江西省南昌市2026届高三下学期一模测试数学试题含答案

这是一份江西省南昌市2026届高三下学期一模测试数学试题含答案，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．1B．C．D．5
3．若，则所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
4．某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
7．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若函数为偶函数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
9．已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．平面B．平面平面
C．D．平面
11．在平面直角坐标系中，已知，，动圆：，过点，分别作斜率为，的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．的展开式中，的系数是________.
13．已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________.
14．已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________.
四、解答题
15．已知的角，，所对的边分别为，，，且，.
(1)求；
(2)若的面积为2，求和.
16．近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯与近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“少于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表：
(1)从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件，记“该人近视”为事件.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由；
(2)利用列联表中的数据，计算卡方统计量（精确到0.001），并判断是否有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
附：公式，独立性检验临界值表：
17．已知等比数列的公比为整数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证：
(3)当时，设，且满足，求证：.
19．已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于.
(1)求四棱锥体积的最小值；
(2)记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点.
（i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长；
（ii）若点在点上方，且，，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由.
使用手机时间
近视
不近视
总计
少于1小时
40
60
100
1小时及以上
65
35
100
总计
105
95
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
《江西省南昌市2026届高三下学期一模测试数学试题》参考答案
1．B
【详解】因为，，
所以.
2．C
【详解】.
3．C
【详解】由，即，所以.
4．A
【分析】利用勾股定理和圆锥的侧面积公式求解.
【详解】圆锥的轴截面为，，，
则，，
圆锥的侧面积为.
故选：A.
5．D
【分析】结合指数函数的性质及一元二次不等式的解法分情况解不等式即可.
【详解】当时，原不等式可化为，解得，此时解集为.
当时，原不等式可化为，即，解得或.
又，所以或.
综上，不等式的解集为.
6．C
【分析】利用点与圆，直线与圆的位置关系的判断方法，结合充要条件的定义判断即得.
【详解】由点在圆：外，可得，此时，圆心到直线的距离为，
即直线与圆相交，故充分性成立；
由直线与圆有两个公共点，可得圆心到直线的距离为，
则有，即点在圆：外，故必要性成立.
故是的充分必要条件.
7．A
【分析】由图得求，再由求，进而得到解析式，即可求函数值.
【详解】由图知，则，得，
由，则，，
所以，则，故.
8．B
【详解】令，
因为函数为偶函数，且为三次函数，
所以为奇函数，即，
所以，
即，
即，
所以，解得.
9．BCD
【分析】利用对数函数的性质判断A的真假；利用指数函数的性质判断B的真假；利用基本不等式判断CD的真假.
【详解】对A：因为，，所以，所以，故A错误；
对B：因为，所以，故B正确；
对C：因为，当且仅当即，时取等号.故C正确；
对D：因为，故D正确.
10．BC
【分析】设，如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，可求出平面的法向量，根据数量积公式，可判断A、C的正误；根据向量平行的坐标关系，可判断D的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断B的正误.
【详解】取AC中点O，中点，连接，设，
因为正三棱柱，所以两两垂直，
以O为原点，为轴正方向建系，如图所示，
则 ，
所以 ，
选项A：设平面的法向量，
则，即，
令，则，即，
则，所以与平面不平行，故A错误；
选项B：连接，因为正三角形ABC，所以，
又正三棱柱，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，故B正确；
选项C：，所以，则，故C正确；
选项D：因为，所以与不平行，
所以与平面不垂直，故D错误.
11．ABD
【分析】根据双曲线的定义得到点是以，为焦点的双曲线，且求出点的轨迹方程，选项A，由求解；选项B，利用渐近线和直线的关系得到的范围；选项C，利用渐近线和直线的关系得到的范围；选项D，利用点斜式设出过点的切线方程，利用点斜式求出点到直线的距离，利用的范围求出的范围.
【详解】设圆与线段交于点，圆与线段交于点，圆与线段交于点，
动圆：，圆心为，半径为，
，
，，，为圆的切线，
为圆的切线，
，
，
，，
点是以，为焦点的双曲线，且，
，，
点的轨迹方程为，
选项A，在上，为焦点，
，故选项A正确；
选项B，的渐近线方程为，
，故选项B正确；
选项C， 直线的倾斜角可以是钝角，故错误，故选项C错误；
选项D，设过点的切线方程为，即，
，点到直线的距离为，
，，，，，
，，，故选项D正确.
12．80
【详解】，令，解得，
故的系数为.
