【高考押题】2025届高考数学模拟预测卷五全国甲卷 [含答案]

这是一份【高考押题】2025届高考数学模拟预测卷五全国甲卷 [含答案]，共12页。试卷主要包含了的图象关于点中心对称，则等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）（2023•巴中模拟）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，1}
2．（5分）（2024春•海淀区校级期中）下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A．f（x）＝cs2xB．f(x)=tanx2
C．f（x）＝tan（﹣x）D．f（x）＝sin|x|
3．（5分）（2024秋•海陵区校级期中）复数z=3+i2−i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（5分）（2024春•建华区校级期中）已知向量a→=(1，1)，b→=(4，5)，则|a→−2b→|=（ ）
A．130B．410C．37D．611
5．（5分）（2024秋•广东月考）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3＝3，S6＝10，S9＝（ ）
A．13B．17C．21D．23
6．（5分）（2022•杭州模拟）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，BC=3AC，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A．282127πB．323πC．2053πD．2879π
7．（5分）（2022春•南通期末）已知双曲线x2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1、F2，P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，|OP|＝|OF1|，四边形PF1QF2的面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．3C．2D．5
8．（5分）（2024秋•邗江区期中）下列说法不正确的是（ ）
A．命题p：∀x∈R，x2＞0，则命题p的否定：∃x∈R，x2≤0
B．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，则a=14
C．若1＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，则3＜2x﹣y＜8
D．已知集合M＝{0，1}，且N⊆M，满足条件的集合N的个数为4
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2025•福州模拟）已知函数f（x）＝cs（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点(−π3，0)中心对称，则（ ）
A．f（x）在区间(−π3，0)上单调递增
B．f（x）在区间(−π6，π6)上的最大值为1
C．直线x=2π3是曲线y＝f（x）的对称轴
D．当x≤0时，函数y=−2πx+1的图象恒在函数f（x）的图象上方
（多选）10．（6分）（2024秋•漯河期末）在平面直角坐标系内，动点M到定点F（0，1）的距离与M到定直线l：y＝3的距离的和为4．记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论正确的是（ ）
A．曲线W过原点
B．曲线W是轴对称图形，也是中心对称图形
C．曲线W恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
D．曲线W围成区域的面积大于83
（多选）11．（6分）（2022•全国模拟）计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行n+1列时，设第i列像素点的亮度为xi，则该图像对比度计算公式为C{xi}=1ni=1n (xi−xi+1)2．已知某像素点规模为1行n+1列的图像第i列像素点的亮度xi∈[0，9]（i＝1，2，…，n+1），现对该图像进行调整，有2种调整方案：①yi＝axi+b（a＞0，b＞0，i＝1，2，…，n+1）；②zi＝clg（xi+1）（c＞0，i＝1，2，…，n+1），则（ ）
A．使用方案①调整，当b＝9时，yi＞xi（i＝1，2，…，n+1）
B．使用方案②调整，当c＝9时，zi＜xi（i＝1，2，…，n+1）
C．使用方案①调整，当C{xi}＜C{yi}时，a＞1
D．使用方案②调整，当xi=9(i−1)n(i=1，2，⋯，n+1)，c≤ln10时，C{xi}＜C{zi}
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2025•无极县校级模拟）过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)右焦点F的直线l：x﹣y﹣2＝0交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为−12，则椭圆C的标准方程为 ．
13．（5分）（2022春•和平区校级期末）已知（x+2）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+⋯+a9（x+1）9，则a1+a2+⋯+a9＝ （用数字作答）．
