【高考押题】2025届高考数学模拟预测卷六新高考Ⅱ卷 [含答案]

这是一份【高考押题】2025届高考数学模拟预测卷六新高考Ⅱ卷 [含答案]，共12页。试卷主要包含了对于向量a→，b→有下列表示，若tan=23，则sin2α＝等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）（2023•滨海新区校级三模）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{2}B．{4，5}C．{1，2，3}D．{1，3，4，5}
2．（5分）（2021春•蒲江县校级月考）对于向量a→，b→有下列表示：
①a→=2e→，b→=−2e→；
②a→=e→1−e→2，b→=−2e→1+2e→2；
③a→=4e→1−25e→2，b→=e→1−110e→2；
④a→=e→1+e→2，b→=2e→1﹣2e→2．
其中，向量a→，b→一定共线的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
3．（5分）（2024春•江西月考）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
B．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
D．若m∥n，n⊥β，m⊥α，则∥β
4．（5分）（2024春•怀柔区期末）在复平面内，复数z对应点的坐标是（2，﹣2），则i•z＝（ ）
A．2+2iB．﹣2+2iC．2﹣2iD．﹣2﹣2i
5．（5分）（2025•齐齐哈尔二模）若tan(α+π4)=23，则sin2α＝（ ）
A．−513B．513C．−1213D．1213
6．（5分）（2022春•浦东新区校级期末）数列{an}满足an﹣1+an+1＞2an（n＞1，n为正整数），则下列命题中真命题的个数是（ ）
①若数列{an}满足a2＞a1，则an＞an﹣1（n＞1，n为正整数）；
②若p+q＞m+n（其中p、q、m、n为正整数），则ap+aq＞am+an；
③一定存在常数d，使得an＝a1+（n﹣1）d（n＞1，n为正整数）都成立；
④一定存在常数q，使得an＞a1(1−qn)1−q（n＞1，n为正整数）都成立．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（5分）（2022秋•泉州期末）已知正实数a，b，c满足a+lg2a=b+2b=2c+lg2c=4，则以下结论正确的是（ ）
A．b+lg2a＞4B．a+lg2c＞4
C．2b+c＞4D．2c+lg2b＞4
8．（5分）已知函数f（x）＝sinxcsx+3cs2x，数列{an}为等差数列，且a4＝0，a6=2π3，则f（a1）+f（a2）+…+f（a9）＝（ ）
A．−532B．0C．532D．932
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2025•江苏模拟）为了解某地家村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
B．估计该地有一半以上的农户．其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
C．若用分行抽样的方法在该地农户家庭年收入在[2.5，3.5]，[6.5，7.5]，[12.5，13.5]三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在[6.5，7.5]的家庭应抽24人
D．从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到12个家庭的具体收入数据x1，x2，⋯，x12，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数
（多选）10．（6分）（2023秋•南开区校级期中）已知双曲线C：x29−y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2向C的一条渐近线作垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，则下列说法正确的是（ ）
A．M为线段NF2的中点B．点M在直线x=95上
C．MF1→⋅MF2→=−16D．|MF1|=213
（多选）11．（6分）（2023秋•文昌期中）如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱的轴截面，点P为圆弧AD上一动点（点P与点A，D不重合）AP=λAD(0＜λ＜1)，则（ ）
A．存在λ值，使得AD⊥BP
B．三棱锥P﹣ABD体积的最大值为163
C．当λ=12时，异面直线PB与AD所成角的余弦值为66
D．直线PB与平面ABCD所成最大角的正弦值为2−1
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2022•南京模拟）二项式(2x+x)6展开式中x4的系数为 ．
13．（5分）设事件A，B满足A⊆B，且P(A)=15，P(B)=12，则P(B|A)= ．
