2025-2026学年兰州市高考数学全真模拟密押卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年兰州市高考数学全真模拟密押卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，设，，，则、、的大小关系为，的展开式中，项的系数为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．函数（），当时，的值域为，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，内接于圆，是圆的直径，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．设实数、满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．2B．24C．16D．14
6．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（ ）
A．B．C．D．
7．设，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了
9．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（ ）
A．B．C．D．
10．的展开式中，项的系数为（ ）
A．－23B．17C．20D．63
11．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为( )
A．B．3C．2D．
12．函数在上的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为_______．
14．如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则________.
15．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．
16．已知在等差数列中，，，前n项和为，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）和曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知点是射线与直线的公共点，点是与曲线的公共点，求的最大值．
18．（12分）如图，已知，分别是正方形边，的中点，与交于点，，都垂直于平面，且，，是线段上一动点.
（1）当平面，求的值；
（2）当是中点时，求四面体的体积.
19．（12分）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
20．（12分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=1．
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足：…，求{bn}的前n项和．
21．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最大值为，且，求的最小值.
22．（10分）设椭圆：的右焦点为，右顶点为，已知椭圆离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线斜率的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】
函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.
2．B
【解析】
首先由，可得的范围，结合函数的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围.
【详解】
因为，所以，若值域为，
所以只需，∴.
故选：B
本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
3．A
【解析】
根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.
【详解】
依题意，得，故，
故，，，
则.
故选：A.
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.
4．B
【解析】
根据已知证明平面，只要设，则，从而可得体积，利用基本不等式可得最大值．
【详解】
因为，所以四边形为平行四边形.又因为平面，平面，
所以平面，所以平面.在直角三角形中，，
设，则，
所以，所
以.又因为，当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：B．
本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为，用建立体积与边长的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．
5．D
【解析】
做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.
【详解】
做出满足的可行域，如下图阴影部分，
根据图象，当目标函数过点时，取得最小值，
由，解得，即，
所以的最小值为.
故选：D.
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.
6．B
【解析】
先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.
【详解】
因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长，
则，由几何概型的概率计算公式知，
所以.
故选：B.
本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.
7．D
【解析】
因为，，
所以且在上单调递减，且
所以，所以，
又因为，，所以，
所以.
故选：D.
本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“”比较大小.
8．C
【解析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
9．B
【解析】
由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.
【详解】
由题意可知，
框图的作用是求分段函数的值域，
当；
当
综上：.
故选：B
本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
10．B
【解析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.
【详解】
的展开式的通项公式为.则
①出，则出，该项为：；
②出，则出，该项为：；
③出，则出，该项为：；
综上所述：合并后的项的系数为17.
故选：B
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.
11．D
【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可．
【详解】
结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故
对三角形运用余弦定理，得到，
而结合，可得，，代入上式子中，得到
，结合离心率满足，即可得出，故选D．
本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．
12．D
【解析】
讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.
【详解】
当时，，则，
所以函数在上单调递增，
令，则，
根据三角函数的性质，
当时，，故切线的斜率变小，
当时，，故切线的斜率变大，可排除A、B；
当时，，则，
所以函数在上单调递增，
令 ，，
当时，，故切线的斜率变大，
当时，，故切线的斜率变小，可排除C，
故选：D
本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2
【解析】
利用AB中有且只有一个元素，可得，可求实数a的值.
【详解】
由题意AB中有且只有一个元素，所以，即.
故答案为：.
本题主要考查集合的交集运算，集合交集的运算本质是存同去异，侧重考查数学运算的核心素养.
14．
【解析】
根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.
【详解】
根据图像：，，故，
故.
故答案为：.
本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
15．
【解析】
代入求解得,再求准线方程即可.
【详解】
解：双曲线经过点,
,
解得,即．
又,故该双曲线的准线方程为： ．
故答案为：．
本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.
16．39
【解析】
设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.
【详解】
设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.
故答案为：39
本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），；（2）
【解析】
（1）先将直线l和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；
（2）写出点M和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出和，利用三角函数的性质求出的最大值.
【详解】
解：（1），，
即极坐标方程为，
，极坐标方程．
（2）由题可知，

，
当时，.
本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.
18．（1）.（2）
【解析】
（1）利用线面垂直的性质得出，进而得出，利用相似三角形的性质，得出，从而得出的值；
（2）利用线面垂直的判定定理得出平面，进而得出四面体的体积，计算出，，即可得出四面体的体积.
【详解】
（1）因为平面，平面，所以
又因为，都垂直于平面，所以
又，分别是正方形边，的中点，且，
所以
.
（2）因为，分别是正方形边，的中点，所以
又因为，都垂直于平面，平面，所以
因为平面，所以平面
所以，四面体的体积
，
所以.
本题主要考查了线面垂直的性质定理的应用，以及求棱锥的体积，属于中档题.
19．另一个特征值为，对应的一个特征向量
【解析】
根据特征多项式的一个零点为3，可得，再回代到方程即可解出另一个特征值为，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.
【详解】
矩阵的特征多项式为：
，
是方程的一个根，
，解得，即
方程即，，
可得另一个特征值为：，
设对应的一个特征向量为：
则由，得得，
令，则，
所以矩阵另一个特征值为，
对应的一个特征向量
本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.
20．（I）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，则依题设．
由,可得．
由，得，可得．
所以．
可得．
（Ⅱ）设，则.
即，
可得，且．
所以，可知．
所以，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．
所以前项和．
考点：等差数列通项公式、用数列前项和求数列通项公式．
21．（1）（2）
【解析】
（1）化简得到，分类解不等式得到答案.
（2）的最大值，，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
（1）
因为，故或或
解得或，故不等式的解集为.
（2）画出函数图像，根据图像可知的最大值.
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是3.
本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
22．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由题意可得，，，解得即可求出椭圆的C的方程；
（Ⅱ）由已知设直线l的方程为y=k (x-2) ，(k≠0)， 联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF,解得.由方程组消去y，解得，由,得到,转化为关于k的不等式，求得k的范围.
【详解】
（Ⅰ）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3，
所以，
因为椭圆离心率为，所以，
又，
解得，，，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）设直线的斜率为，则，设，
由得，
解得，或，由题意得，
从而，
由（Ⅰ）知，，设，
所以，，
因为，所以，
所以，解得，
所以直线的方程为，
设，由消去，解得，
在中，，
即，
所以，即，
解得，或.
所以直线的斜率的取值范围为.
本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程，属于难题.