福建厦门双十中学等校2025-2026学年下学期七年级 期中考试试卷 数学含答案

这是一份福建厦门双十中学等校2025-2026学年下学期七年级 期中考试试卷 数学含答案，共23页。试卷主要包含了全卷分三个部分，共25题等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
考生注意：
1．全卷分三个部分，共25题
2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意．）
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 对于二元一次方程，下列用x表示y正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置，则一定没有被书本遮住的点是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ）
A. B. C. D.
5. 估计的值在（ ）
A. 3到4之间B. 4到5之间C. 5到6之间D. 6到7之间
6. 如图，下列选项不能得到的是（ ）
A. B. C. D.
7. 点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：①______；②121的平方根是______．
12. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是________．
13. 如果是方程的一组解，那么代数式的值是______．
14. 在平面直角坐标系中，线段轴，，且点的坐标是，则点的坐标是___________．
15. 关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值是 _______．
16. 两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 计算、解方程组．
（1）；
（2）
（3）；
（4）．
18. 已知：如图，中，点D、E分别是、上，平分，．交的延长线于点F，且．求证：．
完成下面的证明，并在括号里补充推理的依据。
证明：∵平分（已知）
（______）
（已知），
∴∠____________，
（______）
（已知）
（______）
（______）
19. 如图，直线，相交于，若，平分，求．
20. 如图，四边形所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，若点A的坐标为，，请按要求解决下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）求出四边形的面积；
（3）请画出将四边形向上平移4格，再向左平移2格后所得的四边形．
21. 某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元．
（1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案．
22. 如图，点D、E、F分别是线段、、上的点，连接、．
（1）尺规作图：在射线上作，并连接．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，求证：．
23. 定义：以二元一次方程的解为坐标的点叫做这个方程的“开心点”．
（1）在①；②；③三点中，是方程的“开心点”有_____________；（填序号）
（2）已知A，C两点是方程的“开心点”，B，C两点是方程的“开心点”．若点到轴的距离为1，点到轴的距离为3，且A，B均不在第三象限，求A、B、C三点的坐标．
（3）若，，三点是二元一次方程的“开心点”，探究m，n，p，q之间的关系，请写出结论，并完成证明．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点是第四象限内一点，轴于点，且．
（1）求点A、B两点的坐标；
（2）连，求三角形的面积．
（3）如图2，将点C向左平移5个单位得到点H，连接，与y轴交于点D．在y轴上是否存在点M，使三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 如图1，点E在直线上，点G、H在直线上，过点H作，点F在与之间，连接．
（1）若．
①若，，求的度数；
②如图2，若，，（且n为整数），与交于点O，，用含n的代数式表示的度数；
（2）如图3，若与不平行时，延长交于点K，作的平分线，交于点P，作的平分线，交于点M，过点F作，交于点N．若满足，，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
2025-2026学年（下）初一年期中考试试卷
数学
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
考生注意：
1．全卷分三个部分，共25题
2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意．）
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数和有理数的定义判断各选项，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数．
【详解】解：∵是分数，属于有理数，∴A错误．
∵是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴B正确．
∵是有限小数，属于有理数，∴C错误．
∵，是整数，属于有理数，∴D错误．
2. 对于二元一次方程，下列用x表示y正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把x当成已知，根据等式的性质移项，即可求解．
【详解】解：∵，
∴移项得 ．
3. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置，则一定没有被书本遮住的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：由图可知，书本遮住的点位于第一、三、四象限．
A、点位于第二象限，一定没有被书本遮住；
B、点位于第四象限，有可能被书本遮住；
C、点位于第一象限，有可能被书本遮住；
D、点位于第三象限，有可能被书本遮住．
4. 下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一概念是解题的关键．
根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段．
【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离；
选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
故选：C．
5. 估计的值在（ ）
A. 3到4之间B. 4到5之间C. 5到6之间D. 6到7之间
【答案】B
【解析】
【分析】先估算的取值范围，再利用不等式性质得到的范围，即可得到结果．
【详解】解：，
，即，
不等式三边同时加2，得，
即，
的值在4到5之间．
6. 如图，下列选项不能得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定，对选项逐一分析判断即可．
【详解】解：A、，
（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B、，