14．（5分）（2022秋•台江区校级月考）在正项等比数列{an}中，若a4a8＝4，则lg2a2+lg2a10＝ ．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2024春•白山期末）为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2017年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2017﹣2023年这7年的有机胡夢卜的亩产量，得到数据如下表；
（1）从这7年的有机胡夢卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都高于0.5吨/亩的概率；
（2）已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大．若剔除天气因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量．
附：b̂=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2，â=y−b̂x．
16．（15分）（2024•日照开学）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3，a=2．
（1）若sinB−sinC=12，求b；
（2）若sinB+sinC＝2sinA，求△ABC的面积．
17．（15分）（2023•遂宁模拟）已知函数f（x）＝x（ex﹣1）−12x2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）若f（x）≥lnx+（a﹣2）x−12x2+1恒成立，求实数a的取值范围
18．（17分）（2025•驻马店模拟）如图，圆台下底面圆O1的直径为AB，C是圆O1上异于A，B的点，P，M是圆台上底面圆O2上的两点，N是BC的中点，PA＝AC＝PC＝BC＝2，PB=22．
（1）证明：BC⊥平面PAC．
（2）求四面体PABC的外接球的表面积；
（3）求直线MN与平面PAC所成角的正弦值的最大值．
19．（17分）（2023秋•新北区校级月考）设抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，经过x轴正半轴上点M（m，0）的直线l交Γ于不同的两点A和B．
（1）若m＝2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；
（2）若|FA|＝|FM|，且直线l1∥l，l1与Γ有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．（三角形面积公式：在△ABC中，设CA→=a→=（x1，y1），CB→=b→=（x2，y2），则△ABC的面积为S=12|a→|2|b→|2−(a→⋅b→)2=12|x1y2﹣x2y1|）．
2025届高考数学模拟预测卷（全国甲卷）
答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023•巴中模拟）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，1}
【考点】求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【正确答案】D
【分析】先求出集合B，再结合交集的定义，即可求解．
解：集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈A}＝{﹣3，﹣1，1}，
则A∩B＝{﹣1，1}．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）（2024春•海淀区校级期中）下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A．f（x）＝cs2xB．f(x)=tanx2
C．f（x）＝tan（﹣x）D．f（x）＝sin|x|
【考点】正切函数的奇偶性与对称性；余弦函数的对称性．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项．
解：对于A，函数f（x）＝cs2x的最小正周期为π，
因为f（﹣x）＝cs（﹣2x）＝cs2x＝f（x），所以f（x）＝cs2x为偶函数，A错误，
对于B，函数f(x)=tanx2的最小正周期为2π，
因为f(−x)=tan(−x2)=−tanx2=−f(x)，所以函数f(x)=tanx2为奇函数，B错误，
对于C，函数f（x）＝tan（﹣x）的最小正周期为π，
因为f（﹣x）＝tanx＝﹣tan（﹣x）＝﹣f（x），所以函数f（x）＝tan（﹣x）为奇函数，C正确，
对于D，函数f（x）＝sin|x|的图象如下：
所以函数f（x）＝sin|x|不是周期函数，且函数f（x）＝sin|x|为偶函数，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数性质，属于基础题．
3．（5分）（2024秋•海陵区校级期中）复数z=3+i2−i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数的除法运算．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】A
【分析】利用复数的除法法则计算可得复数z，进而可判断在复平面的对应点所在的象限．
