云南省昭通市2026年高三第六次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份云南省昭通市2026年高三第六次模拟考试数学试卷（含答案解析），共4页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，党的十九大报告明确提出，已知复数z满足，《九章算术》有如下问题等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）
（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，）
A．B．C．D．
3．已知是虚数单位，若，则（ ）
A．B．2C．D．10
4．如果实数满足条件，那么的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
8．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ）
A．斤B． 斤C．斤D．斤
10．记等差数列的公差为，前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
11．直三棱柱中，，，则直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知在△ABC中，（2sin32°，2cs32°），（cs77°，﹣cs13°），则⋅_____，△ABC的面积为_____．
14．平面向量，，（R），且与的夹角等于与的夹角，则 .
15．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为______.
16．已知二面角α﹣l﹣β为60°，在其内部取点A，在半平面α，β内分别取点B，C．若点A到棱l的距离为1，则△ABC的周长的最小值为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.
18．（12分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且．
（1）求证：平面；
（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．
19．（12分）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，求证：；
（Ⅲ）若对于恒成立，求的最大值．
20．（12分）已知函数.
（1）若，解关于的不等式；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点．
（I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；
（II）设，若，，成等比数列，求的值．
22．（10分）已知函数.
（1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
直接相乘，得，由共轭复数的性质即可得结果
【详解】
∵
∴其共轭复数为.
故选：D
熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.
2．C
【解析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出．
【详解】
由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为
据题意得：， 解得2n＝12，
∴n21．
故选：C．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．C
【解析】
根据复数模的性质计算即可.
【详解】
因为，
所以，
，
故选：C
本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.
4．B
【解析】
解：当直线过点时，最大，故选B
5．B
【解析】
利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.
【详解】
由题意易得平面,
所以,
当且仅当时等号成立,
又阳马体积的最大值为,
所以,
所以堑堵的外接球的半径,
所以外接球的体积,
故选:B
本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.
6．D
【解析】
根据四个列联表中的等高条形图可知，
图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．
7．D
【解析】
根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.
【详解】
因为复数z满足，
所以，
所以z的虚部为.
故选：D.
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．C
【解析】
根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】
∵a>0，b>0，a+b=1，
∴，
当且仅当时取“＝”号．
答案：C
本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.
9．B
【解析】
依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果．
【详解】
设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.
故选B
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．C
【解析】
由，和，可求得，从而求得和，再验证选项.
【详解】
因为，，
所以解得，
所以，
所以，，，
故选：C.
本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.
11．A
【解析】
设，延长至，使得，连，可证，得到（或补角）为所求的角，分别求出，解即可.
【详解】
设，延长至，使得，
连，在直三棱柱中，，
，四边形为平行四边形，
，（或补角）为直线与所成的角，
在中，，
在中，，
在中，
，
在中，，
在中，.
故选：A.
本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.
12．C
【解析】
在长方体中， 得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论.
【详解】
在长方体中，平面即为平面，
过做于，平面，
平面，
平面，为与平面所成角，
在，
，
直线与平面所成角的余弦值为.
故选:C.
本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；②结合①求出，根据面积公式即可得解.
【详解】
①2（sin32°•cs77°﹣cs32°•sin77°），
②，，
∴，
∴．
故答案为：．
此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积公式求解三角形面积，综合性强.
14．2
【解析】
试题分析：，与的夹角等于与的夹角，所以
考点：向量的坐标运算与向量夹角
15．
【解析】
分两种情况讨论：（1）斜边在BC上，设，则，（2）若在若一条直角边在上，设，则，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值.
【详解】
（1）斜边在上，设，则，
则，，
从而.
当时，此时，符合.
（2）若一条直角边在上，设，则，
则，，
由知.
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
.
当，即时，最大.
故答案为：.
此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.
16．
【解析】
作A关于平面α和β的对称点M，N，交α和β与D，E，连接MN，AM，AN，DE，根据对称性三角形ADC的周长为AB+AC+BC＝MB+BC+CN，当四点共线时长度最短，结合对称性和余弦定理求解.
