湖南永州市2026年中考第一次模拟考试 数学（含解析）中考模拟

这是一份湖南永州市2026年中考第一次模拟考试 数学（含解析）中考模拟，共10页。试卷主要包含了 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
2.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
3.本试卷包括试题卷和答题卡．满分120分，考试时量120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. 2026B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是2026．
2. 永州历史悠久，文化底蕴深厚，是湖湘文化的重要发源地之一．下列关于永州本土文化的四幅图片中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，对各选项进行判断即可．
【详解】解：A. 是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B. 是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C. 不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D. 是轴对称图形，故本选项不符合题意．
3. 下列各个几何体，其主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：A选项主视图、左视图、俯视图都是圆，三视图相同，故A符合题意；
B选项主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，三视图不相同，故B不符合题意；
C选项主视图和左视图是长方形，俯视图是圆，三视图不相同，故C不符合题意；
D选项主视图和左视图是梯形，俯视图是圆环，三视图不相同，故D不符合题意．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，A错误；
选项B：，B错误；
选项C：，运算结果正确，C正确；
选项D：，D错误．
5. 国家数据局数据表明，至2026年3月，中国日均“词元”调用量已超过了140万亿，表明中国人工智能发展进入了快速增长阶段．将数据“140万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】140万
6. 如图，为的外接圆，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵ 为的外接圆，，
∴根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
．
7. 五张形状、大小、材质完全相同的卡片上分别标有实数1，2，3，4，5，置于不透明的盒中，摇匀后，随机抽取1张，则抽到的卡片上标注为偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵五张形状、大小、材质完全相同的卡片随机抽取1张，所有等可能的结果总数为，其中卡片标注为偶数的结果有种，即和，
∴根据概率公式可得抽到标注为偶数的概率为．
8. 如图，在中，已知于点C，点D是边的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，证明，得到，即可求出的长．
【详解】解：∵于点C，点D是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
9. 甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知甲机器人每天比乙机器人每天少做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵ 设甲机器人每天做个零件，甲每天比乙少做140个零件，
∴ 乙机器人每天做 个零件.
∵ 时间总工作量日工作量，且二者所用时间相等，
∴ 甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为，
∴ 根据时间相等的等量关系，可得方程 ．
10. 如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，函数值y随自变量x的增大而增大
C. 当时，x的取值范围是
D. 方程有两个不相等的实数解
【答案】A
【解析】
【分析】先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可．
【详解】解：由二次函数的图象经过，，三点，可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为，故A正确；
∴对称轴为直线，开口向上，当时，函数有最小值，最小值为，
∴当时，函数值y随自变量x的增大而减小，故B错误；
由图象可知：当时，x的取值范围是或，故C错误；
由可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为，故D错误．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 要使分式有意义，实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0，即可求解．
【详解】解：要使分式有意义，则，
解得，
故答案为：．
12. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键．
使用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
13. 若反比例函数的图象过点，则k=_________．
【答案】-2
【解析】
【详解】试题解析：∵图象经过点（﹣1，2），
∴k=xy=﹣1×2=﹣2．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
14. 为弘扬传统文化，增强学生劳动意识，某学校在端午节前夕举行了包粽子活动．甲同学包了7个粽子，经称重，每个粽子的质量（单位：）依次为：97，98，99，100，101，103，105，则这组数据的中位数为______．
【答案】100
【解析】
【分析】将数据按照从小到大的顺序排序，当数据个数为奇数时，取最中间的数作为这组数据的中位数．
【详解】解：将7个粽子的质量从小到大排序为：，，，，，，，
本组数据共个，为奇数个，最中间的数为，
故中位数为．
15. 如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，可得______．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，利用平行线的性质求出的度数，由作图痕迹可知是的平分线，是线段的垂直平分线，进而求出和的度数，最后利用直角三角形两锐角互余及对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图，
四边形是矩形
由作图痕迹可知，平分，垂直平分线段
，
16. 如图，在中，，，点D为的中点，点P为边上的一个动点，当最小时，______．
【答案】2
【解析】
【分析】作点A关于的对称点，连接交于点E，连接，，得到，当点D，P，三点共线时，最小，即的值，连接，然后证明出是等边三角形，得到，，然后解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点E，连接，，
∴，
∴，
∴如图，当点D，P，三点共线时，最小，即的值，连接，
∵点A和点关于对称，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∵点D为的中点，
∴，，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，其中17-20题各8分，21、22题各9分，23题10分，24题12分，共72分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】先计算括号里的减法，再计算乘法，最后将代入化简结果计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 如图，在平行四边形中，，点O是的中点，过点O的直线分别交，的延长线于点E，F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，由中点的定义得，由对顶角相等得，即可由证明；