解：∵z=3+i2−i=(3+i)(2+i)(2+i)(2−i)=5+5i(22+12)2=5+5i5=1+i，
复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
4．（5分）（2024春•建华区校级期中）已知向量a→=(1，1)，b→=(4，5)，则|a→−2b→|=（ ）
A．130B．410C．37D．611
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】A
【分析】根据条件，求出a→−2b→=(−7，−9)，再利用模长的计算公式，即可求出结果．
解：因为a→=(1，1)，b→=(4，5)，
所以a→−2b→=(1，1)−2(4，5)=(−7，−9)，
得到|a→−2b→|=(−7)2+(−9)2=130．
故选：A．
【点评】本题考查了向量坐标的减法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，是基础题．
5．（5分）（2024秋•广东月考）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3＝3，S6＝10，S9＝（ ）
A．13B．17C．21D．23
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据题意，由等差中项的性质可得S6﹣S3，S9﹣S6为等差数列，结合等差中项的性质分析可得答案．
解：根据题意，在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，
则S3，S6﹣S3，S9﹣S6为等差数列，
所以2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（10﹣3）＝3+S9﹣10，
变形可得：S9＝21．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列前n项和的性质，注意等差中项的性质，属于基础题．
6．（5分）（2022•杭州模拟）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，BC=3AC，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A．282127πB．323πC．2053πD．2879π
【考点】球的体积．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；球；逻辑思维；直观想象；运算求解．
【正确答案】C
【分析】△ABC面积最大时三棱柱的体积最大，令AC＝x，结合余弦定理和面积公式可得(S△ABC)2=−(x2−4)2+124≤3，此时△ABC为等腰三角形，进一步再求解三棱柱外接球的半径即可得答案．
解：由直三棱柱的性质可得AA1⊥平面ABC，
△ABC面积最大时三棱柱的体积最大，
由面积公式可得S△ABC=12BC⋅AC⋅sin∠ACB，
设AC＝x，因为BC=3AC，所以S△ABC=32x2⋅sin∠ACB，
在△ABC中，由余弦定理可得cs∠ACB=AC2+BC2−AB22AC⋅BC=4x2−423x2，
所以，sin2∠ACB=1−16(x2−1)212x4=−4x4+32x2−1612x4，
(S△ABC)2=34x4⋅sin2∠ACB=34⋅−x4+8x2−43=−(x2−4)2+124≤3，
当x2＝4，即AC＝2时，(S△ABC)2取得最大值3，
即当AC＝2时，S△ABC取得最大值3，
此时△ABC为等腰三角形，AB=AC=2，BC=23，
cs∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=4+4−122×2×2=−12，∠BAC∈(0，π)，
所以∠BAC=2π3，
由正弦定理得△ABC外接圆的半径r满足23sin2π3=4=2r，即r＝2，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径R2=r2+(AA12)2=5，解得R=5，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的体积为4π3R3=2053π，
故选：C．
【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
7．（5分）（2022春•南通期末）已知双曲线x2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1、F2，P，Q是双曲线上关于原点对称的两点，|OP|＝|OF1|，四边形PF1QF2的面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．3C．2D．5
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】A
【分析】结合已知条件，通过a＝1，结合矩形面积，以及勾股定理，求解c，推出双曲线的离心率即可．
解：不妨设点P在Q的上方，如图所示，双曲线x2−y2b2=1，
设|PF2|＝t，则|PF1|＝2+t，
∵矩形PF1QF2的面积为2，可得（2+t）•t＝2，解得，t=3−1，
（2+t）2+t2＝4c2，化简整理得c=2，
∴离心率e=ca=2．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，勾股定理的应用，考查学生的数形结合思想、转化能力和运算能力，属于中档题．
8．（5分）（2024秋•邗江区期中）下列说法不正确的是（ ）
