福建福州高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题含答案

这是一份福建福州高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题含答案，共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷总分：150分 完卷时间：120分钟
第I卷
一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 8
2. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ）
A. 0.16B. 0.09C. 0.59D.
3. 若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4. 的展开式中项的系数为（ ）
A. B. C. D.
5. 甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加数学考试，已知成绩各不相同．甲和乙去询问老师成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，从第一名到第六名的排列有多少种不同情况?（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
6. 已知函数在上的导函数为，且在处取得极大值，则函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．如图1所示，杨辉三角第6行的7个数依次为，．将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2，则在这个新的三角数阵中，第100行的所有数的和为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式的所有系数和为1B. 展开式的第4项二项式系数最大
C. 展开式中不含项D. 展开式的常数项为240
10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如果随机变量，且，则_______.
13. 校运会期间，高二有甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域，则在甲被派往铅球区域的条件下，乙也被派往铅球区域的概率为______．
14. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为.
（1）求的概率;
（2）求Y的分布列与数学期望.
16. 已知抛物线：的焦点到直线的距离为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
18. 将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体.如图所示的椭圆柱体，点和分别为上、下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长，短轴长为，，均垂直于椭圆面，且，过下底面椭圆的右焦点的动直线交椭圆于，两点，是上一点，且满足平面.
（1）求的值；
（2）求点到平面距离的最大值；
（3）若，求二面角的余弦值.
19. 某湿地公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为．
（1）若有4位居民连续两天去湿地散步，记其中第二天选择路线散步的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）若某居民每天都去湿地散步，记他第天选择路线的概率为．
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）设，证明：．
福州高级中学2025-2026学年第三学段考试
高二数学试题
试卷总分：150分 完卷时间：120分钟
第I卷
一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的定义求解即可.
【详解】解：根据题意，，则，
又．
故选：D．
2. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ）
A. 0.16B. 0.09C. 0.59D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率之和为1即可求解.
【详解】由表可得，所以，
满足，故.
故选：A.
3. 若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，根据函数存在极值点，可得，进而求得实数的取值范围.
【详解】由函数，可得，
因为函数存在极值点，则满足，
即，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
4. 的展开式中项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为，结合二项展开式的通项公式运算求解.
【详解】因为，
且的展开式为，
令，解得，可得；
令，解得，不合题意；
所以项的系数为.
故选：B.
5. 甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加数学考试，已知成绩各不相同．甲和乙去询问老师成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，从第一名到第六名的排列有多少种不同情况?（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】依次排乙、甲，再将其余四位同学的名次进行排序即可，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】由题意可知，乙既不是第一名，也不是第六名，则乙的名次有种情况，
由于甲不是第一名，则甲的名次只能是乙的名次外不是第一名的四个位次之一，有种，
再将其余四位同学的名次进行排序即可，
所以，第一名到第六名的排列种数为种.
故选：B.
6. 已知函数在上的导函数为，且在处取得极大值，则函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件得到在的左侧，在的右侧，再结合的符号，即可判断.
【详解】因为在处取得极大值，
所以在的左侧，在的右侧，
又在的左侧，在的右侧，
所以在的左侧，在的右侧，
结合选项只有D符合，
故选：D
7. 已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设切点后由导数的意义得到切线方程，代入转化为三次方程有三个不同实数根问题，构造函数求导得到极值点和极值，再根据三次方程有三个不同根的条件计算.
【详解】设切点为，
由可得，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
由点在切线上代入可得，
即三次方程有三个不同的实数根，
令，则，
所以极值点为和，
又极值点处函数值为，
三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号，
所以，解得.
故选：B
8. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．如图1所示，杨辉三角第6行的7个数依次为，．将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2，则在这个新的三角数阵中，第100行的所有数的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据杨辉三角的特性、二项展开公式结合函数的导数分析求解即可.
【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为，则新的三角数阵中第行的第个数为，
第行的和为：，
设，
两边求导得：，
令得，，
所以第行的和为，第100行的所有数的和为．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式的所有系数和为1B. 展开式的第4项二项式系数最大
C. 展开式中不含项D. 展开式的常数项为240
【答案】ABD
【解析】
【分析】在二项式中令，可判断A选项；利用二项式系数和可判断B选项；写出二项展开式，令的指数为，可判断C选项；令的指数为零，求出参数的值，代入展开式通项可判断D选项.
【详解】对于A选项：令，可得二项式的展开式中所有项的系数和为，故A正确；
对于B选项：因为指数为偶数，即，
所以展开式的第项二项式系数最大，故B正确；
展开式通项为，
对于C选项： 令，解得，
所以展开式中含项，故C错误；
对于D选项：令，可得，
故展开式中常数项为，故D正确.
故选：ABD.
10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项.
【详解】A.定义域为，，，故A正确.
B.定义域为，，，故B正确.
C.定义域为，，，故C正确.
D.定义域为，，，
当时，，故D错误.