13．/
【分析】由向量数量积可得夹角为60°，通过坐标化将条件转化为圆的标准方程，圆心为，半径为，从而的模表示圆上的点到原点的距离，进而求出的最大值.
【详解】由题可知，设夹角为，
则，，
设，
，代入坐标化简得：
故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示，
又圆心，半径，，
故.
14．
【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况，
所以，
若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，
所以
，
所以.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将次重复操作后，盒中6个球全是红球转化为次抽到红球，3次抽到黑球，然后分情况计算概率即可.
15．(1)
(2)，
【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数关系求解即可.
（2）根据同角三角函数关系求出，，结合三角形面积公式及余弦定理求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
又所以，.
所以，即，所以，
所以，解得，
所以.
因此，.
16．(1)，，有关联，理由见解析
(2)12.531，有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
【分析】（1）根据表中数据，即可得和的值，并根据其数值大小，分析可得是否有关.
（2）根据数据，求出的值，分析比较，即可得答案.
【详解】（1）在（平均每天使用手机时间1小时以下）条件下，近视的频率为，
用频率估计概率，得，
在（平均每天使用手机时间1小时及以上）条件下，近视的频率为，
用频率估计概率，得，
使用手机时间少于1小时的学生近视概率约为0.4，而使用手机时间1小时及以上的学生近视概率约为0.65，两者有较大差异.
因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高.
（2）由题意，，，，，
则，
由于，所以有的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.
17．(1)
(2).
【分析】（1）根据等比数列的基本量运算求出首项与公比，即得其通项公式；
（2）求出数列的通项，再根据错位相减法即可求得.
【详解】（1）由题意，，
两式相除可得，即，解得，
故，所以；
（2）因，
则①
所以②
则②①得：
所以.
18．(1)在为增函数；在为减函数；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数导数，利用导数求函数单调区间；
（2）求出切线方程，构造函数，利用导数求最值，即可得证；
（3）分类讨论证明，结合条件不等式可转化为，构造函数，求导后，利用不同方法证明在为增函数，即可得证.
【详解】（1），
由，
当时，，即在为增函数；
当时，，即在为减函数.
所以的递增区间为，递减区间为；
（2）由，解得，
又因为，则，
所以切线方程为，
设，则，
令，解得，
当时，，当时，，
可知在为增函数，在为减函数，
故，所以；
（3）由（1）可知，
①若，则，
不符合题意；
所以，
②若，则，
③若，，又因为在为减函数，
所以，所以，
综上所述，
又因为，由，
所以，
即，即，
设，
所以，
方法一：设，所以，
因为在为单调递增，
当时，，，，
所以存在，使得，即，
又因为，，即在为减函数；
又因为，，即在为增函数；
所以，
又因为，则有，
又因为，
，
所以，即在为增函数，
又因为，所以，即.
方法二：
设，因为在单调递增，
又因为所以
所以，即在为增函数，
又因为，所以，即.
19．(1)
(2)（i）12
（ii）平面与平面的夹角为定值，余弦值为
【分析】（1）根据平面与平面的夹角得到点到直线的距离等于到点的距离，从而得到点的轨迹，然后结合锥体的体积公式得到点在抛物线的顶点处时体积最小，最后求体积即可；
（2）（i）根据平面与平面的交线为得到为与曲线的交点，然后联立与曲线的方程，结合抛物线定义求即可；
（ii）根据得到的坐标，根据与平面所成角相等得到斜率相反，从而得到，然后通过计算斜率得到的方向向量，然后利用空间向量的方法求面面角即可.
【详解】（1）
设点到平面和直线的距离分别为，，
因为点在平面内，且平面与平面的夹角为，
因此，得，
所以点的轨迹是为焦点，为准线的抛物线，
当点在抛物线的顶点处时，最小，
最小值为，此时，
所以四棱锥体积的最小值为；
（2）设的中点为，则，如图1，以的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设点，则，
（i）平面与平面的交线为，
因此，是直线与抛物线的交点，如图2，
在平面中，可以设：，
与抛物线方程联立，得：，
因此，；
（ii）如图3，在平面中，点在点上方，且，
得到点坐标为，因为，与平面所成角相等，
所以，与所成角相等，
因此，，的斜率互为相反数，
设，，则，
得，
因此，，
因此，在空间直角坐标系中，的方向向量为，
又，
设平面的法向量，
由，由，
令，则，
又平面的法向量，，
所以平面与平面的夹角为定值，其余弦值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
A
D
C
A
B
BCD
BC
题号
11









答案
ABD