A．命题p：∀x∈R，x2＞0，则命题p的否定：∃x∈R，x2≤0
B．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，则a=14
C．若1＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，则3＜2x﹣y＜8
D．已知集合M＝{0，1}，且N⊆M，满足条件的集合N的个数为4
【考点】等式与不等式的性质；求全称量词命题的否定．
【专题】分类讨论；综合法；不等式；运算求解．
【正确答案】B
【分析】利用命题的否定形式判断出A的真假；分类讨论可得方程有一个根的情况，求出a的值，判断出B的真假；不等式的性质判断出C的真假；集合的子集的个数判断出D的真假．
解：对于A，由全称命题的否定知，命题p：∀x∈R，x2＞0，它的否定为∃x∈R，x2≤0，所以A正确；
对于B，若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，
当a＝0时，A＝{x|x＝﹣1}，符合题意，
又a≠0Δ=1−4a=0，解得a=14，也符合题意，
所以a的值为0或14，所以B不正确；
对于C，因为1＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，
所以2＜2x＜6，1＜﹣y＜2，则3＜2x﹣y＜8，所以C正确；
对于D，集合M＝{0，1}，因为N⊆M，所以集合N的个数为22＝4，所以D正确．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质的应用及分类讨论的思想，属于基础题．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2025•福州模拟）已知函数f（x）＝cs（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点(−π3，0)中心对称，则（ ）
A．f（x）在区间(−π3，0)上单调递增
B．f（x）在区间(−π6，π6)上的最大值为1
C．直线x=2π3是曲线y＝f（x）的对称轴
D．当x≤0时，函数y=−2πx+1的图象恒在函数f（x）的图象上方
【考点】余弦函数的单调性；余弦函数的对称性；余弦函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】BD
【分析】根据题意，求出φ，得到f（x）的解析式，再对各选项进行逐项分析．
解：因为f（x）的图象关于点(−π3，0)中心对称，所以2×（−π3）+φ＝kπ+π2，k∈Z，
解得φ＝kπ+7π6，k∈Z，因为0＜φ＜π，所以k＝﹣1，φ=π6，f（x）＝cs（2x+π6），
对于A，x∈(−π3，0)时，2x+π6∈（−π2，π6），因为y＝csx在（−π2，π6）上先递增后递减，
所以f（x）在区间(−π3，0)上不单调递增，故A错误；
对于B，x∈(−π6，π6)时，2x+π6∈（−π6，π2），当2x+π6=0，即x=−π12时，f（x）有最大值1，故B正确；
对于C，x=2π3时，2x+π6=3π2≠kπ，k∈Z，所以直线x=2π3不是曲线y＝f（x）的对称轴，故C错误；
对于D，当x≤0时，y=−2πx+1≥1恒成立，当且仅当x＝0时取等号，而f（x）≤1且f（0）≠1，
所以当x≤0时，函数y=−2πx+1的图象恒在函数f（x）的图象上方，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．
（多选）10．（6分）（2024秋•漯河期末）在平面直角坐标系内，动点M到定点F（0，1）的距离与M到定直线l：y＝3的距离的和为4．记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论正确的是（ ）
A．曲线W过原点
B．曲线W是轴对称图形，也是中心对称图形
C．曲线W恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
D．曲线W围成区域的面积大于83
【考点】轨迹方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【正确答案】ACD
【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案．
解：设M（x，y），那么|MF|=x2+(y−1)2，点M到直线l的距离d＝|y﹣3|，
根据题意可知x2+(y−1)2+|y−3|=4，所以x2+（y﹣1）2＝（4﹣|y﹣3|）2，
x2+y2﹣2y+1＝16﹣8|y﹣3|+y2﹣6y+9，x2＝24﹣4y﹣8|y﹣3|，
当y＜3时，x2=4y，y=14x2，则14x2＜3，x2＜12，−23＜x＜23；
当y≥3时，x2=48−12y，y=−112x2+4，
那么−112x2+4≥3，x2≤12，−23≤x≤23，
可作图如下：
根据图可知：曲线W过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以选项A正确，选项B错误；
曲线W经过O（0，0），A（2，1），C（0，4），E（﹣2，1）4个点，没有其它整点，故C正确；
由B(23，3)，D(−23，3)，F（0，3），
四边形AFEO的面积S1=12×3×4=6，S△ABF=S△EFD=12×23×2=23，
S△BCD=12×1×43=23，
多边形ABCDEO的面积S=6+2×23+23=6+63＞83
