2026年湖南省衡阳市高考数学第二次联考试卷（含答案）

这是一份2026年湖南省衡阳市高考数学第二次联考试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−20,b>0)的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，若|PF|=2a，则C的离心率为 ．
13.已知样本数据x1，x2，⋯，x2026的平均数为a，设k=λa，当函数f(k)=i=12026(xi−k)2取最小值时，λ= ．
14.某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在2小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为23，派出技能题的概率为13.若某选手答对素养题的概率为25，答对技能题的概率为15，各轮答题正确与否相互独立.记该选手在第n(n≥3)轮答题结束时挑战依然未终止的概率为pn，记f(n)=3pn+1−2pn，则f(n)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9=81，a3+a5=14，数列{bn}的前n项和为Tn，满足2Tn+1=3bn．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)已知数列{cn}满足：cn=2bn(an−1)an⋅an+1，求数列{cn}的前n项和Rn．
16.(本小题15分)
每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌α和致病菌β共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈．
(1)现有一种对疾病S的试剂检测方法，该检验方法对患病S的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病S的人进行化验，检测结果有98%呈阴性.检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率.若某地区疾病S的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率(结果精确到0.001)；
(2)对疾病S有效治疗的药物有A，B两款，且这两种药物的疗程均为3天(药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗(无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率).若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌α和致病菌β的概率分别为12,34，药物B杀灭致病菌α和致病菌β的概率均为23，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AB= 2AD=6，E是CD的中点，AC与BE相交于点H，点F在侧棱PD上，PF=λPD．
(1)证明：BE⊥平面PAC；
(2)当λ=23时，求点P到平面EFH的距离；
(3)若λ∈[14,12]，当直线PC与平面AFC所成的角最大时，求实数λ的值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 63，椭圆C经过点( 3,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l交椭圆C于M，N两点(与A，B不重合).设直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，且k2=3k1．
(i)求证：BM⊥BN；
(ii)设弦MN的中点为H，O为坐标原点，直线OH与椭圆交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积S的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=a(x+1)lnx−x+1．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−3y+1=0垂直，求实数a的值；
(2)若函数f(x)有三个零点x1，x2，x3，且x10，y1+y2=− 3m3+m2，y1y2=−94(3+m2)，
当m=0时，OH与x轴重合，即OH：y=0，此时S=12×2 3× 3=3；
当m≠0时，因为kOH⋅kMN=y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=y12−y22x12−x22=1−x123−1+x223x12−x12=−13，
所以kOH=−m3，则直线OH：y=−m3x，即mx+3y=0，
联立mx+3y=0x23+y2=1，消去y得(3+m2)x2=9，所以|xP|=|xQ|=3 3+m2，
则点M，N到直线OH的距离分别为d1=|mx1+3y1| m2+9，d2=|mx2+3y2| m2+9，
且mx1+3y1与mx2+3y2异号；
因为|PQ|= 1+m29⋅6 m2+3=2 m2+9 m2+3，
所以S△MPQ+S△NPQ=12|PQ|⋅(d1+d2)=12⋅2 m2+9 m2+3⋅|mx1+3y1−mx2−3y2 m2+9|=|m(my1+ 32)+3y1−m(my2+ 32)−3y2| m2+3= m2+3⋅|y1−y2|，
所以S= m2+3× 3⋅ 4m2+9m2+3= 3⋅ 4−3m2+3，
因为m2>0，所以S> 3× 4−1=3且S< 3×2=2 3，即S∈(3,2 3)；
综上所述：S的取值范围为[3,2 3)．
19.解：(1)由题得f′(x)=a(lnx+x+1x)−1，
因此f′(1)=a(ln1+1+11)−1=2a−1，
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x−3y+1=0垂直，
因此13×(2a−1)=−1，得a=−1，因此a的值为−1；
(2)(ⅰ)f(x)=0(x>0)等价于alnx−x−1x+1=0(x>0)，
令g(x)=alnx−x−1x+1，又g(1)=0，可知g(x)除了1之外还有两个零点，
又g′(x)=ax2+(2a−2)x+ax(x+1)2，令ℎ(x)=ax2+(2a−2)x+a(x>0)，
当a≤0时，ℎ(x)0时，若函数f(x)有三个零点，则其等价函数g(x)必有除1外的两个零点，
因此ℎ(x)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，
故Δ=(2a−2)2−4a2>0，解得00，g(1)=0，g(x′2)3(x2−1)x2+4x+1，
因此证得(3a−1)(x1+x3+2)