鞍山市2026年高三第二次调研数学试卷（含答案解析）

这是一份鞍山市2026年高三第二次调研数学试卷（含答案解析），共10页。试卷主要包含了函数在上的最大值和最小值分别为，己知，，，则，函数的值域为等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题，，则是（ ）
A．，B．，.
C．，D．，.
2．已知，，，，．若实数，满足不等式组，则目标函数（ ）
A．有最大值，无最小值B．有最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值
3．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．函数在上的最大值和最小值分别为（ ）
A．，-2B．，-9C．-2，-9D．2，-2
6．己知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
9．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
10．已知实数、满足不等式组，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知数列满足,(),则数列的通项公式( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.
14．已知，，是平面向量，是单位向量.若，，且，则的取值范围是________.
15．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________ ，此时a=____________.
16．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（为实常数）.
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
设的平分线与边交于点，已知，，求的值.
19．（12分）设前项积为的数列，（为常数），且是等差数列.
（Ｉ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）设是数列的前项和，且，求的最小值.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）.
（1）求抛物线C的极坐标方程；
（2）若抛物线C与直线l交于A，B两点，求的值.
21．（12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
22．（10分）已知直线与抛物线交于两点.
（1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率；
（2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.
【详解】
根据全称命题的否定为特称命题，可得，
本题正确选项：
本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.
2．B
【解析】
判断直线与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.
【详解】
由，，所以可得.
，
所以由，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：
由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.
故选：B
本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.
3．D
【解析】
首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小
【详解】
因为偶函数在减，所以在上增，
，，，∴.
故选：D
本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.
4．C
【解析】
求出的元素，再确定其真子集个数．
【详解】
由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个．
故选：C.
本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集．
5．B
【解析】
由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.
【详解】
依题意，，
作出函数的图象如下所示；
由函数图像可知，当时，有最大值，
当时，有最小值.
故选：B.
本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.
6．B
【解析】
先将三个数通过指数，对数运算变形，再判断.
【详解】
因为，，
所以，
故选：B.
本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.
7．A
【解析】
先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.
【详解】
由题意知，抛物线焦点，准线与x轴交点，双曲线半焦距，设点 是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上，
所以抛物线的准线，从而轴，所以，

即
故双曲线的离心率为
故选A
本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.
8．D
【解析】
令，可得.
在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.
当时，.由得.
设过原点的直线与函数的图象切于点，
则有，解得.
所以当直线与函数的图象切时.
又当直线经过点时，有，解得.
结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.
即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.
9．A
【解析】
由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】
，，，
因此，函数的值域为.
故选：A.
本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.
10．A
【解析】
画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．
【详解】
画出不等式组所表示平面区域，如图所示，
由目标函数，化为直线，当直线过点A时，
此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，
又由，解得，
所以目标函数的最大值为，故选A．
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
11．A
【解析】
设椭圆的半长轴长为，双曲线的半长轴长为，根据椭圆和双曲线的定义得： ，解得，然后在中，由余弦定理得：，化简求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的长半轴长为 ，
由椭圆和双曲线的定义得： ，
解得，设，
在中，由余弦定理得： ，
化简得，
即.
故选：A
本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．A
【解析】
利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．
【详解】
数列满足：，，
可得
以上各式相加可得：
，
故选：．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2.
【解析】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.
【详解】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，
，又，
得即；
又平面，为与平面所成角，
令，
当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.
故答案为：2
本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.
14．
【解析】
先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解．
【详解】
由是单位向量．若，，
设，
则，，
又，
则，
则，
则，
又，
所以，（当或时取等）
即的取值范围是，，
故答案为：，．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
15．3
【解析】
根据题意，分析可得，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，正数a、b满足，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为3，此时.
故答案为：3；.
本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.
16．
【解析】
试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．
考点：几何体的体积的计算．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析（2）
【解析】
（1）分类讨论的值，利用导数证明单调性即可；
（2）利用导数分别得出，，时，的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1），.
当即时，，，此时，在上单调递增；
当即时，时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增；
当即时，，，此时，在上单调递减；
（2）当时，因为在上单调递增，所以的最小值为，所以
当时，在上单调递减，在上单调递增
所以的最小值为.
因为，所以，.
所以，所以.
当时，在上单调递减
所以的最小值为
因为，所以，所以，综上，.
本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题，属于中档题.
18．；.
【解析】
利用正弦定理化简求值即可；
利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出的值.
【详解】
解：，由正弦定理得：，
，
，
，
，
又，为三角形内角，故，，
则，故，；
（2）平分，设，则,,
，，则，
，又，
则
在中，由正弦定理：，.
本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.
19．（Ⅰ），；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）当时，由，得到，两边同除以，得到.再根据是等差数列.求解.
（Ⅱ），根据前n项和的定义得到，令，研究其增减性即可.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
所以，
即，
所以.
因为是等差数列.，
所以， ，
令，，，
所以，
即；
（Ⅱ），
所以，
，
令，
所以 ，
，
即，
所以数列是递增数列，
所以，
即.
本题主要考查等差数列的定义，前n项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
20．（1）（2）
【解析】
(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，,即可求得结果.
(2) 由的几何意义得,. 将代入抛物线C的方程,利用韦达定理，，即可求得结果.
【详解】
（1）因为，，
代入得，
所以抛物线C的极坐标方程为.
（2）将代入抛物线C的方程得，
所以，，
所以，
由的几何意义得，.
本题考查直角坐标和极坐标的转化,考查极坐标方程的综合应用,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算的能力,难度一般.
21．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；
（Ⅲ）求出满足的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．
【详解】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率约为
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件，
因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，
所以
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．
22．（1）（2）
【解析】
（1）设，根据直线的斜率公式即可求解；
（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，，结合直线的斜率公式得到，换元后讨论的符号，求最值可求解.
【详解】
（1）设，
因为
，
即直线的斜率为1.
（2）显然直线的斜率存在，
设直线的方程为.
联立方程组，
可得
则
，
令，则
则
当时，；
当且仅当，即时，解得时，取“=”号，
当时，；
当时，
综上所述，当时，取得最大值，
此时直线的方程是.
本题主要考查了直线的斜率公式，直线与抛物线的位置关系，换元法，均值不等式，考查了运算能力，属于难题.