2025-2026学年宜昌市高考数学三模试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年宜昌市高考数学三模试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，“是函数在区间内单调递增”的，已知，，，则，，的大小关系为，双曲线的渐近线方程是等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
6．“是函数在区间内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．若，则“”的一个充分不必要条件是
A．B．
C．且D．或
8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路
12．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津的往返机票平均价格变化最大
C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当
D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．对任意正整数，函数，若，则的取值范围是_________；若不等式恒成立，则的最大值为_________．
14．已知实数，满足约束条件则的最大值为________．
15．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______
16．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知在处的切线与轴垂直，若方程有三个实数解、、（），求证：.
18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆E的标准方程，
（2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值.
19．（12分）已知函数.
（1）若曲线的切线方程为，求实数的值；
（2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
20．（12分）已知的面积为，且.
（1）求角的大小及长的最小值；
（2）设为的中点，且，的平分线交于点，求线段的长.
21．（12分）改革开放年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示在分以上为交通安全意识强.
求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；
已知交通安全意识强的样本中男女比例为，完成下列列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；
用分层抽样的方式从得分在分以下的样本中抽取人，再从人中随机选取人对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有人得分低于分的概率.
附：其中
22．（10分）已知函数.
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.
【详解】
由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.
本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.
2．D
【解析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.
【详解】
解：选项A中直线，还可能相交或异面，
选项B中，还可能异面，
选项C，由条件可得或．
故选：D.
本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.
3．D
【解析】
将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.
【详解】
由图知与有个公共点即可，
即，当设切点，
则，
.
故选：D.
本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.
4．D
【解析】
画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．
【详解】
画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．
表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，
设，结合图形可得或，
由题意得点A,B的坐标分别为，
∴，
∴或，
∴的取值范围为．
故选D．
解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．
5．C
【解析】
根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.
【详解】
根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：
由图可知，该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体，
该几何体的体积为.
故选：C.
本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
，令解得
当，的图像如下图
当，的图像如下图
由上两图可知，是充要条件
【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.
7．C
【解析】
，
∴，当且仅当 时取等号.
故“且 ”是“”的充分不必要条件.选C．
8．D
【解析】
构造函数，利用导数求得的单调区间，由此判断出的大小关系.
【详解】
依题意，得，，.令，所以.所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以，且，即，所以.故选：D.
本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.
9．C
【解析】
根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程是.
故选：C.
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．
10．C
【解析】
以D为原点，DA，DC，DD1 分别为轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值．
【详解】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，，，
取平面的法向量为，
设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ，则sinθ＝|，
直线与平面所成角的正弦值为.
故选C．
本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题．
11．D
【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
12．D
【解析】
根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.
【详解】
对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.
对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确.
对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确.
对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误.
故选：D
本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
将代入求解即可；当为奇数时,,则转化为,设,由单调性求得的最小值；同理,当为偶数时,,则转化为,设,利用导函数求得的最小值,进而比较得到的最大值.
【详解】
由题,,解得.
当为奇数时,,由,得,
而函数为单调递增函数,所以,所以；
当为偶数时,,由,得,
设,
,单调递增,
,所以,
综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为.
故答案为:(1)；(2)
本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.
14．1
【解析】
作出约束条件表示的可行域，转化目标函数为，当目标函数经过点时，直线的截距最大，取得最大值，即得解.
【详解】
作出约束条件表示的可行域
是以为顶点的三角形及其内部，
转化目标函数为
当目标函数经过点时，直线的截距最大
此时取得最大值1．
故答案为：1
本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.
15．
【解析】
由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．
【详解】
解：如图，在四面体中，底面，，，
可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，
则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．
其表面积为．
故答案为：．
本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．
16．
【解析】
解法一：曲线上任取一点，利用基本不等式可求出该点到直线的距离的最小值；
解法二：曲线函数解析式为，由求出切点坐标，再计算出切点到直线的距离即可所求答案.
【详解】
解法一（基本不等式）：在曲线上任取一点，
该点到直线的距离为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，曲线上任意一点到直线距离的最小值为；
解法二（导数法）：曲线的函数解析式为，则，
设过曲线上任意一点的切线与直线平行，则，解得，
当时，到直线的距离；
当时，到直线的距离.
所以曲线上任意一点到直线的距离的最小值为.
故答案为：.
本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算，可转化为利用切线与直线平行来找出切点，转化为切点到直线的距离，也可以设曲线上的动点坐标，利用基本不等式法或函数的最值进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）①当时， 在单调递增,②当时，单调递增区间为,,单调递减区间为
（2）证明见解析
【解析】
（1）先求解导函数，然后对参数分类讨论，分析出每种情况下函数的单调性即可；
（2）根据条件先求解出的值，然后构造函数分析出之间的关系，再构造函数分析出之间的关系，由此证明出.
