2026届四川省宜宾市高三最后一卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届四川省宜宾市高三最后一卷数学试卷（含答案解析），共40页。试卷主要包含了已知函数，已知双曲线，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数在时取得极值，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．已知函数．下列命题：①函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数；③当时，函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ）
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．84
6．已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )
A．9B．31C．15D．63
8．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为，则C为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
11．函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.
14．记为等比数列的前n项和，已知，，则_______.
15．正方体的棱长为2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, 的取值范围是______.
16．展开式中，含项的系数为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.
（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；
（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设和交点的交点为，求 的面积．
19．（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．
（1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；
（2）求的取值范围．
20．（12分）已知直线：与抛物线切于点，直线：过定点Q，且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为，那么是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．（12分）在角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．
（1）求角A；
（2）若的面积为，求的周长．
22．（10分）已知的三个内角所对的边分别为，向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.
【详解】
因为，所以，
又函数在时取得极值，
所以，解得.
故选D
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.
2．D
【解析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果.
【详解】
，，，
.
故选：.
本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.
3．C
【解析】
由复数除法求出，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得
【详解】
解析：，，
对应点为，在第三象限．
故选：C．
本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．
4．A
【解析】
根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为，最值点即为极值点，由知③错误；令，在和两种情况下知均无零点，知④正确.
【详解】
由题意得：定义域为，
，为奇函数，图象关于原点对称，①正确；
为周期函数，不是周期函数，不是周期函数，②错误；
，，不是最值，③错误；
令，
当时，，，，此时与无交点；
当时，，，，此时与无交点；
综上所述：与无交点，④正确.
故选：.
本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.
5．B
【解析】
画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.
【详解】
该几何体的直观图如图所示：
故.
故选：.
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
6．A
【解析】
求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率．
【详解】
不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，
因为，所以圆心到的距离为：，
即，因为，所以解得．
故选A．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.
7．B
【解析】
根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.
【详解】
执行程序框；；；
；；，
满足，退出循环，因此输出，
故选:B.
本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
8．A
【解析】
试题分析：由题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，∴．
考点：利用导数研究函数极值点
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
9．A
【解析】
由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求.
【详解】
由题意，2c＝8，则c＝4，
又，且a2+b2＝c2，
解得a2＝4，b2＝12.
∴双曲线C的方程为.
故选：A.
本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.
10．C
【解析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.
【详解】
函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中、是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11．A
【解析】
由图根据三角函数图像的对称性可得，利用周期公式可得，再根据图像过，即可求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.
【详解】
由图像可知，即，
所以，解得，
又，
所以，由，
所以或，
又，
所以，，
所以，，
即，
因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到，
所以.
故选：A
本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.
12．D
【解析】
根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.
【详解】
如图所示：
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以渐近线方程为.
故选：D.
本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用二项式定理的通项公式即可得出.
【详解】
的二项展开式的通项公式：，
令，解得.
∴，
解得.
故答案为：-2.
本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.
14．
【解析】
设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，
，
.
故答案为:.
本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.
15．
【解析】
由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的取值范围.
【详解】
连接，如下图所示：
设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径，
由向量线性运算可知
正方体的棱长为2，则球的半径为1，，
所以
，
而
所以，
即
故答案为：.
本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算，正方体内切球性质应用，属于中档题.
16．2
【解析】
变换得到，展开式的通项为，计算得到答案.
【详解】
，的展开式的通项为：.
含项的系数为：.
故答案为：.
本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）20.
【解析】
（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；
（2）的可能取值为：0，10，20，30，1．分别求出取各个值时的概率，即可求出分布列和数学期望.
【详解】
（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，
所以1名顾客摸球2次摸奖停止的概率．
（2）的可能取值为：0，10，20，30，1．
,
∴随机变量X的分布列为：
数学期望.
本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.
（2）将和的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得的面积.
【详解】
（1）曲线的参数方程为（α为参数），
消去参数的的直角坐标方程为．
所以的极坐标方程为
（2）解方程组，
得到．
所以，
则或（）．
当（）时，，
当（）时，．
所以和的交点极坐标为： ,.
所以．
故的面积为．
本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）首先根据题中条件求出椭圆方程，设、、点坐标，根据利用坐标表示出即可得证；
（2）设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出，即可求出范围.
【详解】
（1）依题有，所以椭圆方程为．
设，，，
由为的重心，；
又因为，，
，，
（2）当的斜率不存在时：，，，
代入椭圆得，，，
当的斜率存在时：设直线为，这里，
由，，
根据韦达定理有，，，
故，代入椭圆方程有，
又因为，
综上，的范围是.
本题主要考查了椭圆方程的求解，三角形重心的坐标关系，直线与椭圆所交弦长，属于一般题.
20．（1），（1，2）；（2）存在，
【解析】
（1）由直线恒过点点及抛物线C上的点到点Q的距离与到准线的距离之和的最小值为，求出抛物线的方程，再由直线与抛物线相切，即可求得切点的坐标；
（2）直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线PA，PB的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数使得斜率之和为定值.
【详解】
（1）由题意，直线变为2x+1-m(2y+1)=0，所以定点Q的坐标为
抛物线的焦点坐标，
由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为，
可得，解得或（舍去），
故抛物线C的方程为
又由消去y得，
因为直线与抛物线C相切，所以，解得，
此时，所以点P坐标为（1，2）
（2）设存在满足条件的实数，点，
联立，消去x得，
则，
依题意，可得，解得m