（内错角相等，两直线平行），不能得到，故此选项符合题意；
C、，
（同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
D、，
（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意．
故选：B．
7. 点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平移中点的变化规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解答．
【详解】解：点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点
∴，即，
故选：C．
8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两
由题意得：
故选D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9. 如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查长方形与折叠问题，平行线性质的应用；根据折叠得到，根据平行线性质得到，计算即可求出．
【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，
∴，
∵为长方形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
10. 如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出点，，的坐标，归纳类推出一般规律即可．
【详解】解：由图可知，点的坐标为，
点的坐标为，即，
点的坐标为，即，
点的坐标为，即，
归纳类推得：点的坐标为，即，其中为正整数，
∵，
∴点的坐标为，即．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：①______；②121的平方根是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①先判断的正负，再化简绝对值即可．②根据平方根的定义，计算正数121的平方根即可．
【详解】解：①∵，
∴，
∴；
②∵，
∴121的平方根为．
12. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意；根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
13. 如果是方程的一组解，那么代数式的值是______．
【答案】
37
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解及代数式求值．准确理解方程的解的概念，运用整体思想是解题的关键．首先把这组解代入方程，再将其整体代入即可求解．
【详解】解：是方程的一组解，
，
．
14. 在平面直角坐标系中，线段轴，，且点的坐标是，则点的坐标是___________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据平行轴的特点进行解答即可．
【详解】解：线段轴，点的坐标为，
的纵坐标为，
，
点的横坐标为或，
点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，正确理解平行轴的坐标点是解题的关键．
15. 关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是注意观察所给的方程组的两个方程与的关系．关于，的二元一次方程组的第①个方程减去第②个方程，可得，然后根据方程组的解满足，可得，据此求出的值即可．
【详解】解：，
①②，可得，
关于，的二元一次方程组的解满足，
，
解得．
故答案为：．
16. 两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【答案】2或3或5
【解析】
【分析】分三种情况：①当AB时，②当AC时，③当AB时，分别根据平行线的性质求出∠的度数，进而解答即可．
【详解】解：分三种情况：
①当AB时，如图：
∴∠＝∠BAC＝45°，
∴15t＝45，
∴t＝3；
②当AC时，如图，
∴∠＝∠＝30°，
∴15t＝30，
∴t＝2；
③当AB时，如图，过点C作CEAB，则CEAB，
∴∠ACE＝∠A，∠＝∠，
∴∠＝∠ACE＋∠＝∠A＋∠＝75°，
∴15t＝75，
∴t＝5．
综上所述，当旋转时间t＝2或3或5秒时，三角板有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
故答案为：2或3或5．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 计算、解方程组．
（1）；
（2）
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）先计算乘法，再计算加减法即可；
（2）先化简绝对值、计算乘方和算术平方根，再计算加减法即可；
（3）利用代入消元法解方程组即可；
（4）利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【小问3详解】
解：，
①代入②得：，
解得，
将代入①得：，
所以方程组的解为．
【小问4详解】
解：，
①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
18. 已知：如图，中，点D、E分别是、上，平分，．交的延长线于点F，且．求证：．
完成下面的证明，并在括号里补充推理的依据。
证明：∵平分（已知）
（______）
（已知），
∴∠____________，
（______）
（已知）
（______）
（______）
【答案】角平分线的定义；2；3；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵平分（已知）
（角平分线的定义）
（已知），
∴，
（内错角相等，两直线平行）
（已知）
（平行于同一条直线的两条直线平行）
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：角平分线的定义；2；3；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．
19. 如图，直线，相交于，若，平分，求．
【答案】
【解析】
【分析】根据邻补角的概念求出，根据角平分线的定义求出，根据对顶角相等得到答案．
【详解】解：，
，
平分，
．
．
【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角，掌握对顶角相等、邻补角之和等于是解题的关键．
20. 如图，四边形所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，若点A的坐标为，，请按要求解决下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）求出四边形的面积；
（3）请画出将四边形向上平移4格，再向左平移2格后所得的四边形．
【答案】（1）见解析 （2）9
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）以点A向右4个单位长度，即点B为原点，建立平面直角坐标系即可；
（2）根据进行求解即可；
