2026年内蒙古自治区乌兰察布市高三冲刺模拟数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年内蒙古自治区乌兰察布市高三冲刺模拟数学试卷（含答案解析），共12页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，是恒成立的，已知，若对任意，关于x的不等式等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )
A．B．C．D．
2．已知满足，，,则在上的投影为（ ）
A．B．C．D．2
3．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．12B．C．D．10
4．是恒成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．B．C．2D．
6．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（ ）
A．2B．2C．4D．6
8．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）
A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．
B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．
C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．
9．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
10．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．
11．若复数满足，则( )
A．B．C．D．
12．在三角形中，，，求（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数满足，其中是虚数单位，是的共轭复数，则________.
14．在中，已知，，是边的垂直平分线上的一点，则__________.
15．在的二项展开式中，所有项的系数的和为________
16．函数的定义域为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设为实数,已知函数,．
（1）当时,求函数的单调区间：
（2）设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;
（3）若函数（,）有两个相异的零点,求的取值范围．
18．（12分）已知三点在抛物线上.
（Ⅰ）当点的坐标为时，若直线过点，求此时直线与直线的斜率之积；
（Ⅱ）当，且时，求面积的最小值.
19．（12分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线.
（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？
（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率；
（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？
20．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线的参数方程：（为参数），直线的极坐标方程：
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的最大值.
21．（12分）已知函数，不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若，，，求证：.
22．（10分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.
（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？
（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望
附表及公式：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【详解】
抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A．
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
2．A
【解析】
根据向量投影的定义，即可求解.
【详解】
在上的投影为.
故选:A
本题考查向量的投影，属于基础题.
3．C
【解析】
取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径
【详解】
如图，取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，的外接圆直径为，球O的半径R满足，所以球O的表面积S=4πR2=，
故选：C.
此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.
4．A
【解析】
设 成立；反之，满足 ，但，故选A.
5．A
【解析】
由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，
且两直角边分别为和，所以底面面积为
高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．
6．B
【解析】
构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.
【详解】
构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得.
故选:B.
本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.
7．C
【解析】
根据列方程，由此求得的值，进而求得.
【详解】
由于，所以，即
，
解得.
所以
所以
.
故选：C
本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.
8．C
【解析】
利用图表中的数据进行分析即可求解.
【详解】
对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；
对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；
对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；
对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.
故选：C.
本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.
9．C
【解析】
根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.
【详解】
因为平面向量，满足，且，
所以，
所以，
所以 ，
所以，
所以与的夹角为.
故选：C
本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.
10．B
【解析】
由，，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解.
【详解】
因为点为中点，所以，
又因为，，
所以．
因为，，三点共线，
所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为1．
故选：B
本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
11．C
【解析】
化简得到，，再计算复数模得到答案.
【详解】
，故，
故，.
故选：.
本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.
12．A
【解析】
利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.
【详解】
，由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，，.
由正弦定理得.
故选：A.
本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得的值.
【详解】
设，由，得，所以，所以.
故答案为：
本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题.
14．
【解析】
作出图形，设点为线段的中点，可得出且，进而可计算出的值.
【详解】
设点为线段的中点，则，，
，
.
故答案为：.
本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.
15．1
【解析】
设，令，的值即为所有项的系数之和。
【详解】
设，令，
所有项的系数的和为。
本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法─赋值法。一般地，
对于 ，展开式各项系数之和为，注意与“二项式系数之和”区分。
16．
【解析】
由题意可得，，解不等式可求．
【详解】
解：由题意可得，，
解可得，，
故答案为．
本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）函数单调减区间为;单调增区间为．（2）（3）
【解析】
（1）据导数和函数单调性的关系即可求出;
（2）分离参数,可得对任意的及任意的恒成立,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出的范围;
（3）先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围
【详解】
解：（1）当时,因为,当时,;
当时,．所以函数单调减区间为;单调增区间为．
（2）由,得,由于,
所以对任意的及任意的恒成立,
由于,所以,所以对任意的恒成立,
设,,
则,所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以．
（3）由,得,其中．
①若时,则,所以函数在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不合题意;
②若时,令,得．
由第（2）小题,知：当时,,所以,所以,所以当时,函数的值域为．
所以,存在,使得,即, ①
且当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减．因为函数有两个零点,,
所以．②
设,,则,所以函数在单调递增,由于,所以当时,．所以,②式中的,
又由①式,得．
由第（1）小题可知,当时,函数在上单调递减,所以,
即．
当时,
（ⅰ）由于,所以得,又因为,且函数在上单调递减,函数的图象在上不间断,所以函数在上恰有一个零点;
（ⅱ）由于,令,
设,,
由于时,,,所以设,即．
由①式,得,当时,,且,同理可得函数在上也恰有一个零点．
综上,．
本题考查含参数的导数的单调性,利用导数求不等式恒成立问题,以及考查函数零点问题,考查学生的计算能力,是综合性较强的题.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）16.
【解析】
（Ⅰ）设出直线的方程并代入抛物线方程，利用韦达定理以及斜率公式，变形可得；
（Ⅱ）利用，，的斜率，求得的坐标，，再用基本不等式求得的最小值，从而可得三角形的面积的最小值．
【详解】
解：（Ⅰ）设直线的方程为.
联立方程组，得，
，故，.
所以
；
（Ⅱ）不妨设的三个顶点中的两个顶点在轴右侧（包括轴），
设，，，的斜率为，
又，则， ①
因为，所以②
由① ②得，，（且）
从而
当且仅当时取“”号，从而，
所以面积的最小值为.
本题考查了直线与抛物线的综合，属于中档题．
19．（1）6种；（2）；（3）.
【解析】
（1）从4条街中选择2条横街即可；
（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线，即，，，，分别对4条路线进行分析计算概率；
（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.
【详解】
（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条.
（2）小明途中恰好经过处，共有4条路线：
①当走时，全程不等红绿灯的概率；
②当走时，全程不等红绿灯的概率；
③当走时，全程不等红绿灯的概率；
④当走时，全程不等红绿灯的概率.
所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率
.
（3）设以下第条的路线等信号灯的次数为变量，则
①第一条：，则；
②第二条：，则；
③另外四条路线：；；
，则
综上，小明上学的最佳路线为；应尽量避开.
本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.
20．（1）；（2）10
【解析】
（1）消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求得曲线C的极坐标方程；
（2）将代入曲线C的极坐标方程，利用根与系数的关系，求得，进而得到=，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，曲线C的参数方程为，
消去参数，可得曲线C的普通方程为，即，
又由，
代入可得曲线C的极坐标方程为.
（2）将代入，
得，即，
所以=，
其中，当时，取最大值，最大值为10.
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.
21．（1），.（2）见解析
【解析】
（1）分三种情况讨论即可
（2）将，的值代入，然后利用均值定理即可.
【详解】
解：（1）不等式可化为.
即有或或.
解得，或或.
所以不等式的解集为，故，.
（2）由（1）知，，即，
由，得，，
当且仅当，即，时等号成立.故，即.
考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.
22．（1）见解析，没有（2）见解析，
【解析】
（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）先判断出的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）
所以，没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为，女生中喜欢古典文学的人数为，则.且
；
；
.
所以的分布列为
则.
本小题主要考查列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.
男生
女生
总计
喜欢阅读中国古典文学
不喜欢阅读中国古典文学
总计
男生
女生
总计
喜欢阅读中国古典文学
42
30
72
不喜欢阅读中国古典文学
30
18
48
总计
72
48
120