2026衢州开化中学等五校高一下学期期中联考数学试卷含解析

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1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由可得：，
所以，
所以.
2. 已知，，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式结合充分必要条件求解即可.
【详解】若“”，则“”必成立，
但是“”，“”不一定成立，
例如，此时，
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A
3. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果
【详解】根据题意当时，解得
当时，不等式恒成立，符合题意；
当，不等式，不符合题意；
当，的不等式的解集为，
所以，解得
综上所述，.
4. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，轴且，则的面积是（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知中，，求出、的长，利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】在斜二测直观图中，，且，
所以为等腰直角三角形，所以，
且，由斜二测画法可知，在中，，
且，，
故.
5. 若正实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，再根据特殊值代入求解即可.
【详解】.
若，则，与矛盾.
若，则，则，成立.
若，则，代入原式得，即，解得，与题干中是正实数矛盾，
综上，与均不成立，则一定成立.
取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，C不成立；
取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，D不成立.
6. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律即可求解．
【详解】连接，取中点，连接，则且，
所以，
所以．
7. 衢州天王塔始建于南朝梁天监年间，于1952年拆除后在2015年重建，某同学为了估算天王塔的高度，设计了如图所示的测量方案：用无人机沿水平方向由远及近航拍天王塔AB（无人机行进路线和塔身在同一铅垂平面内），若在C处测得塔尖A的俯角为15°，在D处测得塔底B的俯角为75°，同时测得塔尖A的俯角为30°，且，则由此算得衢州天王塔的高度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中得出，再在中利用正弦定理即可求出.
【详解】由题意可知，，
，
则，，，
则为等腰三角形，即，
因为，
则在中利用正弦定理得，
即，
则衢州天王塔的高度为.
8. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先画出分段函数图象，然后利用数形结合，结合韦达定理先得出，再由对数函数性质得出，所求式子可化为，换元后利用函数单调性求范围.
【详解】作函数的大致图象，如图，
当时，，即，化简可得，
所以，所以，
当时，又，即，
则，则，
由图形可知，即，解得，
令，又在上单调递增，所以，
故的取值范围是.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A. 的虚部为B. 的共轭复数为
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AC
【解析】
【详解】，
A：的虚部为，正确.
B：的共轭复数为，错误.
C：，正确.
D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，错误.
10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断AD选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；将代入，结合二次函数的基本性质可判断C选项.
【详解】因为，，，
对于A选项，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，A对；
对于B选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，，
故，
当且仅当时，即当时，等号成立，D对.
11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 圆锥外接球的表面积为
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可判断A选项；利用基本不等式结合锥体的体积公式可判断B选项；易知球心在直线上，所以该圆锥外接球半径即为外接圆半径，利用正弦定理以及球体表面积公式可判断C选项；将、展开为一个平面，利用余弦定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，圆锥的母线长为，
故该圆锥的侧面积为，A对；
对于B选项，因为为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，
所以，由勾股定理可得，
由基本不等式可得，故，
当且仅当时，等号成立，故，
故，故三棱锥体积的最大值为，B错；
对于C选项，易知球心在直线上，所以该圆锥外接球半径即为外接圆半径，
设其外接球半径为，，
所以，故圆锥外接球的表面积为，C对；
对于D选项，当时，易知，将、展开为一个平面，如下图所示：
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，
易知，故，
由余弦定理可得，
当点、、三点共线时，的长取最小值，且其最小值为，D对.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】借助投影向量公式计算即可得.
【详解】，
故在方向上的投影向量的坐标为.
13. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为_______.
【答案】2
【解析】
【详解】（舍去），所以或，
，
因为，所以，
所以为等腰直角三角形，
所以，
所以由面积公式：.
14. 函数，直线为的一条对称轴，为的一个对称中心，且在区间上单调，则的最大值为_________.
【答案】11
【解析】
【分析】根据正弦型函数单调性的周期性特征可得，，再结合对称性可得，，进而可得的最大值为11，并代入检验即可.
【详解】设函数的最小正周期为，
因为在区间上单调，且直线为的一条对称轴，
则，可得，
且，则，解得，
又因为为的一个对称中心，
则，，解得，，
可得，，解得，，
则，解得，，
当时，取到最大值11，
此时，
因为直线为的一条对称轴，
则，，即，，
且，可得，，符合题意，
综上所述：的最大值为11.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积．
【答案】表面积，体积
【解析】
【分析】根据球体的表面积和体积公式，圆锥表面积，圆台体积公式即可求解．
【详解】过点C作，垂足为F，则，，
所以，
；
．
16. 已知，是平面内两个不共线的向量，，，.
（1）若A，C，D三点共线，求实数m的值；
（2）若，，是钝角，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）且
【解析】
【分析】（1）应用三点共线结合基底列式计算求解参数；
（2）应用钝角得出向量数量积小于0及不共线计算求解参数.
【小问1详解】
，，
若A，C，D三点共线，即，共线，
即存在实数t使得成立，
即，即，
则，所以，
【小问2详解】
是钝角，则且与不共线，
又，，，
即，即，
又与不共线，即，
综上，且.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再结合三角函数的性质求增区间；
（2）利用变换得出的解析式，再将问题转化为函数图象交点问题即可.
【小问1详解】
，
令，，解得，，
则的增区间为，.
【小问2详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象，
则，
已知在区间上有两个不同的零点，
等价于方程在区间上有两个不同的实根，
令，则，
则与图象有两个不同的交点，
因为，故其图象如图：
则，所以实数m的取值范围.
18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.①；②；③.
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知_________.
（1）求角A；
（2）若，.
（ⅰ）若，求的最大值；
（ⅱ）若为锐角三角形，，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）选①，可利用三角形内角和及两角和的正弦公式计算即可得解；选②，先将角化为边，再利用余弦定理即可得解；选③，先将角化为边，再利用两角和的正弦公式计算即可得解；
（2）（i）借助平面向量线性运算法则及模长与数量积的关系及基本不等式计算即可得；（ⅱ）利用模长与数量积关系，可用表示，再借助正弦定理结合锐角三角形性质可求出范围，即可得解.
【小问1详解】
选①，
则，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
选②，
则，
所以，即，
所以，又因为，所以；
选③，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，又因为，所以
【小问2详解】
（i）因为，所以，
所以，即，
所以，
所以，（当且仅当时，取等号），
所以的最大值为；
（ⅱ）因为，所以，
因为，
所以，所以，
因为，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以
所以实数t的取值范围为.
19. 已知函数，函数.
（1）若，判断函数的奇偶性并证明；
（2）是否存在实数，使得函数在区间上单调，且此时的取值范围是.若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若关于的方程在区间上只有一解，求实数的取值范围.
【答案】（1）偶函数，证明见解析
（2）存在，或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可；
（2）作出的草图，根据单调性分区间讨论即可；
（3）转化为在区间上只有一解，分离参数后求函数的值域即可得解.
【小问1详解】
当时，为上的偶函数.理由如下：
当时，，
，为上的偶函数.
【小问2详解】
可作在上的草图.
①当，则在上单调递减，
∴，
两式相除整理得，
与相矛盾.
②当，则在上单调递增，
∴，可以理解为在上有2个不同实根.
令，，
，，，
要使有两个不等实根，则.
③当，则在上单调递减，
∴，
两式相除整理得，
，，，
此时
综上所述：或.
【小问3详解】
，
关于的方程在区间上只有一解，
可转化为在区间上只有一解，
即在区间上只有一解，
当时，，所以
，
另一方面，还需在区间上恒成立.
恒成立，.
综上所述：a的取值范围为.