【详解】
作A关于平面α和β的对称点M，N，交α和β与D，E，
连接MN，AM，AN，DE，
根据对称性三角形ABC的周长为AB+AC+BC＝MB+BC+CN，
当M，B，C，N共线时，周长最小为MN设平面ADE交l于，O，连接OD，OE，
显然OD⊥l，OE⊥l，
∠DOE＝60°，∠MOA+∠AON＝240°,OA＝1，
∠MON＝120°，且OM＝ON＝OA＝1，根据余弦定理，
故MN2＝1+1﹣2×1×1×cs120°＝3，
故MN．
故答案为：．
此题考查求空间三角形边长的最值，关键在于根据几何性质找出对称关系，结合解三角形知识求解.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）按进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为在时恒成立，按和分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的的范围，再取交集，得到答案.
【详解】
解：（1）当时，等价于
或或，
解得或或，
所以不等式的解集为：.
（2）依题意即在时恒成立，
当时，，即，
所以对恒成立
∴，得；
当时，，
即，
所以对任意恒成立，
∴，得∴，
综上，.
本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.
18．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）根据菱形的特征和题中条件得到平面，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；
2建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形是菱形，
，

平面
平面，
又是的中点，
，
又
平面
（2）
∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角．
平面，
∴直线与平面所成的角为，即．
因为，则在等腰直角三角形中，
所以．
在中，由得，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系．
则
所以
设平面的一个法向量为，
则，可得，
取平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值的大小为．
（注：问题（2）可以转化为求二面角的正弦值，求出后，在中，过点作的垂线，垂足为，连接，则就是所求二面角平面角的补角，先求出，再求出，最后在中求出．）
本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题．
19．（Ⅰ）函数的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）利用二次求导可得，所以在上为增函数，进而可得函数的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）利用导数可得在区间上存在唯一零点，所以函数在递减，在，递增，则，进而可证；（Ⅲ）条件等价于对于恒成立，构造函数，利用导数可得的单调性，即可得到的最小值为，再次构造函数（a），，利用导数得其单调区间，进而求得最大值．
【详解】
（Ⅰ）当时，，
则，所以，
又因为，所以在上为增函数，
因为，所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
即函数的单调增区间为，单调减区间为；
（Ⅱ），
则令，则（1），，
所以在区间上存在唯一零点，
设零点为，则，且，
当时，，当，，，
所以函数在递减，在，递增，
，
由，得，所以，
由于，，从而；
（Ⅲ）因为对于恒成立，即对于恒成立，
不妨令，
因为，，
所以的解为，
则当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以的最小值为，
则，
不妨令（a），，
则（a），解得，
所以当时，（a），（a）为增函数，
当时，（a），（a）为减函数，
所以（a）的最大值为，
则的最大值为．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．
20．（1）（2）
【解析】
（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
由此可知，的解集为
（2）当时，
的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.
当时，，且，不恒成立，不符合题意.
当时，，
若，则，故不恒成立，不符合题意；
若，则，故不恒成立，不符合题意.
综上，.
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
21．（I），；（II）.
【解析】
（I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II）联立直线的参数方程和C的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.
【详解】
（I）曲线：，两边同时乘以
可得，化简得）；
直线的参数方程为（为参数），可得
x-y=-1，得x-y+1=0；
（II）将（为参数）代入并整理得
韦达定理：
由题意得 即
可得
即
解得
本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.
22．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求出，判断函数的单调性，求出函数的最大值，即求的范围；
（2）由（1）可知， .对分和两种情况讨论，构造函数，利用放缩法和基本不等式证明结论．
【详解】
（1）由，得.
令.
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
.
对任意恒成立，.
（2）证明：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
.
若，则，
令
在上单调递增，，
.
又，在上单调递减，
.
若，则显然成立.
综上，.
又
以上两式左右两端分别相加，得
，即，
所以.
本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题.