（2）由勾股定理求出，由中点的定义得，再由勾股定理求出，由（1）中，得，即可得解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴在中，，
∵点O是的中点，
∴，
在中，，，
∴，
由（1）知，
∴．
20. 为准备中考体育测试，某校九年级开展跳绳（A）、跑步（B）、排球（C）、立定跳远（D）、实心球（E）五种体育社团活动．为了解学生意向，随机抽取了部分九年级学生进行社团项目意向问卷调查，被抽取的学生每人只能从5种社团活动中选择其中一种，且每个学生都要选．现根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图：
意向项目与人数的条形统计图 意向项目与人数的扇形统计图
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的九年级学生人数为______人，请直接补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中表示愿意参加“实心球（E）”社团的圆心角的度数为______；
（3）若该校九年级人数为1500人，根据本次调查情况，请估计该校九年级有意参加“排球（C）”社团的人数．
【答案】（1）120，补全条形统计图见解析
（2）
（3）人
【解析】
【分析】（1）将有意参加跑步（B）社团的人数除以其所占百分比即可求出本次抽取的九年级学生人数；先求出有意参加排球（C）的学生人数，再补全条形统计图即可；
（2）乘以愿意参加“实心球（E）”社团的学生人数的占比即可；
（3）1500乘以本次调查中有意参加“排球（C）”社团的学生人数的占比即可．
【小问1详解】
解：本次被抽取的九年级学生人数为：（人）；
有意参加排球（C）社团的学生人数为：（人）；
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：表示愿意参加“实心球（E）”社团的圆心角的度数为：
；
【小问3详解】
解：（人），
答：请估计该校九年级有意参加“排球（C）”社团的人数为人．
21. “湘超”及“”群众足球赛期间，江苏和黄石的企业主动助力永州特色农产品销售．其中甲企业购买了200箱道县脐橙和100袋江永香柚共花费16000元；乙企业购买100箱脐橙和300袋香柚共花费23000元．
（1）每箱脐橙和每袋香柚分别需要多少钱？
（2）丙企业准备购买脐橙和香柚共500箱（袋），总费用不超过26000元，最多可购买香柚多少袋？
【答案】（1）每箱脐橙50元，每袋香柚60元
（2）最多可购买香柚100袋
【解析】
【分析】（1）根据两个企业的购买总花费，设出单价未知数后列出二元一次方程组求解即可得到单价；
（2）根据总费用不超过26000元的限制，设出香柚购买量后列出一元一次不等式求解，取符合条件的最大整数得到结果．
【小问1详解】
解：设每箱脐橙需要元，每袋香柚需要元，
根据题意得，
化简得，
解得，
答：每箱脐橙50元，每袋香柚60元；
【小问2详解】
解：设可购买香柚袋，则购买脐橙箱，
根据题意得，
解得，
即最多可购买香柚100袋．
22. 永州迴龙塔位于潇水东岸，是一座明代楼阁式砖塔．为了测量塔高，某数学兴趣小组按如下步骤进行实践测量活动，如图：
步骤一：在C处用测角仪测得塔尖点A的仰角为；
步骤二：再向前走到达D处，此时测得塔尖点A的仰角为．
已知C，D，B三点在同一水平直线上，测角仪的高度为，根据测量数据计算迴龙塔的高度．（结果保留整数）
（参考数据：，，，，，）
【答案】
【解析】
【分析】分别解和得到，，再根据，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得，，，，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴AB=AG+BG=35.6+1.7≈37m，
答：迴龙塔的高度为．
23. 如图，在中，已知是的切线，A为切点，连接并延长与交于C，D两点，B是上一点，弦与交于点E，．连接并延长，交的延长线于点Q．
（1）当时，______；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）60 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直径对应的圆周角等于得，，即可求解；
（2）连接，由得，则结合已知可推出，再根据得，即可得出结论；
（3）设交于，连接，，由切线长定理得到垂直平分，则，则，设，则，，根据，解得，再根据是中位线，得到，最后证明，，代入计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知，是的直径，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问3详解】
解：设交于，连接，，
∵、是的切线，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，，，，
∵是直径，
∴，
∴是中位线，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得．
24. 如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F．
①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长；
②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点P的坐标为或
（3）①；②当在之间时，；当在右边时，；当在左边时，，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于点，利用交点式求解析式即可；
（2）∵先求出直线解析式为，当在轴上方时，点在直线上，
即为直线与抛物线的交点，求出直线解析式与抛物线联立解得；当在轴下方时，由，得到，求出直线解析式与抛物线联立解得；
（3）①在（2）的条件下，点P在x轴下方时，，由，得到，求出直线解析式为，设，过作轴于，过作轴于，先由，得到，再证明，求出，得到，代入直线解析式解得，最后根据求解即可；
②由得到，由可得，再根据当点与、之间的位置关系分情况讨论，得到的关系，即可得到与的关系．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象与x轴交于点，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：∵与y轴交于点C，
∴，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
∵对称轴为直线，
∴直线与对称轴交点坐标为，
∵二次函数的图象与x轴交于点，
∴关于对称轴对称，
∴，
当在轴上方时，
∵，，
∴点在直线上，
即为直线与抛物线的交点，
设直线解析式为，
把，代入得74=−12k1+b10=3k1+b1，解得，
∴直线解析式为，
联立y=−12x−3y=−16x+4x−3，解得或，
∴；
当在轴下方时，
∵，
∴，
∵直线解析式为，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
联立y=12x−3y=−16x+4x−3，解得或，
∴；
综上所述，当时，点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：在（2）的条件下，点P在x轴下方时，，
∵，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
∴设，
∵，
∴，
①过作轴于，过作轴于，则，
∵点F恰好与原点O重合，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上任取一点D，直线解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
同理由可得，
当在、之间时，，
∴；
当在右边时，，
∴；
当在左边时，，
∴．