
素材3
可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得．
问题解决
《2026年河南开封市三校第二次模拟预测数学试题》参考答案
1．C
【分析】本题考查了正负数的实际应用，正确理解正负的相对性是解题的关键；
根据正负数可以表示具有相反意义的量解答即可.
【详解】解：如果收入100元记作元，那么支出40元应记作元；
故选：C.
2．B
【分析】根据立体图形的展开图特点即可求解．
【详解】解：观察几何体的展开图可知，这个几何体是四棱锥．
3．C
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，理解对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据邻补角的定义得出，根据角平分线的定义得出，根据对顶角得出，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
5．A
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
【详解】解：根据定义得：

＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
6．B
【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答．
【详解】解：连接和，则
．

故选：B．
【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键．
7．A
【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可．
【详解】解：原式
故选：A
8．C
【详解】列表得，
由表格可知，总共有16种结果，两个数都为正数的结果有4种，所以两个数都为正数的概率为，
故选：C.
【点睛】考点：用列表法（或树形图法）求概率.
9．A
【分析】由菱形的性质可得，，，则，然后通过勾股定理求出，所以，最后根据菱形的面积为即可求解．
【详解】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
10．C
【分析】本题需要从图像中获取准确数据、理解图像交点和上下位置关系的含义．
【详解】解：选项A：当时，环境下大豆苗释放氧气的速度不变，故A选项错误，不符合题意；
选项B：由题图知，当时，环境下大豆苗释放氧气的速度大于环境下大豆苗释放氧气的速度，故B选项错误，不符合题意；
选项C：由题图知，当时，环境下的大豆苗1小时释放氧气毫克，环境下的大豆苗1小时释放氧气毫克，所以环境下的大豆苗比环境下的大豆苗小时多释放的氧气量为毫克，故C选项正确，符合题意；
选项D：当时，环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的慢，当时，两种温度环境下的大豆苗的氧气释放速度相同，当时，环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快，故D选项错误，不符合题意．
11．5
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数 ），熟练掌握该条件并据此列不等式求解是解题的关键．要使二次根式在实数范围内有意义，被开方数需是非负数，据此列出不等式求解，再取一个满足条件的值即可．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义
被开方数
解不等式，得，
那么取（只要是大于等于的数都可以 ），满足
故答案为：（答案不唯一，的数均可 ）
12．26
【详解】试题分析：根据折线统计图可知6名学生的体育成绩为；24，24，26，26，26，30，所以这组数据的中位数是26．
考点：折线统计图、中位数．
13．
【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索．观察指数规律与符号规律，进行解答便可．
【详解】解：∵第1个单项式是，
第2个单项式是，
第3个单项式是，…，
∴第n个单项式是．
故答案为：．
14．
【分析】由已知可得，可得，可得，解，，，根据计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
，，
∴ ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，，
∴