14．（5分）（2023春•碑林区校级期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9b2+6bccsA＝11c2，则角B的最大值为 ．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2024春•本溪期末）已知函数f(x)=xex−12x2+ax+b．
（1）当b＝1时，f（x）的图像在（0，f（0））处的切线与两坐标轴围成图形的面积为14，求a的值；
（2）当a＝﹣1，b＞0时，f（x）在[﹣1，2]的最小值小于b3+blnb，求b的取值范围．
16．（15分）（2023秋•金平区校级月考）2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示：
（1）补全2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？（2）现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d
17．（15分）（2025•晋中模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，4Sn+1＝3an+1+9an，a1＝3．
（1）证明：数列{an+1﹣3an}为等比数列；
（2）设bn=an(n+1)(n+2)，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（17分）（2024•山西模拟）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，AD⊥平面ABB1A1，P为D1C1的中点，且PD＝PC．
（1）求证：CC1⊥BD；
（2）求平面CPB与平面DPB的夹角的正弦值．
19．（17分）（2025•永州二模）在直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点P（﹣23，1），短半轴长为5．过点S（0，5）作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线PA，PB的斜率分别为k1和k2．
（1）求C的标准方程；
（2）证明1k1+1k2是定值，并求出该定值；
（3）设点R（0，1），证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得∠MQR＝∠NQR恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标．
2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅱ）
答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023•滨海新区校级三模）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{2}B．{4，5}C．{1，2，3}D．{1，3，4，5}
【考点】集合的交并补混合运算．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【正确答案】B
【分析】根据已知条件，结合并集、补集的运算，即可求解．
解：集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，
则A∪B＝{1，2，3}，
故∁U（A∪B）＝{4，5}．
故选：B．
【点评】本题主要考查并集、补集的运算，属于基础题．
2．（5分）（2021春•蒲江县校级月考）对于向量a→，b→有下列表示：
①a→=2e→，b→=−2e→；
②a→=e→1−e→2，b→=−2e→1+2e→2；
③a→=4e→1−25e→2，b→=e→1−110e→2；
④a→=e→1+e→2，b→=2e→1﹣2e→2．
其中，向量a→，b→一定共线的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】A
【分析】直接根据向量共线的性质即可判断．
解：①∵a→=2e→，b→=−2e→；∴a→=−b→，故向量a→，b→共线；
②∵a→=e→1−e→2，b→=−2e→1+2e→2；∴a→=−12b→，故向量a→，b→共线；
③∵a→=4e→1−25e→2，b→=e→1−110e→2；∴a→=4b→，故向量a→，b→共线；
④∵a→=e→1+e→2，b→=2e→1﹣2e→2；∴a→与b→不存在倍数关系，故向量a→，b→不共线；
故只有①②③对应的向量共线，
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）（2024春•江西月考）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
B．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
D．若m∥n，n⊥β，m⊥α，则∥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【正确答案】D
【分析】利用线面、面面平行关系判断A；由B的条件可得m⊥n判断；由直线m、n都平行于α，β的交线判断C；由线面垂直的性质推理判断D．
解：对于A，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n可能相交、也可能平行、还可能是异面直线，A错误；
