湖北省武汉市2026届高三下学期四月调研考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份湖北省武汉市2026届高三下学期四月调研考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若 为实数,且 ,则
A. 7 B. 5 C. -5 D. -7
【答案】A
【解析】.
2. 若集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
3.在 中,若 ,则
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】 .
4.在平面直角坐标系中, 为坐标原点,已知 是两定点, 于 ,且 ,则
A. -1B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
①， 在 上， ②
由①②解得 .
5.某科技馆 “人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为 0.8 m，下底面半径为 ,圆台母线长为 ,模型外侧面需要喷漆,则喷漆面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
6.在 的展开式中,含 项的系数为
A. 240 B. -240 C. 80 D. -80
【答案】D
【解析】 展开式第 项
即 系数-80.
7.在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类, 该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为 0.1 , 经过分选机筛选分类之后大果所占比例为 0.58 , 则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为
A. 0.55 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.7
【答案】B
【解析】记“大果”为 记为大果”为 ,
.
8.若数列 中, ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】方法一: 令 ,
时, 单调递减, ,
,即 , B 错.
错.
对于
令
时 矛盾, 错.
方法二: 令 , . 又 , 错误.
由 ,得 , B 错误.
错误.
由 ,得 ,
.
方法三:
在 上单调递增
,同理可得 恒成立
,
数列 单调递减, 错.
,数列 单调递减, 在 上单调递减
, B 错.
两边取倒数得 , C 错. , D 正确.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某工厂生产的零件质量指标 ,从生产的众多零件中随机抽取 个零件其中次品数 ,则
A. 当
B.
C. (其中 )
D. 当 时，
【答案】ABD
【解析】 与 关于 对称,且 ,
时,
对.
时, 错.
对.
10.已知函数 ,则
A. 是 的极小值点 B. 当 时,
C. 当 时, D. 当 时,
【答案】AD
【解析】方法一: 在 单调递减, 单调递增, 是 极小值点, 对.
对于 时, 且 在 单调递增,
时,
在 单调递减,
不恒成立, 错.
时,
不恒成立, C 错, 选 AD.
方法二: 在 附近, , A 正确;
存在 错误;
取 ,则 错误;
,
, D 正确; 故选 AD
11.已知曲线 ,则
A. 曲线 上任一点到原点的距离的最小值为
B. 曲线 恰有八条对称轴
C. 过点 的任意一条直线与曲线 的公共点个数均为偶数
D. 曲线 所围成的封闭图形的面积 满足
【答案】ABD
【解析】方法一: 时, 时, 曲线 上的点到原点的距离的最小值为 对 曲线 的对称轴有: , 轴共 8 条, B 对.
对于 ,如图,过 的直线与曲线共 5 个交点, 错.
如图,圆的半径为 ,则 ,正方形 的面积为
综上 ,选 ABD.
方法二: 曲线 或 作出曲线 大致草图如下:
对于 ,当 时,各双曲线顶点到原点的距离均为 ,当 时, A 正确.
对于 ,除了图中 及 轴, 轴还有四条红色虚线所在直线共 8 条对称轴, B 对 (或图中正八边形 MNRSTUVW 的八条对角线均为对称轴)
对于 ,过图中 与双曲线 上支线切的直线与图像共有 5 个交点, 错.
对于 ,设 为曲线 上任一点,且 曲线 所围成的封闭图形上的点均在圆 外或圆上， ， ，且
,综上: ,选: ABD.
方法三: 曲线 为 或
对 ,若 ,则 . 若 ,则 . 当 或 时可取等号, 正确.
对 ,令 ,则 .
所以 或 . 关于直线 对称时, ,
若 ,则 .
又曲线 的渐近线只有 ,
对称轴只能为这四条直线及其角平分线, 故恰有八条对称轴, B 正确.
对 ,取过 的直线 .
与 联立: .
与 联立: .
与 联立: .
与 联立: ,无实根.
故该直线与曲线 有 5 个公共点, 错误.
对 ,封闭图形满足 .
极坐标下边界半径满足 .
所以 . 由周期性得 .
又 ,所以 .
,故 正确. 故选 ABD.
方法四: 对 ,点在 上时, ,
当且仅当 时取等号. 点在 上时,
,
当且仅当 时取等号. 综合得曲线 上任一点到原点距离的最小值为 正确.
对 ,将 化为极坐标方程为 . 以 替换 ,
且 ,原方程不变.
则曲线 绕原点旋转 后与自身重合. 因为曲线 关于 轴、 轴、 、
对称,结合旋转对称性可知,共有 8 条对称轴 正确.
对 ,取直线 . 联立 ,得 1 个交点.
联立 ,得 2 个交点.
联立 ,得 2 个交点.
联立 ,得 0 个交点.
此时公共点个数为 ,为奇数, 错误.
对 ,由 可知,曲线 围成的封闭图形包含以原点为圆心、 为半径的圆,则 . 由 可知,封闭图形由 16 个全等的区域组成,在 内边界为 .
令 .
因为 ,则 ,得到 . 综合可得 , 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知数列 为公比为 3 的等比数列,且 ,则 ________.
【答案】729
【解析】 .
13.已知双曲线 右焦点 也是抛物线 的焦点， 两曲线在第一象限的公共点为 ，且 垂直于 轴，则双曲线的离心率为_______.
【答案】
【解析】 轴,则 且 即 .
14.在三棱锥 中,直线 平面 . 设直线 与平面 所成的角为 ，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】方法一: 如图建系,
外接圆半径
外接圆: ,令
,平面 的法向量
,即 .
方法二: .
因为 平面 ,所以 在平面 上的射影为 在平面 上的射影为 .
在 中,设 ,由正弦定理得 ,
. 当 时, ,此时 .
因此 .
方法三: 平面
在图中优弧 上运动, 为圆心且 ,圆半径
.
方法四: 平面 ， 平面 ， ， 在平面 上的射影为 直线 与平面 所成的角 .
在 Rt 中, .
在 中,由正弦定理得 ,
,
.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 的图象关于点 中心对称.
(1)求 ；
(2)在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，且 ,求角 .
【解析】(1)