故选：ABC.
11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用和可判断A选项；利用全概率公式可得，，即可判断BCD选项
【详解】，
又，
，故A正确；
，所以B错误；
则，所以C正确；
又，
则，故D正确；
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如果随机变量，且，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于和的方程组，求解即可.
【详解】因为，，所以，所以①，
又，所以②，
①代入②，得，解得.
故答案为：.
13. 校运会期间，高二有甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域，则在甲被派往铅球区域的条件下，乙也被派往铅球区域的概率为______．
【答案】
【解析】
【详解】设表示事件“甲被派往铅球区域”，表示事件“乙被派往铅球区域”.
则，.
则在甲被派往铅球区域的条件下，乙也被派往铅球区域的概率为．
14. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】通过指对互化把原不等式转化为，构造函数，利用导数研究其单调性，从而得，令，利用导数求解最值求得，即可得解.
【详解】因为，对恒成立，所以，，
所以，所以，
令，则，
因为，所以在上为增函数，所以，
所以，令，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，即，所以，
所以，所以a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，利用指对互化对不等式同构变形，然后利用导数研究单调性和最值，分离参数，再利用导数研究最值即可求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为.
（1）求的概率;
（2）求Y的分布列与数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列
【解析】
【分析】（1）若有放回的抽取时，随机变量X服从二项分布，由二项分布的概率公式可得；
（2）若不放回抽取时，随机变量Y服从超几何分布，由超几何分布的概率公式可得分布列及期望.
【小问1详解】
若有放回抽取时，每次抽球相互独立，每次抽到红球的概率为 ​，共抽3次，
因此,根据二项分布概率公式： .
【小问2详解】
若不放回抽取时，服从超几何分布，的所有可能取值为，
概率公式为：.
，，，.
的分布列为：
数学期望： .
16. 已知抛物线：的焦点到直线的距离为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用抛物线焦点到直线的距离公式列方程求出的值，即可确定标准方程；
（2）设直线方程并与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式与点到直线距离公式表示三角形面积，建立方程求解即得.
【小问1详解】
抛物线的焦点坐标为，
所以焦点到直线的距离为，
解得，则抛物线的标准方程为.
【小问2详解】
由题意设过点的直线方程为，设.
联立方程，消去得：，
所以，，
所以，
由弦长公式，.
原点到直线的距离为.
所以，
解得 ，即.
故直线方程为：或，即或.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求导即可分析的单调性；
（2）将变换为，令，求导研究的极值即可．
【小问1详解】
因为，其中，
①当时，恒成立，的增区间为，无减区间；
②当时，令，得，由可得，
由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为．
【小问2详解】
当时，恒成立，即恒成立，
令，则，其中，恒成立，
所以由可得，由可得，
故函数的减区间为，增区间为，
所以，即，故的取值范围是．
18. 将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体.如图所示的椭圆柱体，点和分别为上、下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长，短轴长为，，均垂直于椭圆面，且，过下底面椭圆的右焦点的动直线交椭圆于，两点，是上一点，且满足平面.
（1）求的值；
（2）求点到平面距离的最大值；
（3）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】(1)建系设点，由平面推出，利用向量平行坐标成比例求出点坐标，直接算.
(2)设点，列平面的法向量方程组，写出法向量；代入点到平面距离公式，将距离表达式化简后用不等式放缩，求出最大值.
(3)由得出方向向量，分别求平面、平面的两个法向量，用向量夹角公式计算余弦，结合图形取锐角值.
【小问1详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，
所以，.
由平面，得，∴.
【小问2详解】
设，则，.
设平面的法向量为，
则取.
又因为，
所以(当时取等号)，
即点到平面的距离的最大值为.
【小问3详解】
因为，所以直线的方向向量，
直线的方向向量.
设平面的法向量为，则
取
又，直线的方向向量，
设平面的法向量为，则
取
所以.
由图可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
19. 某湿地公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为．
（1）若有4位居民连续两天去湿地散步，记其中第二天选择路线散步的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）若某居民每天都去湿地散步，记他第天选择路线的概率为．
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）设，证明：．
【答案】（1）
；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望；
（2）（i）分析第n天选择路线A和路线B情况下第n+1天选择路线A的概率，再由全概率公式列式，求出关系式，利用构造法证明数列是等比数列并求出通项公式；（ii）借助放缩法及等比数列前n项和公式推理得证.
【小问1详解】
记附近居民第天选择路线分别为事件，
依题意，，，
则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率；
记第二天选择路线散步的人数为，则，
则，
则的分布列为：
故的数学期望；
【小问2详解】
（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率为；
当第天选择路线时，第天选择路线的概率为，
由全概率公式得，
所以，而，
于是数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，即；
（ii）由（i）知，
当时，，
而，所以；
当时，，而，
所以
所以．
0
1
2
3
0.12
0.16
0
1
2
3
0.12
0.16
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4