2025-2026学年山西省晋中市高三（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山西省晋中市高三（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={1,2,3,4,6}，B={0,1,3,5,6}，则A∩B=( )
A. {1,3}B. {1,3,6}C. {1,3,5,6}D. {0,1,2,3,4,5,6}
2.已知复数z满足zi=1−2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=x−1xB. y=ex+e−xC. y= xD. y=tanx
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=4，b=5，c=7，则△ABC的面积为( )
A. 4 6B. 2 6C. 4D. 8
5.已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F的直线l与C在第一象限的交点为P，且|PF|=5，则l的方程为( )
A. 4x+3y−4=0B. 4x−3y−4=0C. 3x+4y−3=0D. 3x−4y−3=0
6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是( )
A. 若α//β，m//α，n//β，则m，n是异面直线 B. 若α⊥β，m//α，n//β，则m⊥n
C. 若α//β，m⊥α，n⊥β，则m//n D. 若α⊥β，m⊥n，m⊥α，则n⊥β
7.已知sinα+2sinβ=csα+2csβ= 62，则cs(2α−2β)=( )
A. 12B. 32C. − 32D. −12
8.已知函数f(x)=−x2+ax,x≤1,aex−1−1,x>1,若f(x)有3个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1)B. (0,1)C. (0,2]D. [12,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校高一年级共有1000人，随机抽取200名学生作为样本，调查了每天体育运动时长(单位：分)，将统计数据分成6组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]，绘制了如图所示的频率分布直方图，则( )
A. 频率分布直方图中a=0.015
B. 样本数据的极差不大于60
C. 样本中位数为55
D. 高一年级运动时长低于60分钟的大约有600人
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|−1
11.已知圆F1：(x+2)2+y2=4，圆F2：(x−2)2+y2=16，动圆P与圆F1外切于点M，与圆F2内切于点N，圆心P的轨迹记为曲线C，O为坐标原点，则( )
A. 曲线C的方程为x29+y25=1(x≠−3)B. |PF1|−2|PF2|≤|F1F2|−1
C. 存在点P使得OP⋅PF2=−2D. cs∠MPN的最大值为−19
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b满足|b|=2，a⊥(a+b)，则|2a+b|= ．
13.已知函数f(x)=ex的图象在x=−1处的切线也是函数g(x)=lnx+a的图象的切线，则a= ．
14.已知正三棱锥P−ABC与正三棱锥Q−ABC的底面重合，且P，Q分别在底面ABC的两侧，AB=2，两个三棱锥的体积之比为3：1，若点A，B，C，P，Q都在球O的球面上，则球O的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足a1=12，n−1an=nan−1+n(n−1)(n≥2)．
(1)设bn=1n⋅an，证明数列{bn}是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)求数列{an+2bn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ACD为正三角形，AB⊥AD，BC⊥CD，E为棱PD的中点．
(1)求证：AE//平面PBC；
(2)若AB=AP=2，求平面EAD与平面EBC夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=alnx−x+1x，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若存在正实数k，使得f(x)>0成立当且仅当x∈(0,k)，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2，右焦点为F(2 3,0)．
(1)求C的方程．
(2)过x轴上一点T(不与C的顶点重合)作斜率为k(k≠0)的直线l1与C交于M，N两点，过原点O作直线l2与C交于P，Q两点，已知MN/​/PQ．
(i)求k的取值范围；
(ii)若|TM|⋅|TN|=|PQ|2，求点T的坐标．
19.(本小题17分)
甲、乙两人进行一局羽毛球比赛，约定比赛规则如下：比赛中两人轮流发球(每次只发一球)，由甲先发球，每赢一球得1分，输球不得分，达到15分且至少领先2分者获胜(当打成14：14后，先多得2分的一方获胜).甲发球时甲得分的概率为12，乙发球时乙得分的概率为23，各球的结果相互独立，已知比赛目前激战至14：14．
(1)若已知比赛结果为16：14，求这局比赛是乙获胜的概率；
(2)求这局比赛甲获胜的概率；
(3)记X为这局比赛结束时甲的总发球个数，求X的数学期望E(X)．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.B
6.C
7.D
8.B
9.ABD
10.ACD
11.BD
12.2
13.2e
14.64π9
15.解：(1)证明：由数列{an}满足a1=12，n−1an=nan−1+n(n−1)(n≥2)，
两边同时除以n(n−1)，得1nan=1(n−1)an−1+1，
设bn=1n⋅an，可得bn−bn−1=1(n≥2)．
由a1=12，得b1=11×a1=2，
