洛阳市2025-2026高一下学期期中数学试卷及答案

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1 - 4 ACBD 5 - 8 CDCB
二、多选题
9. ACD 10. AD 11. BCD
三、填空题
12. 8+42
13.49
14. 26,315
四、解答题
15. 解: (1) 设圆锥底面半径为 r ,圆柱底面半径为 r′ ,
因为过 PO 的中点 O′ 作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,
可得 r=a2,r′=a4 , 2 分
且圆柱母线长 l′=a2 , 3 分
∴ 圆柱的表面积为: S表=2πr′2+2πr′l′=2π⋅a42+2π⋅a4⋅a2=38πa2.6 分
(2)圆锥 PO 的体积为 V1=13πr2⋅OP=13π⋅a22⋅a=112πa3 .8 分
挖去的圆柱体积为 V2=πr′2⋅00′=π⋅a42⋅a2=132πa3 .10 分
∴ 剩下几何体的体积 V=V1−V2=112πa3−132πa3=596πa3 . 12 分
16. 解: (1) 与 b 方向相同的单位向量为 e=bb=14b . 2 分
所以向量 a 在向量 b 上的投影向量为 a⋅cs60∘⋅e=6×12×14b=34b.5 分
(2)由已知得 a⋅b=abcs60∘=6×4×12=12 . 6 分
所以 b⋅a−3b=a⋅b−3b2=12−3×16=−36 .7 分
又因为 a−3b2=a−3b2=a2−6a⋅b+9b2=36−72+144=108 , 9 分
所以 a−3b=108=63 .10 分
设 b 与 a−3b 的夹角为 θ0∘≤θ≤180∘
则 csθ=b⋅a−3bba−3b=−364×63=−32 , 12 分
所以 θ=150∘ . 13 分
17. 解: (1) z2z1=−1+ai2+i=−1+ai2−i2+i2−i .1 分
=a−25+2a+15i .3 分
因为 z2z1 是纯虚数,所以 a−25=02a+15≠0 , 5 分
解得 a=2 . 6 分
(2)由(1)知， z2=−1+2i ， 7 分
因为 z2 是关于 x 的方程 2x2+mx+n=0m,n∈R 的一个根,
则 2−1+2i2+m−1+2i+n=0 , 8 分
即 −6−m+n+−8+2mi=0 , 10 分
所以 −6−m+n=0−8+2m=0 , 12 分
∴m=4n=10 .13 分
18. 解: (1) ∵m//n,∴asinB=3bcsA , 2 分
由正弦定理 asinA=bsinB ,得 asinB=bsinA , 3 分
∴ bsinA=3bcsA,∴ sinA=3csA ,即 tanA=3 5 分
∵ 00,y>0 ,
∴ 4x+y=4x+y13x+13y=134x+y1x+1y=135+yx+4xy
≥135+2yx⋅4xy=3 (当且仅当 yx=4xy ,即 x=12,y=1 时取等号) 5 分
∴ 4x+y 的最小值为 3 . 6 分
(3) GP=AP−AG=xAB−13AB+13AC=x−13AB−13AC
GQ=AQ−AG=yAC−13AB+13AC=−13AB+y−13AC .7 分
∵AB=AC=1,∠BAC=60∘ ,
∴AB⋅AC=ABACcs60∘=1×1×12=12 8 分
∴GP2=x−13AB−13AC2=x−132AB2−23x−13AB⋅AC+19AC2
=x−132−13x−13+19=x2−x+13
GQ2=−13AB+y−13AC2=19AB2−23y−13AB⋅AC+y−132AC2
=19−13y−13+y−132=y2−y+13
∴GP2+GQ2=x2+y2−x+y+23=x+y2−2xy−x+y+23 .10 分
由 (2) 知, 13x+13y=1 ,即 x+y=3xy .
∴GP2+GQ2=9xy2−5xy+23=9xy−5182−136 .11 分
又 x+y≥2xy,∴3xy≥2xy ,
∴ xy≥49 (当且仅当 x=y=23 时取等号) .12 分
∵ 49>518 ,
∴ 当 xy=49 时, GP2+GQ2 取得最小值: 9×49−5182−136=29
即 GP2+GQ2 的最小值为 29 . 13 分