河南洛阳市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份河南洛阳市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了 下列说法中错误的为等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在木试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是( )
A. a＝－bB. a∥b
C. a＝2bD. a∥b且|a|＝|b|
【答案】C
【解析】
【详解】A.可以推得为既不充分也不必要条件；B.可以推得或 为必要不充分条件；C．为充分不必要条件；D同B.所以选C.
2. 已知i是虚数单位，，复数是的共轭复数，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. 为纯虚数D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意易知，，
所以，故A正确；
，故B正确；
，当时，C显然错误；
，，故D正确.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C. 棱锥的所有侧面都是三角形
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义逐项分析即可
【详解】对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，
且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图：
对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；
对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确；
对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，
故选：.
4. 如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合图形，易于判断A,B两项；对于C项，理解折纸过程知点是线段的中点，易得结论；对于D项，合并其中两个向量后，只需判断余下的两向量能否共线即可.
【详解】不妨设，则，
对于A项，显然与方向不一致，所以，故A项错误；
对于B项，由图知是钝角，则，故B项错误；
对于C项，由题意知点是线段的中点，则易得：,即得：，故C项正确；
对于D项，由，而与显然不共线，故．即项错误．
故选：C．
5. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解.
【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图：
的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6，
则，解得，
故所求体积之比为
故选：B

6. 在中，角的对边分别为，若，，点是的重心，且，则的面积为
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得或，利用和余弦定理列方程，求得面积的两种取值.
【详解】由题可知，，则，或.又，延长交于点，所以.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为.故选D.
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查向量运算，考查三角形的面积公式，属于中档题.
7. 下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.
【详解】对于①，连接如图所示，由于，根据面面平行的性质定理可知平面平面，所以平面.
对于②，连接交于，由于是的中点，不是的中点，所以在平面内与相交，所以直线与平面相交.
对于③，连接，则，而与相交，即与平面相交，所以与平面相交.
对于④，连接，则，由线面平行的判定定理可知平面.
综上所述，能得出平面的图形的序号是①④.
故选：C
本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
8. 在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，设，，，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】在中，设，，，
，即，
即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，，
解得，.
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，
，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：B.
关键点点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中错误的为（ ）
A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B. 向量不能作为平面内所有向量的一个基底
C. 已知，且，则
D. 非零向量和满足，则与的夹角为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用平面向量基底的定义可判断B选项；由平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】选项A，已知 ，则 .
若两向量夹角为锐角，需要满足两个条件：数量积大于0，且不共线同向，
则，即；
若两向量共线，解得，此时夹角为（不是锐角），需排除，
因此的范围是 ，A错误.
选项B，平面向量基底要求两个向量不共线，由 ，可知两向量共线，
因此不能作为基底，B正确.
选项C，由 只能推出 ，无法得到 ，
（反例：，满足数量积相等但），C错误.
选项D，设，的夹角为，
展开得 ，则，
所以，因此，D错误.
10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 的外接圆的半径为
B. 若只有一个解，则的取值范围为或
C. 若为锐角，则的取值范围为
D. 面积的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】首先利用三角恒等变换求，再根据正弦定理判断A；
根据三角形的个数，建立不等式，判断B；
求角的范围，利用正弦定理求，并求的取值范围，判断C；
利用余弦定理，结合基本不等式求的最大值，即可判断D.
【详解】因为，
所以，，
所以，
因为，所以，解得：，故A正确；
B.若只有一个解，则或，
得或，故B错误；
C.因为角为锐角，，所以，
所以，，
所以，故C错误；
D.，当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为，故D正确.
故选：AD
11. 在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A. 棱上存在一点，使得平面
B. 点在线段PQ上，则的最小值是
C. 过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为
D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A：设，利用直线方向向量和平面法向量关系，建立关于的方程并求解；选项B：利用空间中两点之间距离公式，建立函数求解最值；选项C：确定平行且和平面平行的平面与正方体各棱的交点，确定截面形状，再计算面积；选项D：确定球心到过的平面的最大距离，再根据球的半径，利用勾股定理计算最小半径，进而得到最小面积.
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系：设
，得.
选项A，设，，
设平面的一个法向量，则n⋅B1P=0n⋅B1Q=0⇒−12y−z=0−12x−z=0，
令，可得，即，
若平面，则，即，
超出棱范围，A错误.
选项B，在上，满足，
则：
二次函数对称轴，代入得最小值为，B正确.
选项C,过且平行于平面的平面截正方体得到等腰梯形，四个交点为：
上底长，下底长，梯形高，
面积，C正确.
选项D,正方体外接球球心为，半径.
正方体的外接球球心为，所有过的截面都经过直线，设是球心在直线上的垂足，的长度就是到直线的固定距离.
对任意过的截面，设到的距离为，
由几何关系：，是到截面的垂线段长度，
满足（为与平面法向量的夹角，范围）.
因此（球心到截面的距离）的最大值就是，为中点，，
则，截面最小半径满足，
最小面积，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，已知，直角梯形是一个水平放置的四边形OABC的直观图，且，，则四边形的周长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先作，求得，然后利用斜二测画法还原四边形，即可求解.
【详解】如图，作，
则为等腰直角三角形，因为，所以，即，
则四边形为如图所示的直角梯形，
所以，，，，
故四边形的周长为.
13. 复数满足，则的最大值是______．
【答案】49
【解析】
【分析】利用复数的几何意义，得到复数对应的图形，由图形求出的最大值.
【详解】解：设复数在复平面内对应的点坐标为，复数满足，则的几何意义为复平面内到点的距离为2的点的集合，即以为圆心，以2为半径的圆.
，其几何意义为复平面内点到原点距离的平方，所以的最大值为圆心到原点的距离加半径的平方，即.
故答案为：49
14. 在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，为的面积，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形面积公式和余弦定理转化为关于角的三角函数方程，进而利用三角形内角和关系把原式转化为仅含角的表达式，再结合基本不等式求解范围.
【详解】由已知，由余弦定理得，
整理得，结合 ，
解得（为锐角，舍去），故.
为锐角三角形，故，且 0