曲线W围成区域的面积大于83，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查轨迹方程，属于中档题．
（多选）11．（6分）（2022•全国模拟）计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行n+1列时，设第i列像素点的亮度为xi，则该图像对比度计算公式为C{xi}=1ni=1n (xi−xi+1)2．已知某像素点规模为1行n+1列的图像第i列像素点的亮度xi∈[0，9]（i＝1，2，…，n+1），现对该图像进行调整，有2种调整方案：①yi＝axi+b（a＞0，b＞0，i＝1，2，…，n+1）；②zi＝clg（xi+1）（c＞0，i＝1，2，…，n+1），则（ ）
A．使用方案①调整，当b＝9时，yi＞xi（i＝1，2，…，n+1）
B．使用方案②调整，当c＝9时，zi＜xi（i＝1，2，…，n+1）
C．使用方案①调整，当C{xi}＜C{yi}时，a＞1
D．使用方案②调整，当xi=9(i−1)n(i=1，2，⋯，n+1)，c≤ln10时，C{xi}＜C{zi}
【考点】进行简单的合情推理．
【专题】转化思想；综合法；推理和证明；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】AC
【分析】方案①：根据yi＝axi+b的性质，将b＝9，a＞0及xi∈[0，9]代入判断A；利用对比度公式可得c{yi}=a2c{xi}，由此能判断C；方案②：在zi＝9lg（xi+1）时，代入特殊值xi＝9判断B；根据条件判断c{zi}∈（t2ln210nn+9，t2ln2nn+9），且c{xi}=（9n）2，特殊值n＝1代入能判断D．
解：使用方案①调整，当b＝9时，yi＝axi+9且a＞0，又xi∈[0，9]，则yi＞xi，故A正确；
c{xi}=1ni=1n (xi−xi+1)，c{yi}=a2ni=1n (xi−xi+1)2，
当c{xi}＜c{yi}，即a2n＞1n且n∈N*，又a＞0，可得a＞1，故C正确；
使用方案②调整：当c＝9时，zi＝9lg（xi+1），由题意得xi＝9时，zi＝9，故B错误；
zi=c⋅ln(xi+1)ln10，而0＜c≤ln10，则t=cln10∈（0，1]，
∴zi＝tlm（xi+1），
∵xi=9(i−1)n（i＝1，2，…，n+1），∴zi=tln(9i−9+nn)，zi+1=tln(9i+nn)，
∴zi﹣zi+1＝t[ln（9i−9+nn）﹣ln（9i+nn）]＝tln（1−99i+n），
而1−99i+n∈[nn+9，10n10n+9]，
n＝1时，1−99i+n∈[110，910]，则（zi﹣zi+1）2∈[t2ln21910，t2ln210]，
则c{zi}∈（t2ln21910，t2ln210），此时c{xi}=(9n)2=81，由题意存在c{xi}＞c{zi}，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查简单的合情推理、图像对比度计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2025•无极县校级模拟）过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)右焦点F的直线l：x﹣y﹣2＝0交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为−12，则椭圆C的标准方程为 x28+y24=1 ．
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】x28+y24=1．
【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得c，再设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），点A，B坐标代入椭圆方程相减得出直线AB与直线OP斜率的关系，从而求得a，b的关系，结合c可求得a，b得椭圆方程．
解：直线l：x﹣y﹣2＝0，令y＝0，得x＝2，所以椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），即c＝2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），2x0＝x1+x2，2y0＝y1+y2，
所以x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，
两式相减得(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2=0，
所以y1−y2x1−x2=−b2(x1+x2)a2(y1+y2)=−b2x0a2y0，即kAB=−b2a2kOP，
因为kOP=−12，kAB＝1，所以−b2a2⋅(−12)=1，
所以a2＝2b2，
又c2＝a2﹣b2＝b2＝4，因此a2＝8，
所以椭圆C的标准方程x28+y24=1．
故x28+y24=1．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，考查运算求解能力，属于中档题．
13．（5分）（2022春•和平区校级期末）已知（x+2）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+⋯+a9（x+1）9，则a1+a2+⋯+a9＝ 511 （用数字作答）．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】511．