．
15．或
【分析】分两种情况讨论：①当F在线段上方时，连接，作的外接圆，证明C，F，B，E，D五点共圆，根据弧、弦的关系，圆周角定理可得出，则，根据圆内接四边形的对角互补求出，过点D作于点K，过C作于M，在中，解直角三角形求出，，中，根据勾股定理求出，根据三线合一求出，在中，根据余弦的定义求出即可；②当F在线段下方时，类似①求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，．
当F在线段上方时，
如图①，连接，作的外接圆，
∵，，
∴，
∴C，B，E，D四点共圆，
∵，
∴C，F，B，E四点共圆，
∴C，F，B，E，D五点共圆，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图②，过点D作于点K，过C作于M，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
在中，，
∴；
当F在线段AB下方时，如图③，连接，作的外接圆，
同理可得C，F，B，E，D五点共圆，
∵，
∴，
∴，
如图④，过点D作DL⊥FB于点L，过C作于N，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
在中，，
∴；
∴综上所述，的长为或．
16．（1） 8；（2）
【分析】（1）分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则、实数的立方根分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可．
【详解】解：（1） 原式；
（2）
．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17．(1)见解析
(2)用餐学生对甲公司的饭菜质量更加满意；理由见解析
【分析】本题主要考查了利用中位线、众数、平均数和方差做决策，解题的关键是理解中位线、众数、平均数和方差的意义；
（1）根据题目中给出的数据可以求出方差，然后根据方差的意义进行判断即可；
（2）通过比较平均数，可以判断出用餐学生对甲公司的饭菜质量更加满意．
【详解】（1）解：还需要了解方差，甲公式方差：
，
乙公司的方差：
∵，
∴甲公司配送饭菜的满意情况波动更小；
（2）解：∵，
∴用餐学生对甲公司的饭菜质量更加满意．
18．(1)反比例函数的解析式为
(2)平移前点的坐标为
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，平移的性质，熟练掌握相关知识是关键．
（1）设点的坐标为，根据，可得点的坐标为，进而求出点的坐标为，结合，计算出的值；
（2）点的坐标为，结合题干可求出点的坐标为．由平移的性质可知，平移后的点的坐标为，将点坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，从而得到平移前点的坐标．
【详解】（1）解：设点的坐标为，
∵是直线延长线上的一点，且，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴，
把代入，得，
，
解得，，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，
由（1）可知，点的坐标为，
∵是线段的中点，
∴点的坐标为，
将点向左平移个单位长度，所得的点的坐标为，
将，代入，得，
，
解得，，
∴平移前点的坐标为．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质以及菱形的性质，得，再作点E关于直线的对称点，则，得出是等边三角形，则点F满足题意，即可作答．
（2）连接，．运用菱形的性质得，，．
再证明是的中位线，根据点E绕点A逆时针旋转得到点F，得是等边三角形． 设，运用三角形函数的性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：作点E关于直线的对称点．如图点F即为所求．
（2）解：连接，．
∵在菱形中，，
∴，，．
∵G是的中点，
∴是的中位线，
∴， ．
∴．
∵点E绕点A逆时针旋转得到点F，
∴，．
∴是等边三角形．
∴．
∴．
设，
可得在中，，
则
∴．
∴中，
∴．
∴．
∴在中，．
【点睛】本题考查了旋转作图，菱形的性质，中位线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，求一个角的正切值，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
20．(1)A种体育器材的单价为2000元，则B种体育器材的单价为1800元
(2)
【分析】（1）设A种体育器材的单价为x元，则B种体育器材的单价为元，根据题意列一元一次方程求解即可；
（2）设购买A种体育器材a套，则购买B种体育器材套，装这20套体育锻炼器材占地面积为，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，再列出总面积关于A种体育器材的件数的一次函数，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A种体育器材的单价为x元，则B种体育器材的单价为元，
由题意可得，，
解得，，
∴，
答：A种体育器材的单价为2000元，则B种体育器材的单价为1800元．
（2）解：设购买A种体育器材a套，则购买B种体育器材套，装这20套体育锻炼器材占地面积为，
由题意可得，，
解得，，
，
∵S随着a的增大而增大，
又∵a为正整数，
∴当时，S取最大值，最大值为87，
答：装这20套体育锻炼器材占地面积为．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、一元一次不等式和一次函数的实际应用，理解题意列出方程是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）；（3）8.6m
【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似可证明；
（2）还需要测出的长，令，证明，得即
，从而即可得解；
（3）过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形，进而得，，证，得，即，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：还需要测出的长，令，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：如图，过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形，
∴(m)，，，
∴(m)，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴(m)．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
22．(1)，见详解
(2)，见详解
(3)b的值为6，c的值为15，见详解
【分析】（1）先把 ，代入，然后把得到的抛物线一般式配成顶点式即可求解；
（2）由顶点 的坐标可得c与b的二次函数解析式，根据二次函数的性质可得b，c的值，进而求出抛物线的解析式；
（3）首先把 代入得到只含有系数b的解析式，然后根据对称轴的位置分类讨论即可．
【详解】（1）解：当，时，抛物线为，
所以抛物线的顶点M的坐标为；
（2）解：∵，
∴顶点M的坐标为．
∵顶点M的坐标为，
∴ ，
∴，
∴当时，c的值最大，最大值为 ，此时抛物线的解析式为；
（3）解：∵，
∴．
由题意得，抛物线的对称轴为直线．
当 ，即时，对应的图象在对称轴的左侧，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧，y随着x的增大而增大，
∴当时，函数值y最大，最大值为，解得，
∴，；
当 ，即时，对称轴在之间，
∴当时，y有最大值，为 ，
∴ ，解得或，均不符合，故舍去；
当 ，即时，对应的图象在对称轴的右侧．
∵，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，函数值最大，最大值为，
解得(不合题意，舍去)；
综上所述，b的值为6，c的值为15．
23．(1)等边对等角，
(2)①证明见解析；②
(3)或
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得；由，得到角相等，进而证得，从而求解；
（2）①利用证明即可；
②证明可得出，证明可得出，则点为的中点，利用勾股定理求出，证明，可求出，然后利用三角形面积公式和三角形中线的性质求解即可；
（3）分，
两种情况讨论，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，D是的中点，
∴．
∴．（依据：等边对等角）
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴G是的中点，
∴为中位线．
∴，．
∴．
故答案为：等边对等角，；
（2）①证明：∵，，
∴，
又，
∴；
②如图，

∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴点为的中点．
在中，．
∵是中点，．
在与中，∵，，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴；
（3）解：当时，过D作于H，

则，
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
当时，过D作于H，过M作于G，

则，
又，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
综上，的面积是为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质和三角形面积的计算的综合应用．明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
B
A
B
A
C
A
C
1
2
0
-1
1
（1，1）
（1，2）
（1，0）
（1，-1）
2
（2，1）
（2，2）
（2，0）
（2，-1）
0
（0，1）
（0，2）
（0，0）
（0，-1）
-1
（-1，1）
（-1，2）
（-1，0）
（-1，-1）