【详解】
（1），
①当时，恒成立，则在单调递增
②当时，令得，
解得，
又，∴
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
（2）依题意得，，则
由（1）得，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增
∴若方程有三个实数解，
则
法一：双偏移法
设，则
∴在上单调递增，∴，
∴，即
∵，∴，其中，
∵在上单调递减，∴，即
设，
∴在上单调递增，∴，
∴，即
∵，∴，其中，
∵在上单调递增，∴，即
∴.
法二：直接证明法
∵，，在上单调递增，
∴要证，即证
设，则
∴在上单调递减，在上单调递增
∴，
∴，即
（注意：若没有证明，扣3分）
关于的证明：
（1）且时，（需要证明），其中
∴
∴
∴
（2）∵，∴
∴，即
∵，，∴，则
∴
本题考查函数与倒导数的综合应用，难度较难.（1）对于含参函数单调性的分析，可通过分析参数的临界值，由此分类讨论函数单调性；（2）利用导数证明不等式常用方法：构造函数，利用新函数的单调性确定函数的最值，从而达到证明不等式的目的.
18．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，求出，即可得答案；
（2）根据题意可知，，因为，所以可设直线CD的方程为，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到的关系，再代入斜率公式可证得为定值.
【详解】
（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，
当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值.
所以，所以，，
故椭圆E的标准方程为.
（2）根据题意可知，，因为，
所以可设直线CD的方程为.
由，消去y可得，
所以，即.
直线AD的斜率，
直线BC的斜率，
所以
，故为定值.
本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.
19．（1）；（2）或
【解析】
（1）根据解析式求得导函数，设切点坐标为，结合导数的几何意义可得方程，构造函数，并求得，由导函数求得有最小值，进而可知由唯一零点，即可代入求得的值；
（2）将解析式代入，结合零点定义化简并分离参数得，构造函数，根据题意可知直线与曲线有两个交点；求得并令求得极值点，列出表格判断的单调性与极值，即可确定与有两个交点时的取值范围.
【详解】
（1）依题意，，，
设切点为，，
故，
故，则；
令，，
故当时，，
当时，，
故当时，函数有最小值，
由于，故有唯一实数根0，
即，则；
（2）由，得.
所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线在有两个交点”；
由于.
由，解得，.
当变化时，与的变化情况如下表所示：
所以在，上单调递减，在上单调递增.
又因为，，
，，
故当或时，直线与曲线在上有两个交点，
即当或时，函数在区间上有两个零点.
本题考查了导数的几何意义应用，由切线方程求参数值，构造函数法求参数的取值范围，函数零点的意义及综合应用，属于难题.
20．（1），；（2）.
【解析】
（1）根据面积公式和数量积性质求角及最大边；
（2）根据的长度求出，再根据面积比值求，从而求出．
【详解】
（1）在中，由，得，
由，得，
所以，
所以，，
因为在中，，所以，
因为（当且仅当时取等），
所以长的最小值为；
（2）在三角形中，因为为中线，
所以，，所以，
因为，所以，
所以，
由（1）知，所以，或，，
所以，
因为为角平分线，，，
或2，
所以，或，
所以．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用，属于中档题．
21．，概率为；列联表详见解析，有的把握认为交通安全意识与性别有关；.
【解析】
根据频率和为列方程求得的值，计算得分在分以上的频率即可；
根据题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论；
用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.
【详解】
解：
解得.
所以，该城市驾驶员交通安全意识强的概率
根据题意可知，安全意识强的人数有，
其中男性为人，女性为人，
填写列联表如下：

所以有的把握认为交通安全意识与性别有关.
由题意可知分数在，的分别为名和名，
所以分层抽取的人数分别为名和名，
设的为，，的为，，，，则基本事件空间为，，，，，，，，，，，，，，共种，
设至少有人得分低于分的事件为，则事件包含的基本事件有
，，，，，，，，共种
所以.
本题考查独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于中档题.
22．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；
（Ⅱ）构造函数，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围.
【详解】
（Ⅰ）当时，，则.
所以.
又，故所求切线方程为，即.
（Ⅱ）依题意，得，
即恒成立.
令，
则.
①当时，因为，不合题意.
②当时，令，
得，，显然.
令，得或；令，得.
所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.
当时，，，
所以，
只需，所以，
所以实数的取值范围为.
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计
3
0
+
0
极小值
极大值
安全意识强
安全意识不强
合计
男性
女性
合计