江苏省无锡市宜兴市2025-2026学年下学期八年级期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省无锡市宜兴市2025-2026学年下学期八年级期中数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了作图必须用2B铅笔作答等内容，欢迎下载使用。
考试时间为100分钟，试卷满分120分．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合．
2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．
3．作图必须用2B铅笔作答．
4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断．
【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意；
B．是二次根式，故B选项符合题意；
C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意；
D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意．
故选： B．
2. 下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项即可．
【详解】解：A、左边是单项式，不是多项式，不符合定义；
B、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是整式的积，不符合定义；
C、左边是多项式，右边是整式的积，符合因式分解的定义；
D、右边是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，故错误，不符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意；
C、2与不属于同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4. 已知，，则的值是（ ）
A. 8B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，利用整体代入进行求解．
将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可．
【详解】解：∵ ,
又∵，，
∴ 原式．
故选：A．
5. 直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可．
【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图：
∴能拼成的不同平行四边形的个数是3．
6. 估计的值应在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式，原式，根据，可得．
【详解】原式．
因为，
所以．
所以．
所以原式的值在和之间．
故选：B
7. 如图，在中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
8. 如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用．解题的关键在于能够灵活运用这些知识点进行推理和计算．首先确定四边形的形状，然后利用菱形的性质求出的长度，最后得出的长度．
【详解】解：，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，即，
，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形，，
，
，
．
故选：A．
9. 当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】多项式利用平方差公式分解因式，变形后即可作出判断．
【详解】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故选：D．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
10. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得PH＝MF且正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积，从而用a分别表示出线段GF和线段MF的长即可求解．
【详解】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：
由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，
设正方形ABCD的边长为2a，
则正方形ABCD的面积为4a2，
∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等
∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，
∴正方形EFGH的边长GF＝ ，
∴HF＝GF＝ ，
∴MF＝PH＝，
∴ .
故选A．
本题考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解决问题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡上相应的位置．）
11. 若是二次根式，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．二次根式的被开方数是非负数，即，据此求得的取值范围．
【详解】解：依题意得：，
解得．
故答案为：．
12. 请写出一个大于且小于的二次根式_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的比较大小，根据无理数大于且小于即可求解，熟练掌握比较大小的方法是解题的关键．
【详解】大于且小于的无理数可以是，
故答案为：．（答案不唯一）
13. 多项式的公因式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查公因式的确定，根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
【详解】解：多项式中，
系数的最大公约数是4，
相同字母的最低指数次幂是，
因此公因式是．
故答案为：．
14. 如图，点O是的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，，则的周长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平行四边形对角线互相平分得出，再根据三角形中位线定理求出的长，由判定四边形为矩形，利用矩形对角线相等求出，进而求出，最后利用勾股定理求出及，即可求得周长；
【详解】解：连接，
四边形是平行四边形，点是的中点，
点也是的中点，三点共线，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，
点是的中点，
，
在中，，
点是的中点，
，
的周长．
15. 已知二次三项式（k为常数）有一个因式是，则另一个因式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键．
利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案．
【详解】解：设另一个因式为，得，
则，
，
解得，
∴另一个因式为．
故答案为：．
16. 如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是_____________．
【答案】72
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质．直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
【详解】解：∵两个小正方形面积为27和48，
∴大正方形边长为：，
∴大正方形面积为，
∴留下的阴影部分面积和为：
故答案为：72．
17. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，根据正方形的性质和勾股定理求出、，并判断出是直角三角形，再利用勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】解：如图，连接、．
∵正方形和正方形中，
∴，
．
．
．
所以，．
所以，是直角三角形．
由勾股定理得．
因为是的中点，
所以．
18. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，，，点是折线上一动点（点除外），连接，点关于的对称点为点，若点落在矩形的边上，则点的坐标为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】根据轴对称的性质得到，分当点在上，在上时，当在上时，当在上，在上时，结合勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质即可求出点的坐标．
【详解】解：∵点，，，，
∴，，，
∴，
由折叠性质可得：，，
当点在上，在上时，过作于点，则，
设，其中，则，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴四边形，是平行四边形，
∵，
∴四边形，是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴；
当在上时，如图，过作于点，
同理可得：四边形，是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵点关于的对称点为点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在上，在上时，如图，
设，则，
∵点关于的对称点为点，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，解得：，
∴；
综上，点的坐标为或或．
三、解答题（本大题有8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形．
【答案】证明过程见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，由“AAS”可证△ADE≌△CBF，可得ED=FB，AE=CF，可得BE=DF，则可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，∠A＝∠C，AB=DC，
又∵∠1＝∠2，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，DE＝BF，
∴AE+BE＝CF+DF，
∴BE＝DF，且DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的判定和性质．
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可；
（2）先化简括号内的二次根式，再计算括号内的减法，接着计算乘除法，最后计算加法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
21. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
22. 已知，．
（1）_____，_____．
（2）求代数式的值．
【答案】（1）；
（2）59
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）直接将值代入化简即可得出的值，将值代入并利用平方差公式计算即可得出的值；
（2）将化为，再将（1）中的值代入计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：，，
，
；
【小问2详解】
解：
．
23. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形；
（）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：如图，连接，
由（）得，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，已知矩形中，，．
（1）请用圆规和无刻度的直尺，分别在，上找点E，F，使得四边形为菱形；
（2）求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，作的垂直平分线，分别交边、、于点、、，连接、，则菱形即为所求；
（2）设，则，结合勾股定理计算得出，最后再由菱形的面积公式计算即可得出结果．
【小问1详解】
解：如图，连接，作的垂直平分线，分别交边、、于点、、，连接、，
∵垂直平分，
∴，，，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
【小问2详解】
解：∵矩形中，，，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，
解得，
∴，
∴菱形的面积为．
25. 综合与实践
【项目主题】配方法的应用．
【项目准备】
利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即
（1）题干中，因式分解的最后结果是： ；
（2）【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值；
（3）【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）仿照题干计算得出，再结合题干所给式子计算即可得出结果；
（3）设，则，表示出四边形面积，从而即可得出结果．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
∵，，
∴；
【小问3详解】
解：设，则，
∴四边形面积，
∵，
∴，
∴，
∴四边形面积的最大值为．
26. 阅读与思考：下面是某小组研究报告中的一部分，请认真阅读并按要求完成相应的任务．
任务：
（1）请根据思路，完成结论1的完整证明过程；
（2）如图（2），四边形是等腰梯形，其中，，对角线，交于点O．猜想，之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），在中，，．若点Q是平面内一点，且以点M，N，P，Q为顶点的四边形是等腰梯形，则P，Q两点之间的距离为 ．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
（3），两点之间的距离为或
【解析】
【分析】（1）过点A作的平行线，交于点E，则，再证明四边形是平行四边形，得出，结合题意可得，进而得出，再结合平行线的性质证明即可；
（2）证明，即可得解；
（3）分三种情况：当四边形是等腰梯形，，时，连接；当四边形是等腰梯形，，时，过点作于点，分别过点、作的垂线，垂足分别为点、；当作为底时，点和点重合，不存在等腰梯形；分别求解即可．
【小问1详解】
证明：过点A作的平行线，交于点E，
，
则，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴等腰梯形同一底上的两个内角相等；
【小问2详解】
解：，证明如下：
∵四边形是等腰梯形，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，当四边形是等腰梯形，，时，连接，
，
∵，由（2）可得等腰梯形的对角线相等，
∴；
如图，当四边形是等腰梯形，，时，过点作于点，分别过点、作的垂线，垂足分别为点、，
，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
当作为底时，点和点重合，不存在等腰梯形；
综上所述，，两点之间的距离为或．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰梯形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
关于“等腰梯形”的研究
定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图（1），梯形中，，若，则称四边形为等腰梯形．
根据定义，探索等腰梯形的性质，得到如下结论：
结论1：等腰梯形同一底上的两个内角相等，
即，．
证明：过点A作的平行线，交于点E，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴
……
结论2：等腰梯形的对角线……