河北雄安部分高中2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题（含解析）

这是一份河北雄安部分高中2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了 已知向量，，，，且， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则复数z的虚部为（ ）
A. 1B. iC. 3D. 3i
【答案】C
【解析】
【分析】根据虚部的概念，即可得答案.
【详解】因为，所以复数z的虚部为3.
2. 已知平面向量，的夹角为，，，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量数量积及向量的模计算即可.
【详解】因为平面向量，的夹角为，，，
，
所以．
3. 下面几何体的截面一定不是圆面的是（ ）
A. 正四面体B. 圆柱C. 圆锥D. 圆台
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的性质，分析即可得答案.
【详解】由题意得，圆柱的截面有可能为圆面，圆锥的截面有可能为圆面，圆台的截面有可能为圆面，
正四面体的截面一定不是圆面.
4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.若满足条件的三角形有2个，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，，所以.
因为满足条件的三角形有2个，所以，即.
5. 设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】若满足，此时，不为纯虚数，
“”不是“复数为纯虚数”的充分条件，
，
若复数为纯虚数，则，
，
“”是“复数为纯虚数”的必要条件．
“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B．
6. 已知向量，，，，且.若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算及夹角公式列式求解.
【详解】由，，，得，解得，即，
由，，得，
由与的夹角为钝角，得，解得且，
所以实数t的取值范围为.
7. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，可得，由正弦定理边化角，结合两角差的正弦公式，可得，根据角的范围，整理求解，即可得答案.
【详解】因为，，所以.
由正弦定理，得，
所以，即.
在锐角三角形中，，，
所以，即，所以.
8. 如图，在长方形中，，，以为直径在长方形内作半圆E，以为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为（ ）
A. 8B. C. 32D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】借助数量积公式可得EM⋅EN≤4EN，从而只需求出EN的最大值即可得解.
【详解】
因为EM⋅EN=EM⋅EN⋅csEM,EN≤EM⋅EN=4EN，
所以转化为求EN的最大值，
因为EN≤EF+FN=32+42+3=8 ，故，
当且仅当、、、四点共线，且按顺序排列时，等号成立，
故的最大值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
D. 棱台的侧面都是等腰梯形
【答案】BC
【解析】
【分析】依据棱柱定义判断选项A，依据正四面体的定义判断选项B，一个n棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和可以，判断C，依据棱台的定义判断选项D.
【详解】对于A，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，
而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误；
对于B，四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故六条棱长均相等的四面体是正四面体，故B正确；
对于C，一个n棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确；
对于D，棱台的侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，故D错误.
10. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限
C. 将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为
D. 若复数z是关于x的方程（其中a，）的一个根，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数的除法运算得到，据此逐项判断即可．
【详解】解：由复数z满足，得，
所以，故A正确；
复数的共轭复数是，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确；
复数对应的点为，绕原点按顺时针方向旋转，得到的点为，
所以所得向量对应的复数应为，故C错误；
由是关于x的方程的一个根，得另一个根为，
所以，解得，所以，故D正确．
11. 如图，四边形内接于半径为R的圆O，其中，，，，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 圆O的周长为
C. D. 四边形的面积为12
【答案】ABC
【解析】
【分析】连接，借助余弦定理及可得，即可得，从而可得A；再借助正弦定理可得B；根据平面向量的数量积定义及运算律求解判断C；借助面积公式计算可得D.
【详解】对于A，连接.在中，；
在中，，
，，解得.
，，故A正确；
对于B，由正弦定理，得，
圆O的周长为，故B正确；
对于C，由题意DO⋅DA=DA⋅DO⋅cs∠ODA=DA⋅12DA=12DA2=2 ，故C正确.
对于D，，
，
∴四边形的面积，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为_____．
【答案】
【解析】
【详解】.
13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则在原四边形中，的长为______.
【答案】9
【解析】
【分析】根据条件可得、的长度，根据斜二测画法的性质，可得原图中各个长度，结合勾股定理，即可得答案.
【详解】将直观图还原为原图，如图.
在直观图中，，则，
故在原图中，，，
所以，所以原四边形的边的长为9.
14. 在中，，D是边上一点，，，且，则边的长为______.
【答案】10
【解析】
【分析】根据同角三角函数的关系，可得的值，根据两角差的正弦公式，可得的值，根据正弦定理，可得CD，根据三角形的性质，可得BD，即可得答案.
【详解】，.
，，
，
.
在中，，，.
在中，，
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）若与垂直，求实数k的值；
（2）求的最小值及对应的x的值.
【答案】（1）
（2）当时，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求出结果即可.
