2025-2026学年北京交通大学附属中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京交通大学附属中学高一（下）期中数学试卷，共8页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.cs72°cs12°+sin72°sin12°=（ ）
A. B. C. D.
2.已知角α的终边经过点P（-1，-2），则sinα-csα=（ ）
A. -1B. 1C. D.
3.已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角的弧度为（ ）
A. B. C. 2D. 4
4.已知向量，满足||=2，•=-2，则，的夹角θ=（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
5.为了得到函数的图像，只需将y=sin3x的图像（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
6.已知平面向量=（x,1），=（1，2），若，则||=（ ）
A. 2B. C. 3D.
7.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图像如图所示，则下列正确个数有（ ）
（1）f（x）关于点（，3）对称
（2）f（x）关于直线x=对称
（3）f（x）在区间[，]上单调递减
（4）f（x）在区间（-，）上的值域为（1，3）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
9.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2，M为线段AB上的动点（包含端点），D为AC的中点，将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则的最小值为（ ）
A. -2
B.
C. -1
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知tanα=3，则= .
12.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则= .
13.函数的定义域为 .
14.已知函数f（x）=sinωx，g（x）=csωx，其中ω＞0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．
①当ω=1时，△ABC面积的最小值为 ；
②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
①f（x）存在无数个零点；
②区间是f（x）的单调区间；
③f（x）在（3，+∞）上无最大值；
④若f（2025）=a,则f（-2022）=a.
其中所有正确结论的序号为 .
三、解答题：本题共5小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知圆O是单位圆，锐角α的终边与圆O相交于点，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B.
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）记点B的横坐标为f（θ），若，求的值.
17.(本小题10分)
已知函数.
（1）用“五点法”画函数f（x）在一个周期内的图象，其中；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）当时，求函数f（x）的最值及取得最值时x的值.
18.(本小题12分)
已知函数，是函数f（x）的对称轴，且f（x）在区间上单调.
（Ⅰ）从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得f（x）的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数f（x）的图象经过点；
条件②：是f（x）的对称中心；
条件③：是f（x）的对称中心.
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中确定f（x），若函数f（x）在[0，m]上有唯一零点，求m的取值范围.
19.(本小题16分)
在天文学中，变星是指亮度会随时间变化的恒星，天文学家常用“视星等”来描述恒星的亮度.造父变星是一类“视星等”随时间t呈周期性连续变化的变星，其“视星等”m（t）随时间t的变化可近似地用函数来表示，其中A为振幅，T为光变周期，B为平均“视星等”，φ为初相且.一个天文学团队于每晚20：00记录某颗造父变星的“视星等”，设第一次记录时间为t=0.下表为连续10次的记录数据：
根据该天文学团队的记录数据，回答下列问题：
（1）求该造父变星的光变周期T和平均“视星等”B；
（2）求t=3.5时该造父变星的“视星等”；
（3）已知“视星等”数值越小，亮度越大.若变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2的时间能够达到该光变周期的及以上，则该天文学团队便将这颗变星的亮度视为“合格”，据此判断该造父变星的亮度是否“合格”，并说明理由.
20.(本小题17分)
对于定义在R上的函数f（x）和正实数T若对任意x∈R，有f（x+T）-f（x）=T，则f（x）为T-阶梯函数.
（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数，写出理由：
①f（x）=x2；
②f（x）=x+1.
（2）若f（x）=x+sinx为T-阶梯函数，求T的所有可能取值；
（3）已知f（x）为T-阶梯函数，满足：f（x）在上单调递减，且对任意x∈R，有f（T-x）-f（x）=T-2x.若函数F（x）=f（x）-ax-b有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，⋯.若a=1时证明：存在b∈R，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点，且x2-x1=x3-x2=⋯=x4046-x4045.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】1
12.【答案】-2
13.【答案】
14.【答案】2π ；
15.【答案】①④
16.【答案】（I）m=；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）-．
17.【答案】列表：
在坐标系中描出以上五点，用光滑的曲线连接这五点，得所要求作的函数图象如下所示：
，+kπ]，k∈Z x=时，函数取得最大值，x=时，函数取得最小值-1
18.【答案】若选①，f（x）=sin（2x+）；若选②，f（x）的解析式不存在；若选③，f（x）=sin（2x+） [，）
19.【答案】T=6，B=4 合格
20.【答案】①否；②是；
T=2kπ，k∈N*；
证明：因为a=1，所以函数F（x）=f（x）-x-b，
则F（x+T）=f（x+T）-（x+T）-b=f（x）+T-（x+T）-b=f（x）-x-b=F（x），
F（T-x）=f（T-x）-（T-x）-b=f（x）+T-2x-（T-x）-b=f（x）-x-b=F（x），
取，
则有，，
由于f（x）在上单调递减，
因此F（x）=f（x）-x-b在上单调递减，
结合F（T-x）=F（x），
则有F（x）在[0，上有唯一零点，
在上有唯一零点，又由于F（x+T）=F（x），
则有F（x）在上有唯一零点，在上有唯一零点，
又由于F（x+T）=F（x），则对任意k∈Z，有，
，
因此，对任意m∈Z，F（x）在[mT，（m+1）T]上有且仅有两个零点：mT+，
综上所述，存在，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点，
且，，，，，，
其中，． 观测时间t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
“视星等”m（t）
4.5
5.0
4.5
3.5
3.0
3.5
4.5
5.0
4.5
3.5
0
π
2π
x
y
0
2
0
-2
0