（3）按照平移规律找出A，B，C，D分别向上平移4格，再向左平移2格后所得的对应点，顺次连接即可．
【小问1详解】
解：∵点A的坐标为，，
∴以点A向右4个单位长度，即点B为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
【小问2详解】
解：∵，，，
∴点C到的距离为2，
∴
；
【小问3详解】
解：如图所示，即为所求．
21. 某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元．
（1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案．
【答案】（1）型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元
（2）方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台，方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台，方案三：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的解，理解题意并解二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据题意列出二元一次方程组并进行求解即可；
（2）根据题意列出二元一次方程，并根据解的情况求出解即可．
【小问1详解】
解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元，
，
解得，
答：型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元．
【小问2详解】
解：设购买型号的汽车台，型号的汽车台，
，即，
、均为正整数，
或或，
方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台，
方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台，
方案一：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台．
22. 如图，点D、E、F分别是线段、、上的点，连接、．
（1）尺规作图：在射线上作，并连接．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，求证：．
【答案】（1）图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接即可；
（2）先得出，再得出，则可得，然后根据同位角相等，两直线平行即可得证．
【小问1详解】
解：在射线上作，并连接，如图所示：
．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 定义：以二元一次方程的解为坐标的点叫做这个方程的“开心点”．
（1）在①；②；③三点中，是方程的“开心点”有_____________；（填序号）
（2）已知A，C两点是方程的“开心点”，B，C两点是方程的“开心点”．若点到轴的距离为1，点到轴的距离为3，且A，B均不在第三象限，求A、B、C三点的坐标．
（3）若，，三点是二元一次方程的“开心点”，探究m，n，p，q之间的关系，请写出结论，并完成证明．
【答案】（1）③ （2）点的坐标为或，点的坐标为，点的坐标为
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“开心点”的定义逐个判断即可；
（2）联立两个方程，解方程组即可得点的坐标；先求出点的纵坐标，再代入方程求出点的横坐标，然后根据点不在第三象限即可得；先求出点的横坐标，再代入方程求出点的纵坐标，然后根据点不在第三象限即可得；
（3）将点代入方程，先求出的关系，再代入化简即可得．
【小问1详解】
解：①将代入方程的左边得：，
∴不是方程的解，
∴点不是方程的“开心点”；
②将代入方程的左边得：，
∴不是方程的解，
∴点不是方程的“开心点”；
③将代入方程的左边得：，
∴是方程的解，
∴点是方程的“开心点”．
【小问2详解】
解：联立，
解得，
∵两点是方程的“开心点”，两点是方程的“开心点”，
∴；
∵点到轴的距离为1，
∴点的纵坐标为1或，
将代入方程得：，解得，
∴此时点的坐标为，位于第二象限，不在第三象限，符合题意；
将代入方程得：，解得，
∴此时点的坐标为，位于第四象限，不在第三象限，符合题意；
∵点到轴的距离为3，
∴点的横坐标为3或，
将代入方程得：，解得，
∴此时点的坐标为，位于第一象限，不在第三象限，符合题意；
将代入方程得：，解得，
∴此时点的坐标为，位于第三象限，不符合题意，舍去；
综上，点的坐标为或，点的坐标为，点的坐标为．
【小问3详解】
解：，证明如下：
∵，，三点是二元一次方程的“开心点”，
∴，
②①得：，即，
由①和③得：，
∴，
又∵方程是关于的二元一次方程，
∴，
∴．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点是第四象限内一点，轴于点，且．
（1）求点A、B两点的坐标；
（2）连，求三角形的面积．
（3）如图2，将点C向左平移5个单位得到点H，连接，与y轴交于点D．在y轴上是否存在点M，使三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）6 （3）或
【解析】
【分析】（1）推导出，求出，即可解答；
（2）连接，推导出，点B到x轴的距离为4，则，即可解答；
（3）先求出，，，设点M的坐标为，分类讨论：①当点M在的上方时，②当点M在的下方时，逐个分析求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
解得，
∴，
又轴于点，
；
【小问2详解】
解：连接，如图
∵，；
∴，点B到x轴的距离为4，
∴．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
将点向左平移5个单位得到点，
∴，点到的距离为，
∴，
设点M的坐标为，
①当点M在的上方时，如图
有
，
∵三角形和三角形的面积相等，
∴，
解得，
∴；
②当点M在的下方时，如图

∵，
∴点M在点C的下方，
过点H作轴，有，
∴，
∴
，
∵三角形和三角形的面积相等，
∴，
解得，
∴
综上所述，或．
25. 如图1，点E在直线上，点G、H在直线上，过点H作，点F在与之间，连接．
（1）若．
①若，，求的度数；
②如图2，若，，（且n为整数），与交于点O，，用含n的代数式表示的度数；
（2）如图3，若与不平行时，延长交于点K，作的平分线，交于点P，作的平分线，交于点M，过点F作，交于点N．若满足，，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）①；②
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①过点作，推导出，得到，，继而推导出，则，即可解答；
②先推导出，，求出，继而求出，即可解答；
（2）设，推导出，得到，求出，继而推导出，，得到，求出，即可解答．
【小问1详解】
解：①如图，过点作，
，
，
，，
，
又，
，
；
②由①，知，
，，
，，
，
，，
同①，知；
【小问2详解】
解：，理由如下：
设
∵，
∴，
∵平分，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴
∵
∴
即
，
∴
∵，
∴
解得，
∴．