【分析】令（x+1+1）9＝（x+2）9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+⋯+a9（x+1）9，令x+1＝0，求出a0，再令x+1＝1，求出a0+a1+a2+⋯+a9，则a1+a2+⋯+a9可求．
解：令x+1＝0，代入原式得1＝a0，
再令x+1＝1，代入原式得a0+a1+a2+⋯+a9＝29，
故a1+a2+⋯+a9＝29﹣1＝511．
故511．
【点评】本题考查二项式展开式的性质以及赋值法的应用，属于中档题．
14．（5分）（2022秋•台江区校级月考）在正项等比数列{an}中，若a4a8＝4，则lg2a2+lg2a10＝ 2 ．
【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】2．
【分析】直接利用等比数列的性质和对数的运算求出结果．
解：正项等比数列{an}中，若a4a8＝4，
所以a2a10＝4，
则lg2a2+lg2a10＝lg24＝2．
故2．
【点评】本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2024春•白山期末）为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2017年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2017﹣2023年这7年的有机胡夢卜的亩产量，得到数据如下表；
（1）从这7年的有机胡夢卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都高于0.5吨/亩的概率；
（2）已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大．若剔除天气因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量．
附：b̂=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2，â=y−b̂x．
【考点】一元线性回归模型．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【正确答案】（1）13；
（2）ŷ=0.28x+0.02，2.54吨/亩．
【分析】（1）利用条件概率的计算公式，即可求得答案；
（2）剔除2023年的数据，根据最小二乘法的公式求出b̂，â的值，即可得经验回归方程，将x＝9代入，即可得2025年小王的有机胡萝卜的亩产量．
解：（1）由表知，这7年的有机胡萝卜的亩产数据中，有5年的亩产量不低于0.5吨/亩，2年的亩产量低于0.5吨/亩，
记A＝“这7年中任取3年，至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩”，B＝“这7年中任取3年，3年的亩产量都高于0.5吨/亩”，
则P(A)=C53+C52C21C73=67，P(AB)=C53C73=27，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=2767=13；
（2）由表可知，2023年的数据异常，剔除2023年的数据，则剩余6年的数据中，
x=1+2+3+4+5+66=3.5，y=0.4+0.5+0.8+1.1+1.5+1.76=1，
i=16(xi−x)(yi−y)=(1−3.5)(0.4−1)+(2−3.5)(0.5−1)+(3−3.5)(0.8−1)+(4−3.5)(1.1−1)+
（5﹣3.5）（1.5﹣1）+（6﹣3.5）（1.7﹣1）＝4.9，i=16 (xi−x)2=(1−3.5)2+(2−3.5)2+(3−3.5)2+(4−3.5)2+(5−3.5)2+(6−3.5)2=17.5，
所以b̂=i=16(xi−x)(yi−y)i=16 (xi−x)2=，
所以â=y−b̂x=1−0.28×3.5=0.02，
所以y与x的经验回归方程为ŷ=0.28x+0.02，
当x＝9时，ŷ=0.28×9+0.02=2.54（吨/亩）．
所以在排除气候因素影响的情况下，预测2025年小王的有机胡夢卜的亩产量为2.54吨/亩．
【点评】本题考查条件概率以及线性回归方程，属于中档题．
16．（15分）（2024•日照开学）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3，a=2．
（1）若sinB−sinC=12，求b；
（2）若sinB+sinC＝2sinA，求△ABC的面积．
【考点】解三角形．
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【正确答案】（1）433；
（2）3．
【分析】（1）由三角形内角和结合已知可得sinB−sin(2π3−B)=12，化简可得：sin(B−π3)=12，再利用sinB=sin[(B−π3)+π3]求解；
（2）由已知结合正弦定理得b+c＝4，再利用余弦定理得bc＝4，从而得解．
解：（1）因为A+B+C＝π且A=π3，故B+C=23π，所以B∈(0，23π)，
代入可得：sinB−sin(2π3−B)=12，
因此sinB−32csB−12sinB=12sinB−32csB=12，
化简可得：sin(B−π3)=12，则cs(B−π3)=±32，
因为B∈(0，23π)，所以B−13π∈(−13π，13π)，
所以cs(B−π3)=32，
所以可得：sinB=sin[(B−π3)+π3]，化简可得：sinB＝1，
在△ABC中，由正弦定理可得：b=asinA⋅sinB=433；
