北京市中关村中学2025-2026学年高一第二学期期中调研数学试卷

这是一份北京市中关村中学2025-2026学年高一第二学期期中调研数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.若一扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形所在圆的半径为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.下列说法正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
4.某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（）
A. 60B. 90C. 120D. 150
5.要得到函数的图象，只需将函数y＝3sin3x的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
6.已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知，是关于的一元二次方程的两根，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数的部分图象如图所示，则该函数图象的一条对称轴是（ ）
A. B. C. D.
10.在中，是的重心，点满足，则的面积与的面积之比是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2
C. 当时，若小球有且只有三次到达最高点，则
D. 当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则
12.对于非零向量，，定义运算“*”：，其中为，的夹角．有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.已知，则＝ .
14.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则＝ .
15.已知向量，若共线，且，则向量的坐标可以是 （写出一个即可）
16.为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件与事件相互独立的是 .
17.以原点O及点为顶点作一个等边，则向量的坐标为 .
18.若常数m使方程在区间上恰有三个解，且，则实数的值为 .
19.函数，则不等式的解集为 .
20.已知函数，给出下列四个结论：
①的最小正周期是；
②的一条对称轴方程为；
③存在实数，使得对任意，都存在且，满足；
④若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则.
其中所有正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
已知角的终边经过点，且为第二象限角.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
22.(本小题10分)
已知函数.
(1)求出函数的周期和图象的对称中心；
(2)若，求的取值范围；
(3)求函数的单调递增区间.
23.(本小题10分)
已知函数.用五点法画在区间上的图象时，取点列表如下
(1)求的解析式：
(2)若在区间上的最大值为，求m的最小值；
(3)已知，若，使得，求的取值范围.
24.(本小题10分)
在研究行星围绕恒星转动时（假设行星做匀速圆周运动），可以采用数学方法研究其运动状态.设恒星位置为O，某一时刻（设为初始时刻，即）行星A所在位置为.以O为原点，为x轴正方向，为单位长度建立平面直角坐标系，如图所示.将行星A公转半周所用的时间记作1个时间单位.将t时刻该行星的位置坐标记作.
(1)写出的表达式；
(2)已知另有一行星B也围绕该恒星匀速转动，且公转半径与行星A不同，将其位置坐标记作.
（i）若行星B的初始时刻也在x轴正半轴上，已知两行星分别与恒星连成的线段在相等时间内扫过的面积相同，且两行星距离最大值为3.求行星B的公转半径，以及使得两行星距离最远时的时刻t的取值集合；
（ii）若行星B的公转半径为2，且两行星的距离恒为.求的表达式，并证明以行星A作为参照物时，行星B做匀速圆周运动.（参考公式：）
25.(本小题12分)
如图所示，三行三列的数表A中，第i行第j列的数记作.若存在一组不全为零的实数使得均有，则称数表 A是“L关联”的；若存在一组不全为零的实数使得均有，则称数表 A是“R关联”的.
(1)若对均有，请写出这个数表；判断其是否是“ R关联”的，并说明理由；
(2)若，求证该数表一定是“ L关联”的；
(3)求证：数表A是“L关联”的，当且仅当其是“R关联”的.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】C
13.【答案】/
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】②③
17.【答案】或
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】①②④
21.【答案】解：（1）因为角的终边经过点，
所以，，
为第二象限角，，所以.
（2）角的终边经过点，，
.

22.【答案】解：（1）周期，由题可得：，因此周期，
正弦函数的对称中心满足，令，
解得，因此图象的对称中心为：
（2）时的取值范围由，可得，
当时，，
因此：.
（3），
正弦函数的单调递增区间满足，
代入得：，
解得：，
因此的单调递增区间为：

23.【答案】解：（1）由表格数据可知，的最大值为，最小值为，所以，得，
又，所以，所以
因为，即，
所以，得，
因为，所以，所以.
（2）当时，，
因为在区间上的最大值为，所以，
解得，即的最小值为.
（3），
则，成立，
等价于使得，
因为，所以，
所以，得，
所以，使得，即.
记，由对勾函数性质可知，在单调递增，
所以，所以
所以，即的取值范围为.

24.【答案】解：（1）由题意，时刻该行星的位置坐标为，公转周期为2个时间单位，
所以角速度，所以t时刻该行星的位置坐标为.
（2）（i）设行星B的公转半径为，角速度为，
由在相等时间内扫过的面积相同可知，，所以，
行星B的初始时刻也在x轴正半轴上，所以，
所以两行星距离
，
显然当时，最大，此时的最大值为，
由题意，所以，，
此时，即，
即时刻t的取值集合为；
（ii）设行星B的角速度为，则，
由两行星的距离恒为可知
，
所以恒成立，所以为常数，故，所以，
又，所以或，
所以或；
以行星A作为参照物时，行星B的相对位置为，
或，
所以，所以以行星A作为参照物时，行星B做半径为的匀速圆周运动.

25.【答案】解：（1）该数表是“R关联”的.
根据对均有，得
；
.
假设存在一组不全为零的实数使得均有，
则，
∴取可使方程组成立，即存在一组不全为零的实数使得均有，
∴该数表是“R关联”的.
（2）若===0，则任意均使得均有，
取，可得对均有.
因此，该数表一定是“L关联”的.
（3）若数表A是“L关联”的，则一定存在一组不全为零的实数使得均有，假设，
，
，得④，
，得⑤，
，得（*）
所以数表A是“L关联”的（*）成立；
若数表A是“R关联”的，则一定存在一组不全为零的实数使得均有，假设
，得⑨，
，得⑩，
，得（*）
所以数表A是“R关联”的（*）成立.
综上所述，“数表A是“L关联”的”与“数表A是“R关联”的”的充要条件相同，所以数表A是“L关联”的，当且仅当其是“R关联”的.