所以{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列．
所以bn=2+(n−1)=n+1，可得an=1n(n+1)．
(2)由(1)可得an=1n(n+1)=1n−1n+1，bn=n+1．
所以Sn=(a1+2b1)+(a2+2b2)+⋯+(an+2bn)
=(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)+22(1−2n)1−2
=nn+1+2n+2−4．
16.(1)证明：设F为CD的中点，连接AF，EF，
因为E为棱PD的中点，所以EF//PC，
又EF⊄平面PBC，故EF//平面PBC，
因为△ACD为正三角形，所以AF⊥DC，
又BC⊥CD，AF⊂平面ABCD，
所以AF//BC，
又AF⊄平面PBC，故AF//平面PBC，
因为AF∩EF=F，
所以平面AEF//平面PBC，
又AE⊂平面AEF，
所以AE//平面PBC；
(2)解：连接BD，设BD与AC交于点O，
由题意，AB⊥AD，BC⊥CD，AD=CD，
所以AB=BC，AC⊥BD，故以O为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
从而有OA=OC= 3，OB=1，OD=3，
则A(0,− 3,0)，C(0, 3,0)，B(−1,0,0)，D(3,0,0)，P(0,− 3,2)，E(32,− 32,1)．
由PA⊥平面ABCD，得AP⊥AB，又AB⊥AD，AD∩PA=A，
所以AB⊥平面EAD，即AB为平面EAD的一个法向量，且AB=(−1, 3,0)，
EB=(−52, 32,−1)，BC=(1, 3,0)，
设平面EBC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BC=0n⋅EB=0，即x+ 3y=0−5x+ 3y−2z=0，取y=1，
得n=(− 3,1,3 3)，
可得n⋅AB=− 3×(−1)+1× 3+3 3×0=2 3，|n|= 3+1+27= 31，|AB|= 1+3+0=2，
可得cs=n⋅AB|n|⋅|AB|=2 3 31×2= 9331，
设平面EAD与平面EBC的夹角为θ，
可得csθ=|cs|= 9331，
故平面EAD与平面EBC夹角的余弦值为 9331．
17.解：(1)已知函数f(x)=alnx−x+1x，
因此f′(x)=ax−1−1x2=−x2+ax−1x2(x>0)．
令g(x)=−x2+ax−1，则Δ=a2−4=(a+2)(a−2)，
当−2≤a≤2时，Δ≤0，此时g(x)≤0，f′(x)≤0，故f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a0，记两根为x1=a− a2−42，x2=a+ a2−42，
此时x1+x2=a0，则两根均为负，得f′(x)2时，Δ>0，此时x1+x2=a>0，x1⋅x2=1>0，则两根均为正，且x12时，f(x)=alnx−x+1x，在(0,a− a2−42)，(a+ a2−42,+∞)上单调递减，
在(a− a2−42,a+ a2−42)上单调递增；
(2)注意到f(1)=0．
若a≤2，则f(x)在(0,+∞)上单调递减，
当01时，f(x)0成立当且仅当x∈(0,1)，结论成立；
若a>2，x10，得− 30，所以|TM|⋅|TN|=(1+1k2)|y1⋅y2|=(1+k2)|3t2−9|3−k2，
x=1ky与x23−y29=1联立，消去x得y2=9k23−k2，设P(x3,y3)，Q(x4,y4)，
则y3=3|k| 3−k2，y4=−3|k| 3−k2，|PQ|2=( 1+1k2|y3−y4|)2=36(1+k2)3−k2，
由|TM|⋅|TN|=|PQ|2，得(1+k2)|3t2−9|3−k2=36(1+k2)3−k2，解得t2=15，t=± 15，
故点T的坐标为( 15,0)或(− 15,0)．
19.解：(1)由题意知，再打两球这局比赛结束，所以只有可能是甲连赢两球或乙连赢两球，
记事件A：甲发球甲赢，事件B：乙发球乙赢，事件C：比赛结果为16：14，事件D：乙这局比赛获胜．
所求为P(D|C)=P(CD)P(C)=P(CD)P(CD)+P(CD−)，
P(CD)=P(乙连赢两球)=P(A−B)=P(A−)P(B)=13，
P(CD−)=P(甲连赢两球)=P(AB−)=P(A)P(B−)=16，
所以P(D|C)=1313+16=23．
所以在已知比赛结果为16：14的条件下，这局比赛是乙获胜的概率为23．
(2)方法一(全概率公式)：由(1)知，14：14之后，有3种情况：
①甲连赢两球，甲胜，比赛结束，记作事件E1，则P(E1)=16；
②乙连赢两球，乙胜，比赛结束，记作事件E2，则P(E2)=13；
③甲与乙各赢一球，再次打平，比分为15：15，记作事件E3，则P(E3)=12．
设事件F：这局比赛甲获胜．
由全概率公式有P(F)=3i=1P(Ei)P(F|Ei)=16×1+13×0+12P(F|E3)，
由于比分为15：15与比分为14：14比赛的状态完全相同，所以P(F|E3)=P(F)，
所以P(F)=16+12P(F)，解得P(F)=13，
故这局比赛甲获胜的概率为13．
方法二(分类分步与极限思想)：由(1)知再打2球甲获胜的概率P1=16，打平的概率为12，
则再打4球后甲获胜的概率为P2=12×16，打平的概率为(12)2，
再打6球甲获胜的概率为P3=(12)2×16，打平的概率为(12)3．
依此类推，打2n个球后甲获胜，则需前2(n−1)个球每两个球都打平，此时Pn=(12)n−1×16．
故甲获胜的概率为P=P1+P2+⋯+Pn=16×[(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1]=13×[1−(12)n]，
当n→+∞时，(12)n→0，P→13，故这局比赛甲获胜的概率为13．
(3)比分为14：14平时甲已经发球14个，设之后甲继续发球个数的期望为E，由(1)可得：
①若16：14结束比赛，此时甲继续发球数为1，概率为12；
②若比赛没有结束，比分为15：15平，概率为12，甲继续发球数的期望为E．
从而E=1×12+(E+1)×12，解得E=2．
所以甲的总发球个数的期望为E(X)=14+E=16．