（2）在△ABC中，sinB+sinC＝2sinA，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R可知：
可化为：b2R+c2R=2⋅a2R
故可得：b+c＝2a，代入可得：b+c＝4，
所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝16，故b2+c2＝16﹣2bc（*），
在△ABC中，由余弦定理可得：csA=b2+c2−a22bc，
代入数据和（*）式可得：bc＝4，
所以三角形面积为：S=12×sinA×bc=3，
故△ABC的面积为3．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
17．（15分）（2023•遂宁模拟）已知函数f（x）＝x（ex﹣1）−12x2．
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）若f（x）≥lnx+（a﹣2）x−12x2+1恒成立，求实数a的取值范围
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．
【专题】函数思想；数形结合法；导数的概念及应用；数学抽象；运算求解．
【正确答案】（1）f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞），单调减区间为（﹣1，0）；极大值为f（﹣1）=12−1e；
（2）（﹣∞，2）．
【分析】（1）求导，利用导数得出单调性以及极值；
（2）分离参数a，构造函数g（x）=x−lnx+xex−1x，利用导数得出其最小值，从而得出实数a的取值范围．
解：f′（x）＝（x+1）ex﹣x﹣1＝（x+1）（ex﹣1），
由f′（x）＞0可得：x＜﹣1或x＞0；由f′（x）＜0可得﹣1＜x＜0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，+∞），单调减区间为（﹣1，0），
所以f（x）的极大值为f（﹣1）=12−1e，在x＝﹣1时取极大值．
（2）f（x）≥lnx+（a﹣2）x−12x2+1恒成立等价于x﹣lnx+xex﹣ax﹣1≥0恒成立，
因为x＞0，所以a≤x−lnx+xex−1x，
令g（x）=x−lnx+xex−1x，则g′（x）=x2ex+lnxx2，
令h（x）＝x2ex+lnx，则h′（x）＝ex（x2+2x）+1x＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又h（1）＝e＞0，h（1e）=e1ee2−1=e1e−12−1＜0，
所以∃x0∈（1e，1）使得h（x0）＝0，即x02ex0+lnx0＝0，
所以当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（x0）=x0−lnx0+x0ex0−1x0，
由x02ex0+lnx0＝0，可得x0ex0=−lnx0x0=ln1x0×eln1x0，
而y＝xex在（0，+∞）上单调递增，所以x0＝ln1x0，即ex0=1x0，
所以g（x）min=x0−lnx0+x0ex0−1x0=x0+x0+1−1x0=2，所以a∈（﹣∞，2）．
【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．
18．（17分）（2025•驻马店模拟）如图，圆台下底面圆O1的直径为AB，C是圆O1上异于A，B的点，P，M是圆台上底面圆O2上的两点，N是BC的中点，PA＝AC＝PC＝BC＝2，PB=22．
（1）证明：BC⊥平面PAC．
（2）求四面体PABC的外接球的表面积；
（3）求直线MN与平面PAC所成角的正弦值的最大值．
【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；球的表面积；直线与平面垂直．
【专题】转化思想；向量法；分割补形法；空间位置关系与距离；空间角；运算求解；空间想象．
【正确答案】（1）证明过程请见解答；（2）28π3；（3）7−32．
【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明BC⊥PC，结合BC⊥AC，根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）将三棱锥B﹣ACP补成正三棱柱APC﹣EFB，结合正弦定理与勾股定理求得外接球的半径，再由球的表面积公式求解即可；
（3）以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，设点M(x，y，3)，利用空间向量法求线面角，结合基本不等式求该角正弦值的最大值即可．
（1）证明：因为BC＝PC＝2，PB=22，所以BC2+PC2＝PB2，即BC⊥PC，
因为AB为圆O1的一条直径，C是圆O1上异于A、B的点，所以BC⊥AC，
又PC、AC⊂平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BC⊥平面PAC．
（2）解：因为BC⊥平面PAC，且△PAC为正三角形，
所以将三棱锥B﹣ACP补成正三棱柱APC﹣EFB，
设正△APC的中心为点H，正△BEF的中心为Q，则QH的中点为外接球球心，记为G，
在△PAC中，由正弦定理知，2AH=ACsinπ3=232=43，即AH=23，
而GH=12BC＝1，
所以外接球的半径AG=AH2+GH2=43+1=213，
故四面体PABC的外接球的表面积为4π⋅AG2=4π×73=28π3．