（2）根据向量的模的计算和向量的数量积以及二次函数的性质计算即可.
【小问1详解】
由与垂直，得，即 .
因为，，所以，，，
所以 ，解得.
【小问2详解】
因为，，所以，，，
所以.
所以当时，取得最小值，为.
16. 已知复数，（，i为虚数单位）.
（1）若为实数，求实数m的值；
（2）若的实部大于1，求实数m的取值范围；
（3）若在复平面内所对应的点位于直线上，求.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据复数的加法法则，可得，由题意，虚部为0，即可得答案.
（2）根据复数的运算法则，可得的实部，根据题意，列出不等式，即可求得答案.
（3）根据复数的几何意义，结合题意，可得m值，代入所求，结合求模公式，即可得答案.
【小问1详解】
由复数，，
得，
∵复数z为实数，，解得.
【小问2详解】
，.
的实部大于1，，解得
即实数m的取值范围是.
【小问3详解】
在复平面内所对应的点位于直线上，，解得.
，.
17. 某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示的四边形.考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形中，将三角形的区域设立成花卉观赏区，三角形的区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，.
（1）如果烧烤区是一个占地面积为平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（，精确到米）？
（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】（1）米
（2）应设计观赏步道米
【解析】
【分析】（1）利用三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系可求出的值，再利用余弦定理可求得的长，即为所求；
（2）利用三角形的面积公式可知当是直角三角形时，烧烤区的占地面积最大，求出的长，设，，利用正弦定理、三角形的面积公式以及三角恒等变换可化简面积的表达式，根据面积最大求出的值，即可求得、的长，即为所求.
【小问1详解】
，解得.
因为为钝角，所以csC=−1−sin2C=−1−24252=−725.
由余弦定理得
=2002+1002−2×200×100×−725=6017≈247.4 （米）.
【小问2详解】
，当且仅当时等号成立，
所以当是直角三角形时，烧烤区的占地面积最大，此时BD=BC2+CD2=2002+1002=1005.
设，.
在中，由正弦定理得.
则S△ABD=12AD⋅AB⋅sinA=12×32×200153⋅sinα×200153⋅sin2π3−α
=25000333sinαcsα+sin2α=250003332sin2α+1−cs2α2
=250003332sin2α−12cs2α+12=250003312+sin2α−π6
≤2500033×12+1=125003，
因为，则，
故当且仅当，即时等号成立，此时，
所以应设计观赏步道米.
18. 如图，在中，E为边的中点，D为边上一点，且.线段与交于点P，直线与直线相交于点F.
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的余弦值；
（3）若，H为中线上的动点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，结合向量的线性运算法则，可得，根据三点共线的性质，即可得答案.
（2）根据线性运算法则，结合数量积公式、求模公式、夹角公式，代入计算，即可得答案.
（3）根据线性运算法则及数量积公式，结合基本不等式，即可得答案.
【小问1详解】
因为，所以，即.
因为，，所以.
又因为D，E，F三点共线，所以，解得.
【小问2详解】
由（1）得.
因为，所以.
所以AD⋅CE=14AB+34AC⋅12AB−AC=18AB2+18AB⋅AC−34AC2
.
因为AD=14AB+34AC=116AB2+38AB⋅AC+916AC2
，
CE=12AB−AC=14AB2−AB⋅AC+AC2=94−3×1×cs60°+1=72，
所以cs∠DPE=csAD,CE=AD⋅CEADCE=916334×72=2114.
【小问3详解】
因为E为边的中点，所以，
则HA+HB⋅HC=2HE⋅HC=2HE⋅HCcsπ=−2HE⋅HC.
由HC+HE=CE=8 ，HC→≥0 ，HE≥0 ，
得8=HC+HE≥2HC⋅HE，
即HC⋅HE≤16 ，当且仅当HC=HE=4 时，等号成立.
所以HA+HB⋅HC=−2HE⋅HC≥−2×16=−32 ，
即HA+HB⋅HC的最小值为.
19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.
（1）求角B的大小；
（2）若为锐角三角形，求周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件及正弦定理，结合两角和的正弦公式、诱导公式等，化简整理，即可得答案.
（2）根据正弦定理，可得的表达式，根据两角差的正弦公式、辅助角公式等，可得化简后的表达式，根据条件，可得角A的范围，根据三角函数的性质，即可得答案.
【小问1详解】
由及正弦定理得.
因为，所以.
所以，即.
所以，即.
因为，所以，
所以，因为，所以.
【小问2详解】
由正弦定理得，所以，，
所以.
又
，
所以.
因为为锐角三角形，所以，解得.
则，所以.
所以，则，
所以周长的取值范围为.