河南省洛阳市2025-2026学年高考仿真模拟数学试卷（含答案解析）

这是一份河南省洛阳市2025-2026学年高考仿真模拟数学试卷（含答案解析），共13页。试卷主要包含了函数的定义域为等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了年至年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）
A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长
B．年以来，国家财政性教育经费的支出占比例持续年保持在以上
C．从年至年，中国的总值最少增加万亿
D．从年到年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是年
2．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．-2B．2C．4D．7
4．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )
A．60种B．70种C．75种D．150种
5．集合的真子集的个数为( )
A．7B．8C．31D．32
6．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．2C．D．1
7．函数的定义域为（ ）
A．[，3）∪（3，+∞） B．（-∞，3）∪（3，+∞）
C．[，+∞） D．（3，+∞）
8．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A．B．
C．D．
9．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分不必要条件
11．为计算， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）
A．B．C．D．
12．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x，y均为正数，且，则的最小值为________.
14．在平面直角坐标系中，双曲线的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______.
15．已知向量，满足，，，则向量在的夹角为______.
16．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设点，动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，且直线与轴交于点，设，，求证：为定值.
18．（12分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标.
19．（12分）若函数为奇函数，且时有极小值.
（1）求实数的值与实数的取值范围；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．
21．（12分）已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(,0),(,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2,动点C的轨迹为曲线G.
（1）求曲线G的方程;
（2）设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上,是坐标原点,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
22．（10分）已知函数，它的导函数为．
（1）当时，求的零点；
（2）当时，证明：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
观察图表，判断四个选项是否正确．
【详解】
由表易知、、项均正确，年中国为万亿元，年中国为万亿元，则从年至年，中国的总值大约增加万亿，故C项错误．
本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．
2．A
【解析】
计算，得到答案.
【详解】
根据题意，故，表示的复数在第一象限.
故选：.
本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.
3．B
【解析】
在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差.
【详解】
在等差数列的前项和为，则
则
故选：B
本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.
4．C
【解析】
根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有种取法，
从5名女干部中选出1名女干部，有种取法，
则有种不同的选法；
故选：C．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题．
5．A
【解析】
计算，再计算真子集个数得到答案.
【详解】
，故真子集个数为：.
故选：.
本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.
6．C
【解析】
根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.
【详解】
双曲线的离心率，
则，，解得，所以焦点坐标为，
所以，
则双曲线渐近线方程为，即，
不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得，
故选：C.
本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.
7．A
【解析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.
【详解】
因为函数，
解得且；
函数的定义域为, 故选A．
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
8．C
【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．
【详解】
当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，
当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．
故选：C．
本题主要考查数学归纳法，属于中档题./
9．C
【解析】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.
【详解】
如图所示：作垂直于准线交准线于，则，
在中，，故，即.
故选：.
本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.
10．A
【解析】
试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.
考点：充分条件、必要条件.
11．A
【解析】
根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容．
【详解】
由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3
…
观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜1．
故选：A．
本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．
12．C
【解析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】
A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
B. ，值域为，奇函数，排除；
C. ，值域为，奇函数，满足；
D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
故选：.
本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．4
【解析】
由基本不等式可得,则,即可解得.
【详解】
方法一：，当且仅当时取等.
方法二：因为，所以，
所以，当且仅当时取等.
故答案为:.
本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.
14．
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积．
【详解】
解：双曲线：双曲线中，，，
则双曲线的一条准线方程为，
双曲线的渐近线方程为：，
可得准线方程与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标，，，，
则三角形的面积为．
故答案为：
本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．
15．
【解析】
把平方利用数量积的运算化简即得解.
【详解】
因为，，，
所以，∴，
∴，因为
所以.
故答案为：
本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．
【解析】
由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率，乘以可得.
【详解】
解：，
所以应从分以上的试卷中抽取份.
故答案为：.