对于B，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，B错误；
对于C，若α⊥β，m∥α，n∥β，直线m与n可能平行，
如直线m、n都平行于α，β的交线，且m⊄α，n⊄β，满足条件，而m∥n，C错误；
对于D，若m∥n，n⊥β，则m⊥β，又m⊥α，因此α∥β，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查空间中线线关系，线面关系，属基础题．
4．（5分）（2024春•怀柔区期末）在复平面内，复数z对应点的坐标是（2，﹣2），则i•z＝（ ）
A．2+2iB．﹣2+2iC．2﹣2iD．﹣2﹣2i
【考点】由复平面中的点确定复数．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】A
【分析】由已知可得z，再由复数代数形式的乘法运算得答案．
解：由已知可得，z＝2﹣2i，
则i•z＝i（2﹣2i）＝2i﹣2i2＝2+2i．
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘法运算，是基础题．
5．（5分）（2025•齐齐哈尔二模）若tan(α+π4)=23，则sin2α＝（ ）
A．−513B．513C．−1213D．1213
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】A
【分析】由已知利用两角和的正切公式求得tanα，再由二倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
解：∵tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=tanα+11−tanα=23，
∴tanα=−15，
∴sin2α=2sinαcsα=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=−513．
故选：A．
【点评】本题考查了两角和的正切公式，二倍角公式及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
6．（5分）（2022春•浦东新区校级期末）数列{an}满足an﹣1+an+1＞2an（n＞1，n为正整数），则下列命题中真命题的个数是（ ）
①若数列{an}满足a2＞a1，则an＞an﹣1（n＞1，n为正整数）；
②若p+q＞m+n（其中p、q、m、n为正整数），则ap+aq＞am+an；
③一定存在常数d，使得an＝a1+（n﹣1）d（n＞1，n为正整数）都成立；
④一定存在常数q，使得an＞a1(1−qn)1−q（n＞1，n为正整数）都成立．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】数列与不等式的综合．
【专题】计算题；对应思想；分析法；等差数列与等比数列；运算求解．
【正确答案】B
【分析】对于①：根据数列{an+1﹣an}为递增数列分析判断；对于②：取an=12′′，p＞m，q＞n，分析判断；对于③：根据n≥2，an﹣an﹣1≥a2﹣a1进行放缩，取a2﹣a1＞d，利用累加法运算处理；对于④：取a1＝0，a2＝﹣1，a3＝1代入检验判断．
解：∵an﹣1+an+1＞2an，则an+1﹣an＞an﹣an﹣1，
∴数列{an+1﹣an}为递增数列，
若a2＞a1，即a2﹣a1＞0，可得an﹣an﹣1＞a2﹣a1＞0，则an＞an﹣1，①为真命题；
取an=12n，则an+1−an=12n+1−12n=−12n，
数列{an}为递减数列，数列{an+1﹣an}为递增数列符合题意，
若令p＞m，q＞n，则p+q＞m+n，ap＜am，aq＜an，
∴ap+aq＜am+an，②为假命题；
∵对n≥2，an﹣an﹣1≥a2﹣a1，
∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1≥a1+（n﹣1）（a2﹣a1），
取常数d满足a2﹣a1＞d，
则an＞a1+（n﹣1）d，n≥2，③为真命题；
取a1＝0，a2＝﹣1＜0，a3＝1，显然满足a1+a3＞2a2，
但对q∈R，a1(1−q2)1−q=0＞a2，④为假命题；
故选：B．
【点评】本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（5分）（2022秋•泉州期末）已知正实数a，b，c满足a+lg2a=b+2b=2c+lg2c=4，则以下结论正确的是（ ）
A．b+lg2a＞4B．a+lg2c＞4
C．2b+c＞4D．2c+lg2b＞4
【考点】函数与方程的综合运用；指数函数图象特征与底数的关系；对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【正确答案】C
【分析】由已知条件分析出a是函数y＝lg2x与y＝4﹣x交点的横坐标，b是函数y＝2x与y＝4﹣x交点的横坐标，c是函数y＝lg2x与y＝4﹣2x交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出图像，由图像得出1＜b＜c＜a＜4，再画出y＝x的图像，分析出2c＞a＞c，利用不等式的性质即可判断出答案．
解：∵a+lg2a=b+2b=2c+lg2c=4，
∴lg2a＝4﹣a，2b＝4﹣b，lg2c=4−2c，
∴a是函数y＝lg2x与y＝4﹣x交点的横坐标，
b是函数y＝2x与y＝4﹣x交点的横坐标，