关于 中心对称,
(2)由(1)知
或
或

,当 时, ; 当 时, .
16.如图三棱锥 中， ，平面 平面 ， 平面 平面 .
(1)证明: 平面 ；
(2)若二面角 的正切值为 2，求三棱锥 的体积.
【解析】(1)过 作 于点 ，过 作 于点
平面 平面 ,平面 平面
平面 且 平面 重合于
平面 .
(2) 平面 平面 平面 平面 取 中点 平面
过 作 于点 ,连接 即为二面角 的平面角,
.
17.已知函数 ,其中 .
(1)当 时,
(i) 求曲线 在点 处的切线方程;
(ii) 求函数 的单调区间;
(2)若 ，求 的取值范围.
【解析】
(1)(i) ，切点
切线方程为 ,即 .
(ii) 令 ,令
的单减区间为 ,单增区间为 .
(2) 恒成立,显然
在 上单调递增
注意到 时, 时,
唯一的 使 ,即
且 在 上单调递减; 上单调递增
只需
,令 ,
在 上单调递增,而 ,
综上: 的取值范围为 .
18.在平面直角坐标系 中， 是两定点，动点 与 、 连线的斜率之积为 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)过点 的直线 与 的轨迹相交于点 ，直线 与直线 分别交于点 .
(i) 证明: ;
(ii) 记 的面积分别为 ，且 ，求直线 的方程.
【解析】方法一: (1) 设 ( 的轨迹方程).
(2)(i)设直线 的方程为 ，

直线 方程: ,同理
,
(ii) ,同理
由
而
代
直线 的方程为:
即 .
方法二: (1) 设 ,则
故动点 的轨迹方程为 .
(2)由(1)知轨迹为椭圆
因 需确定, 不为 轴,设
设 则
联立 得
令 ,则
直线 与 交于 ,直线 与 交于 ,所以
其中
(i) 证明:
而
,又
.
(ii)
又
因为 在 上, ,所以
又
同理
而
由题意
,又 ,所以
或 .
方法三: (1) 设动点 ,
化简得 ,由于连线斜率存在, ,
动点 的轨迹方程为 .
(2)(i)证明:设直线 的方程为 .
.
直线 方程为 ,令 ,得 .
同理得 ,

,
.
(ii) 三点共线, .
.
同理得 ,
由 (i) 知 .
.
.
直线 的方程为 ,即 或 .
19.某气象观测网在沿海某干线上部署了 个自动气象站，按照自南向北依次编号为 1,2,..., n. 为测试数据回传系统, 控制中心下发了两次数据抽取指令. 每次指令均从这 个气象站中随机选中一个作为目标(每次指令的目标相互独立). 记第一次指令选中的气象站的编号为 ,第二次指令选中的气象站编号为 .
(1)若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧, 则称为 “顺向传输”. 请分别计算触发 “数据重载” 与 “顺向传输” 的概率;
(2)为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将 与 中的较大值记为 (即相对偏北的站点编号),将 与 中的较小值记为 (即相对偏南的站点编号).
(i) 记两次指令的选中编号之和为 ,即 ,求 ;
(ii) 定义两次指令的空间跨度 ,证明: .
(参考公式: )
【解析】方法一: (1) 数据重载的概率 ,顺向传输的概率 .
(2) (i)
而
(ii) 的所有可能取值 为
当 时, ,当 时
的气象站编号 分两种情况:
① ，此时 共有 种由对称性 也有 种
方法二: (1) 基本事件总数为 .
数据重载: ,共有 种, .
顺向传输: ,共有 种,
(2) .
又 ,
.
(ii) ,当 时, .
当 时,
对应数对为
以及 ,
共有 种, .
.
.