本题考查正态分布曲线，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）见解析．
【解析】
（1）已知点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由此可得曲线的方程；
（2）设直线方程为，，则，设，由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得，，由，，用横坐标表示出，然后计算，并代入，可得结论．
【详解】
（1）设动圆圆心，由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，解得．
∴曲线的方程为；
（2）证明：设直线方程为，，则，设，
由得，①，
则，，②，
由，，得
，，
整理得，，
∴，代入②得：
．
本题考查求曲线方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题中的定值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，直线方程代入抛物线（或圆锥曲线）方程得一元二次方程，应用韦达定理得，，代入题中其他条件所求式子中化简变形．
18．
【解析】
将直线的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合的取值范围进行取舍即可.
【详解】
因为直线的极坐标方程为，
所以直线的普通方程为，
又因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的直角坐标方程为，
联立方程,解得或，
因为，所以舍去，
故点的直角坐标为.
本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
19．（1）， ；（2）
【解析】
（1）由奇函数可知 在定义域上恒成立，由此建立方程，即可求出实数的值；对函数进行求导，，通过导数求出，若，则恒成立不符合题意，当，可证明，此时时有极小值.
（2）可知，进而得到，令，通过导数可知在上为单调减函数，由可得，从而可求实数的取值范围.
【详解】
（1）由函数为奇函数，得在定义域上恒成立，
所以，化简可得，所以.
则，令，则.
故当时，；当时，，
故在上递减，在上递增，
若，则恒成立，单调递增，无极值点；
所以，解得，取，则
又函数的图象在区间上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间上，
存在为函数的零点，为极小值，所以，的取值范围是.
（2）由满足，代入，消去可得
.构造函数，
所以，当时，，即恒成立，
故在上为单调减函数，其中.则可转化为，
故，由，设，可得当时，
则在上递增，故.
综上，的取值范围是.
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了奇函数的定义，考查了转化的思想.对于 恒成立的问题，常转化为求 的最小值，使；对于 恒成立的问题，常转化为求 的最大值，使.
20．（1）（2）．
【解析】
（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解即可.
（2）把面积之比转化为纵坐标之间的关系，联立方程结合韦达定理可求.
【详解】
解：（1）设焦距为2c，由题意知：；解得，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D(，)，E(，)，＜0＜
①，
，
，②；③；
由①②得：，，
代入③得：，又，故，
因此，直线l的方程为．
本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题，椭圆方程一般利用待定系数法，建立方程组进行求解，面积问题的合理转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
21．（1）.（2）四边形OMDN的面积是定值,其定值为.
【解析】
（1）根据三角形内切圆的性质证得，由此判断出点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线的方程.
（2）将直线的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形的面积，两种情况下四边形的面积都为，由此证得四边形的面积为定值.
【详解】
（1）因为圆E为△ABC的内切圆,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|
所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆（点不在轴上）,
所以c,a=2,b,
所以曲线G的方程为,
（2）因为，故四边形为平行四边形.
当直线l的斜率不存在时，则四边形为为菱形，
故直线MN的方程为x=﹣1或x=1,
此时可求得四边形OMDN的面积为.
当直线l的斜率存在时,设直线l方程是y=kx+m,
代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,
∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|
点O到直线MN的距离d,
由,得xD,yD，
∵点D在曲线C上,所以将D点坐标代入椭圆方程得1+2k2=2m2,
由题意四边形OMDN为平行四边形,
∴OMDN的面积为S,
由1+2k2=2m2得S,
故四边形OMDN的面积是定值,其定值为.
本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.
22．（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
当时，求函数的导数，判断导函数的单调性，计算即为导函数的零点；
当时，分类讨论x的范围，可令新函数，计算新函数的最值可证明．
【详解】
(1)的定义域为
当时，，，
易知为上的增函数，
又，
所以是的唯一零点；
(2)证明：当时，，
①若，则，
所以成立，
②若，设，则，
令，则，
因为，所以，
从而在上单调递增，
所以，
即，在上单调递增；
所以，即，
故.
本题主要考查导数法研究函数的单调性，单调性，零点的求法．注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用．