c是函数y＝lg2x与y＝4﹣2x交点的横坐标，
如下图所示，
则1＜b＜c＜a＜4，且2c＞a＞c，
选项A：∵a+lg2a＝4，且a＞b，∴b+lg2a＜4，故A错误；
选项B：∵2c+lg2c＝4，且2c＞a，∴a+lg2c＜4，故B错误；
选项C：∵b+2b＝4，且c＞b，∴c+2b＞4，故C正确；
选项D：∵c＞b＞1，∴lg2c＞lg2b，
又∵2c+lg2c＝4，∴2c+lg2b＜4，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数与方程的综合，考查数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．
8．（5分）已知函数f（x）＝sinxcsx+3cs2x，数列{an}为等差数列，且a4＝0，a6=2π3，则f（a1）+f（a2）+…+f（a9）＝（ ）
A．−532B．0C．532D．932
【考点】数列与三角函数的综合．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】D
【分析】先求出f（x）=sin(2x+π3)+32，结合等差数列求出an=π3n−4π3，根据函数的对称性求解即可．
解：因为函数f(x)=sinxcsx+3cs2x=12sin2x+32(1+cs2x)=sin(2x+π3)+32，
又数列{an}为等差数列，且a4＝0，a6=2π3，
设{an}的公差为d，则d=2π3−06−4=π3，
所以an=a4+(n−4)d=(n−4)×π3=π3n−4π3，
则f（a1）+f（a2）+⋯+f（a9）＝f（﹣π）+f（−2π3）+f(−π3)+f(0)+f(π3)+f(2π3)+f(π)+f(4π3)+f(5π3)，
因为函数y=sin(2x+π3)的图象关于点(π3，0)对称，
所以f（X）图象关于点(π3，32)对称，
所以f(−π)+f(5π3)=f(−2π3)+f(4π3)=f(−π3)+f(π)=f(0)+f(2π3)=3，f(π3)=32，
所以f（a1）+f（a2）+⋯+f（a9）=4×3+32=932．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数性质、以及等差数列的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）（2025•江苏模拟）为了解某地家村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
B．估计该地有一半以上的农户．其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
C．若用分行抽样的方法在该地农户家庭年收入在[2.5，3.5]，[6.5，7.5]，[12.5，13.5]三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在[6.5，7.5]的家庭应抽24人
D．从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到12个家庭的具体收入数据x1，x2，⋯，x12，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【正确答案】BD
【分析】根据频率分布直方图的性质，结合平均数的概念，分层抽样的概念，最小二乘法原理，逐一判断即可．
解：估计该地农户家庭年收入的平均值为：
3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5，
所以A选项错误；
因为家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2＝0.64＞0.5，
所以估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，所以B选项正确；
因为[2.5，3.5]，[6.5，7.5]，[12.5，13.5]三组的频率之比为0.02：0.2：0.02＝4：40：4，
所以若用分行抽样的方法在该地农户家庭年收入在[2.5，3.5]，[6.5，7.5]，[12.5，13.5]三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，
则年收入在[6.5，7.5]的家庭应抽40人，所以C选项错误；
根据线性回归分析中最小二乘法原理，
可得若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数，所以D选项正确．
故选：BD．
【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．
（多选）10．（6分）（2023秋•南开区校级期中）已知双曲线C：x29−y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2向C的一条渐近线作垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，则下列说法正确的是（ ）
A．M为线段NF2的中点B．点M在直线x=95上
C．MF1→⋅MF2→=−16D．|MF1|=213
【考点】双曲线的其他性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【正确答案】BCD
