山西省阳泉市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山西省阳泉市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），文件包含天壹名校联盟2026届高三年级4月质量检测生物pdf、天壹名校联盟2026届高三年级4月质量检测生物答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
（考试时长：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（共40分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 顶点在原点，焦点是的抛物线方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由题意设抛物线的方程为，因焦点坐标为，则，
，
抛物线的方程为.
故选：B.
2. 若圆：上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：由圆：，得圆：，可得圆心，
因为在圆上存在无数对点关于直线对称，所以直线一定过点.
故选：A.
3. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 5B. 7C. 8D. 9
【答案】C
解析：设等差数列的公差为.
由等差数列性质：，
已知，则，得，
已知，由，
代入得：，解得，
，
综上，.
故选：C
4. “”是“直线和直线垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
解析：当时，两直线分别为和，
根据两直线垂直的判定条件可得：，
所以两直线垂直，充分性成立，
若两直线垂直，则，即，
求解可得或，所以必要性不成立.
所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：由球的体积公式可得，得，
所以时，气球的体积关于半径的瞬时变化率为.
故选：C.
6. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：设各项均为正数的等比数列为，且公比为，
因为其每一项都等于它后面的相邻两项之和，所以，
即，所以，
解得或（舍去）.
故选：C.
7. 设数列的通项公式为，（），若数列是递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：由数列为递增数列，得，，
而，（），则，，
即对恒成立，即小于的最小值，
因为当时，的最小值为，所以.
故选：B.
8. 已知，是椭圆：与双曲线的公共焦点，，分别是和在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：由椭圆方程：，可得半焦距为，
因为四边形是矩形，所以；
由在椭圆上，根据椭圆定义可得，
则，
所以，设双曲线的实轴长为，则，即，
所以双曲线的离心率为．
故选：D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 当时，方程可以表示的曲线有（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
【答案】ABC
解析：当时，方程，该方程表示的曲线为圆，
当时，，方程表示椭圆，
当时，方程，可得，该方程表示两条平行直线，
当时，，方程表示双曲线.
综上所述，该方程可以表示圆，椭圆，双曲线.
故选：ABC.
10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
解析：对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11. 数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”.卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线.设卡西尼曲线的两定点为和，常数为（）.则给出下列四个结论正确的是（ ）
A. 曲线一定过原点
B. 曲线一定关于坐标轴对称
C. 当且仅当时，曲线上存在到，距离相等的点
D. 曲线上存在点使得的面积大于
【答案】BC
解析：设曲线上任意一点，由，
可得，
对于A，将代入上式，可得：，即当时，曲线才过原点，故A错误；
对于B，将x换为，y不变，代入方程，可得方程不变，则图像关于y轴对称；
将y换为，x不变，可得方程不变，则图像关于x轴对称，故B正确；
对于C，到距离相等的点在直线上，将代入曲线方程，
解得，方程有解当且仅当，即，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：BC

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）
12. 已知直线与圆相交于，两点，则______.
【答案】8
解析：由圆，可得圆心，半径，
圆心到直线的距离，
故弦长．
故答案为：8．
13. 甲、乙两物体分别从相距的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动，以后每分钟比前一分钟多运动，乙每分钟运动.甲、乙开始运动后______分钟相遇？
【答案】6
解析：设n分钟后相遇，依题意得，
整理得，解得或 (舍去)，
所以甲、乙开始运动后分钟相遇．
故答案为：6.
14. 如图，某绿色蔬菜种植基地在处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线的方程为______.
【答案】（）
解析：以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如上图所示：
在中，由余弦定理可得，
可得；
设是边界上任一点，则满足，
所以；
由双曲线定义可知，点所在的界线是以为焦点，
实轴长为的双曲线靠近的一支，并且在农贸市场内的部分；
由，可得，
所以双曲线方程为（）.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，且在处的切线方程是．
（1）求实数，的值；
（2）求函数单调区间和极值．
【答案】（1），
（2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值
（1）
因为，所以，
又在处的切线方程为，
所以，，
解得，．
（2）
由（1）可得定义域为，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则在处取得极小值，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
因此极小值为，无极大值．
16. 已知数列中，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（1）
因为，所以，
设，则，
又因为，
所以是以2为首项，4为公比的等比数列.
（2）
由（1）可知，是以2为首项，4为公比的等比数列，
则，
所以

.
17. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）存在；
（1）
证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点.
所以点为的中点，
又因为点为的中点，
所以，
又平面，平面
所以平面
（2）
因，为中点，所以，且，
过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为
（3）
设，则，，
由在平面内可知，即，解得，
所以存在点，当时，点在平面内.
18. 如图，抛物线（）上一点到轴距离是到焦点距离的一半，（）是轴上一点，过点作直线交抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求线段中点的轨迹方程；
（3）过点作抛物线的另一条弦，若直线与轴交于点，连接，，求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
（1）
由题意可得，解得，
故该抛物线的标准方程为.
（2）
设方程为，，
由，得，
则，，
设中点，则，
消去得，，中点的轨迹方程为.
（3）
设，，
则，同理，
又，、、三点共线，
，可得，
整理得，则，.
设方程为，由，得，
则，，同理：，
，
.
19. 已知函数，其中且.
（1）当时，证明：；
（2）讨论的单调性；
（3）求证：对任意的且，都有：.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析 （3）证明见解析
（1）
当时，，，
要证明，即证，即，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，即，
.
（2）
的定义域为，，
当时，，在上单调递增；
当时，，，在上单调递减，
，，在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）
由（1）可得，（当且仅当时等号成立），
令，，则，
，
，