（3）解：因为BC⊥平面PAC，AC⊥BC，
故以点C为坐标原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴，过点C作垂直于底面的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(1，0，3)，O2(1，1，3)，N（0，1，0），
设M(x，y，3)，连接PO2、MO2，则NM→=(x，y−1，3)，
因为|MO2|＝|PO2|＝1，所以（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
易知平面PAC的一个法向量为m→=(0，1，0)，
设直线MN与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ=|NM→⋅m→||NM→|⋅|m→|=|y−1|x2+(y−1)2+3，
不妨设x﹣1＝csα，y﹣1＝sinα，
则sinθ=|sinα|(1+csα)2+sin2α+3=sin2α5+2csα=1−cs2α5+2csα，
设t＝5+2csα∈[3，7]，则csα=t−52，
则sinθ=1−(t−52)2t=−t2+10t−214t=1210−(t+21t)≤1210−2t⋅21t=10−2212=7−32，
当且仅当t=21t(3≤t≤7)，即t=21时，等号成立，
所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值的最大值为7−32．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理，利用补形法求外接球的半径，以及利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
19．（17分）（2023秋•新北区校级月考）设抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，经过x轴正半轴上点M（m，0）的直线l交Γ于不同的两点A和B．
（1）若m＝2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；
（2）若|FA|＝|FM|，且直线l1∥l，l1与Γ有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．（三角形面积公式：在△ABC中，设CA→=a→=（x1，y1），CB→=b→=（x2，y2），则△ABC的面积为S=12|a→|2|b→|2−(a→⋅b→)2=12|x1y2﹣x2y1|）．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【正确答案】（1）证明过程见解答．
（2）存在，点M的坐标为M（3，0）时，△OAE的面积存在最小值，最小值为2．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），若m＝2，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量的数量积运算即可得证；
（2）不妨设A（x1，y1），若|FA|＝|FM，可得m＝x1+2，此时M（x1+2，0），推出直线AB的斜率k=−y12，结合直线l1与直线AB平行，设直线l1的方程为y=−y12+b，将直线l1的方程代入抛物线方程中，结合根的判别式得到b=−2y1，设E（xE，yE），得到其横、纵坐标的表达式，代入三角形面积公式中，结合基本不等式进行求解即可．
解：（1）证明：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
若m＝2，
不妨设直线AB的方程为x＝my+2，
联立x=my+2y2=4x，消去x并整理得y2﹣4my﹣8＝0，
由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，
此时OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(y1y2)216+y1y2＝4﹣8＜0，
所以∠AOB为钝角，
则原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；
（2）存在，
不妨设A（x1，y1），
此时x1y1≠0，
若|FA|＝|FM|，
此时|m﹣1|＝x1+1，
又m＞0，
所以m＝x1+2，
则M（x1+2，0），
可得直线AB的斜率k=−y12，
因为直线l1与直线AB平行，
不妨设直线l1的方程为y=−y12+b，
将该直线方程代入抛物线方程中，
可得y2+8y1y−8by1=0，
易知Δ＝0，
解得b=−2y1，
不妨设E（xE，yE），
此时xE=−4y1，yE=4y12=1x1，
则S△OAE=12|y1x1+4x1y1|≥2，
当且仅当y1x1=4x1y1，即y12=4x12时，等号成立，
此时y12=4x12y12=4x1，
解得x1＝1或x1＝0（舍去），
所以点M的坐标为M（3，0），
当点M的坐标为M（3，0）时，△OAE的面积存在最小值，最小值为2．
【点评】本题考查直线与抛物线综合应用，属于中档题．年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
亩产量y/吨/亩）
0.4
0.5
0.8
1.1
1.5
1.7
0.2
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
亩产量y/吨/亩）
0.4
0.5
0.8
1.1
1.5
1.7
0.2