【分析】选项A：根据图像和双曲线的几何性质可得；
选项B：先求渐近线和直线MN的方程，联立可得；
选项C：根据点坐标，利用数量积的坐标运算可得；
选项D：根据双曲线距离公式可得．
解：因为双曲线C：x29−y216=1，所以a＝3，b＝4，c＝5，
则F1（﹣5，0），F2（5，0），根据双曲线的对称性，不妨取渐近线方程y=43x，
选项A：由题意|MF2|＜|OF2|=12|F1F2|＜12|NF2|，故A错误；
选项B：直线MN的斜率为−34，直线方程为y=−34(x−5)，
联立y=−34(x−5)y=43x得M(95，125)，所以B正确；
选项C：由M(95，125)，F1（﹣5，0），F2（5，0），
则MF1→=(−345，−125)，MF2→=(165，−125)，
故MF1→⋅MF2→=−345×165+(−125)×(−125)=−16，故C正确；
选项D：|MF1→|=(−345)2+(−125)2=213，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题．
（多选）11．（6分）（2023秋•文昌期中）如图，边长为4的正方形ABCD是圆柱的轴截面，点P为圆弧AD上一动点（点P与点A，D不重合）AP=λAD(0＜λ＜1)，则（ ）
A．存在λ值，使得AD⊥BP
B．三棱锥P﹣ABD体积的最大值为163
C．当λ=12时，异面直线PB与AD所成角的余弦值为66
D．直线PB与平面ABCD所成最大角的正弦值为2−1
【考点】几何法求解直线与平面所成的角；棱锥的体积；异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【正确答案】BCD
【分析】利用线面垂直的性质即可判断选项A；根据棱锥的体积计算公式判断选项B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式判断选项C；利用立体几何、平面几何知识将线面角的正弦表达式求出来并通过进一步计算即可判断D．
解：对于A选项，由题意知AD⊥BA，若AD⊥BP，
又AB∩BP＝B，AB，BP⊂平面BAP，则AD⊥平面BAP，
又AP⊂平面BAP，所以AD⊥AP，显然不成立，故A不正确；
对于B选项，在三棱锥P﹣ABD中，AB⊥半圆面APD，
所以VP−ABD=VB−PAD=13⋅AB⋅S△PAD，
三棱锥P﹣ABD即三棱锥B﹣PAD是以AB为高，△PAD为底面的三棱锥，
当点P是半圆弧AD的中点时，三棱锥P﹣ABD的底面积S△PAD取得最大值，
三棱锥P﹣ABD的体积取得最大值为13×4×12×4×42=163，故选项B正确；
对于选项C：当λ=12时，则P为AD的中点，以AD的中点E为原点，
以EP，EA分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，
则P（2，0，0），B（0，2，4），E（0，0，0），A（0，2，0），
可得PB→=（﹣2，2，4），EA→=（0，2，0），
则cs＜PB→，EA→＞=PB→⋅EA→|PB→||EA→|=66，
故异面直线PB与AD所成角的余弦值为66，故选项C正确；
对于D选项，取BD的中点O，过点P作PH⊥AD于点H，连接BH，
由题意知，AB⊥平面ADP，PH⊂平面ADP，PH⊥AB，
又因为PH⊥AD，AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，
可得PH⊥平面ABCD，所以BH为PB在平面ABCD内的射影，
则∠PBH为直线PB与平面ABCD所成的角，
设AH＝x，则0＜x＜4，DH＝4﹣x，
在Rt△APD中，PH2＝AH•DH＝x（4﹣x），PD2＝DH•AD＝4（4﹣x），
又AB⊥平面ADP，DP⊂平面ADP，所以DP⊥AB，
又DP⊥AP，AP∩AB＝A，AP，AB⊂面PAB，
所以DP⊥面PAB，又BP⊂面PAB，所以DP⊥BP，
所以PB2=BD2−PD2=(42)2−4(4−x)=16+4x，
故sin2∠PBH=PH2PB2=x(4−x)16+4x=−14(x2−4xx+4)，
令t＝x+4，则x＝t﹣4，且4＜t＜8，
所以x2−4xx+4=(t−4)2−4(t−4)t=t+32t−12≥2t×32t−12=82−12，
当且仅当t=32t，即t=42时取等号，
所以sin2∠PBH≤3−22，则sin∠PBH≤2−1，
所以直线PB与平面ABCD所成最大角的正弦值为2−1，故选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查线面、线线垂直的判定，考查棱锥体积求法，考查线线角及线面角的求法，属中档题．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）（2022•南京模拟）二项式(2x+x)6展开式中x4的系数为 60 ．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；对应思想；数学模型法；二项式定理；运算求解．
【正确答案】60．
【分析】先求出二项展开式的通项公式，再令6−k2=4，求出k＝4即可．
解：二项式(2x+x)6展开式的通项公式为：
Tk+1=C6k（2x）6﹣k(x)k=C6k26﹣kx6−k2，
令6−k2=4，则k＝4，
∴展开式中x4的系数为C6422＝60，
故60．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
13．（5分）设事件A，B满足A⊆B，且P(A)=15，P(B)=12，则P(B|A)= 38 ．
【考点】求解条件概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【正确答案】38．
【分析】结合事件和的公式，以及条件概率公式，即可求解．
解：事件A，B满足A⊆B，
则P（AB）＝P（A），
P（AB）+P（AB）＝P（B），P(B)=12，
故P（AB）＝P（B）﹣P（AB）=12−15=310，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=3101−P(A)=3101−15=38．
故38．
【点评】本题主要考查条件概率公式的求解，属于基础题．
14．（5分）（2023春•碑林区校级期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9b2+6bccsA＝11c2，则角B的最大值为 π3 ．
【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【正确答案】π3．
【分析】利用余弦定理整理条件得到b²=112（3a²+8c²），表示出csB=34a2+13c22ac，利用基本不等式即可求得答案．
解：由余弦定理csA=b2+c2−a22bc，代入9b2+6bccsA＝11c2，得9b²+3（b²+c²﹣a²）＝11c²，
整理得b²=112（3a²+8c²），
则csB=a2+c2−b22ac=a2+c2−112(3a2+8c2)2ac=34a2+13c22ac≥234×13ac2ac=12，
当仅当9a²＝4c²时取“＝”，
由因为B∈（0，π），所以B≤π3，
所以角B的最大值为π3．
故π3．
【点评】本题考查正余弦定理的应用，结合基本不等式求范围是解题的关键，属于中档题．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）（2024春•本溪期末）已知函数f(x)=xex−12x2+ax+b．
（1）当b＝1时，f（x）的图像在（0，f（0））处的切线与两坐标轴围成图形的面积为14，求a的值；
（2）当a＝﹣1，b＞0时，f（x）在[﹣1，2]的最小值小于b3+blnb，求b的取值范围．
【考点】由函数的最值求解函数或参数（导数法）；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【正确答案】（1）a＝1或a＝﹣3；
（2）（1，+∞）．
【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的方程，得到其在两坐标轴上的截距，然后由面积求解a的值即可．
（2）利用导函数求出f（x）在[﹣1，2]的最小值，然后求解不等式，构造函数，转化为利用导数分析单调性求解即可
解：（1）当b＝1时，函数f(x)=xex−12x2+ax+1，
易知f（0）＝1，
又f′（x）＝（x+1）ex﹣x+a，
∴f′（0）＝e0+a＝1+a，
∴f（x）的图像在（0，f（0））处的切线方程为y＝（1+a）x+1，
令y＝0，得x=−11+a，
由切线与两坐标轴围成图形的面积为14，
得12|−11+a|×1=14，
解得a＝1或a＝﹣3．
（2）当a＝﹣1，b＞0时，f(x)=xex−12x2−x+b，
则f′（x）＝（x+1）（ex﹣1），
当x∈[﹣1，0）时，f′（x）⩽0，当x∈（0，2]时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[﹣1，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，
∴f（x）在[﹣1，2]的最小值为f（0）＝b，
由题意得b＜b3+blnb，即b（1﹣b2﹣lnb）＜0，
又b＞0，∴1﹣b2﹣lnb＜0．
设g（x）＝1﹣x2﹣lnx（x＞0），
则g′(x)=−2x−1x＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又g（1）＝0，∴解不等式1﹣b2﹣lnb＜0得b＞1，
故b的取值范围为（1，+∞）．
【点评】本题主要考查龙导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（15分）（2023秋•金平区校级月考）2022年国际篮联女篮世界杯已经落下帷幕，中国女篮获得亚军，时隔28年再次登上大赛领奖台，追平队史最好成绩，中国观众可以通过中央电视台体育频道观看比赛实况，某机构对某社区群众观看女篮比赛的情况进行调查，将观看过本次女篮世界杯中国女篮4场比赛的人称为“女篮球迷”，否则称为“非女篮球迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示：
（1）补全2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关？（2）现从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中，随机抽取2人，记这2人中男“女篮球迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【正确答案】（1）2×2列联表如下：
没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关；
（2）43．
【分析】（1）根据已知数据完善列联表后计算K2可得结论；
（2）确定6人中的男女人数，然后得出随机变量X的值，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望．
解：（1）补全2×2列联表如下：
零假设H0：是否为“女篮球迷”与性别无关，
则K2=50×(20×14−10×6)226×24×30×20≈6.464＜6.635，
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0材料，即没有99%的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关；
（2）从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，
这6人中男“女篮球迷”有4人，女“女篮球迷”有2人，
则X的可能值是0，1，2，
所以P(X=0)=C22C62=115，P(X=1)=C41C21C62=815，P(X=2)=C42C62=25，
则X的分布列为：
所以E(X)=0×115+1×815+2×25=43．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
17．（15分）（2025•晋中模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，4Sn+1＝3an+1+9an，a1＝3．
（1）证明：数列{an+1﹣3an}为等比数列；
（2）设bn=an(n+1)(n+2)，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列求和的其他方法；数列递推式；等比数列的概念与判定．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【正确答案】（1）证明见解答；（2）Tn=3nn+2−12．
【分析】（1）运用数列的通项与前n项和的关系和等比数列的定义，可得证明；
（2）由等差数列的定义和通项公式，推得an，再由数列的裂项相消求和，可得所求和．
解：（1）证明：数列{an}的前n项和为Sn，4Sn+1＝3an+1+9an，a1＝3，
当n＝1时，4S2＝4a1+4a2＝3a2+9a1，即为12+4a2＝3a2+27，解得a2＝15，
当n＝2时，4S3＝4a1+4a2+4a3＝3a3+9a2，即为72+4a3＝3a3+135，解得a3＝63，
当n≥2时，由4Sn+1＝3an+1+9an，可得4Sn＝3an+9an﹣1，
相减可得an+1＝6an﹣9an﹣1，
即有an+1﹣3an＝3（an﹣3an﹣1），
由a3﹣3a2＝63﹣45＝18，a2﹣3a1＝15﹣9＝6，即有a3﹣3a2＝3（a2﹣3a1），
则数列{an+1﹣3an}为等比数列；
（2）由（1）可得an+1﹣3an＝6×3n﹣1＝2×3n，
即有an+13n+1−an3n=23，
可得数列{an3n}是首项为1，公差为23的等差数列，
则an3n=1+23（n﹣1），
即有an＝（2n+1）•3n﹣1，
bn=an(n+1)(n+2)=(2n+1)⋅3n−1(n+1)(n+2)=3nn+2−3n−1n+1，
可得数列{bn}的前n项和Tn＝1−12+94−1+275−94+...+3nn+2−3n−1n+1=3nn+2−12．
【点评】本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18．（17分）（2024•山西模拟）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，AD⊥平面ABB1A1，P为D1C1的中点，且PD＝PC．
（1）求证：CC1⊥BD；
（2）求平面CPB与平面DPB的夹角的正弦值．
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直．
【专题】转化思想；向量法；空间角；运算求解．
【正确答案】（1）证明过程请见解答；（2）255．
【分析】（1）设Q是CD的中点，连接PQ，先证CC1⊥CD，由AD⊥平面ABB1A1，知AD⊥AA1，进而得CC1⊥AD，从而有CC1⊥平面ABCD，再由线面垂直的性质定理，即可得证；
（2）先证DA，DC，DD1两两垂直，再以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角，即可得解．
（1）证明：设Q是CD的中点，连接PQ，
因为P是C1D1的中点，所以CC1∥PQ，
因为PD＝PC，所以PQ⊥CD，所以CC1⊥CD，
因为AD⊥平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，所以AD⊥AA1，
因为CC1∥AA1，所以CC1⊥AD，
又CD∩AD＝D，CD、AD⊂平面ABCD，
所以CC1⊥平面ABCD，
因为BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．
（2）解：因为AD⊥平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以AD⊥AB，
又四边形ABCD的各棱长均相等，
所以四边形ABCD是正方形，
故DA，DC，DD1两两垂直，
以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设AD＝2，则D（0，0，0），P（0，1，2），B（2，2，0），C（0，2，0），
所以DP→=(0，1，2)，DB→=(2，2，0)，CB→=(2，0，0)，CP→=(0，−1，2)，
设平面DPB的法向量为m→=（x，y，z），则m→⋅DP→=y+2z=0m→⋅DB→=2x+2y=0，
令y＝﹣2，则m→=（2，﹣2，1），
设平面CPB的法向量为n→=（a，b，c），则n→⋅CB→=2a=0n→⋅CP→=−b+2c=0，
令c＝1，则n→=（0，2，1），
设平面CPB与平面DPB的夹角为θ，则csθ＝|cs＜m→，n→＞|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=|−4+1|3×5=55，
所以sinθ=1−cs2θ=255，
故平面CPB与平面DPB的夹角的正弦值为255．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用向量法求平面与平面的夹角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（17分）（2025•永州二模）在直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点P（﹣23，1），短半轴长为5．过点S（0，5）作直线l交C于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线PA，PB的斜率分别为k1和k2．
（1）求C的标准方程；
（2）证明1k1+1k2是定值，并求出该定值；
（3）设点R（0，1），证明C上存在异于其上下顶点的点Q，使得∠MQR＝∠NQR恒成立，并求出所有满足条件的Q点坐标．
【考点】椭圆的定点及定值问题；根据椭圆上的点求椭圆的标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）x215+y25=1；
（2）证明过程见解析，定值为3；
（3）椭圆C上存在点Q(−3，2)或Q(3，2)使得∠MQR＝∠NQR恒成立．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可；
（2）得到将椭圆向右平移23个单位，再向下平移1个单位的轨迹方程以及直线AB平移后的直线方程，结合斜率公式求证即可；
（3）根据角平分线性质得|QM||QN|=|RM||RN|，设出直线PA的方程和点Q的坐标，求出M，N两点的坐标，再代入求解即可．
解：（1）因为椭圆C经过点P（﹣23，1），短半轴长为5，
所以(−23)2a2+12b2=1b=5，
解得a=15b=5，
则C的标准方程为x215+y25=1；
（2）将椭圆向右平移23个单位，再向下平移1个单位得C′：(x−23)215+(y+1)25=1，
即x2+3y2+6y−43x=0，
设直线AB平移后的直线方程为A′B′：mx+ny＝1，
因为直线A′B′过点(23，4)，
所以23m+4n=1，
此时x2+3y2+(6y−43x)(mx+ny)=0，
即(6n+3)y2+(6m−43n)xy+(1−43m)x2=0，
可得(6n+3)k2+(6m−43n)k+(1−43m)=0，
所以k1+k2=−6m−43n6n+3，k1k2=1−43m6n+3，
则1k1+1k2=k1+k2k1k2=−6m−43n1−43m=−6m−3(1−23m)1−43m=3；
（3）根据角平分线性质，可得|QM||QN|=|RM||RN|，
设Q（x，y），直线PA的方程为y=k1(x+23)+1，
令x＝0，
解得M(0，23k1+1)，
同理得N(0，23k2+1)，
因为|QM||QN|=|RM||RN|，
所以x2+[y−(23k1+1)]2x2+[y−(23k2+1)]2=|k1||k2|，
对等式两边同时平方并整理得x2+y2−(43k1+2)y+(23k1+1)2x2+y2−(43k2+2)y+(23k2+1)2=k12k22，
即x2+y2−[43k1k2k1+k2+2]y+43k1k2k1+k2+1=0，
可得x2+y2﹣6y+5＝0，
易知轨迹是一个定圆，
联立x2+y2−6y+5=0x215+y25=1，消去x并整理得y2+3y﹣10＝0，
解得y＝2或y＝﹣5（舍去）．
综上所述，椭圆C上存在点Q(−3，2)或Q(3，2)使得∠MQR＝∠NQR恒成立．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．女篮球迷
非女篮球迷
总计
男
20
26
女
14
总计
50
P（K2≥k0）
0.05
0.01
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
女篮球迷
非女篮球迷
总计
男
20
26
女
14
总计
50
P（K2≥k0）
0.05
0.01
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
女篮球迷
非女篮球迷
总计
男
20
6
26
女
10
14
24
总计
30
20
50
女篮球迷
非女篮球迷
总计
男
20
6
26
女
10
14
24
总计
30
20
50
X
0
1
2
P
115
815
25