2026年江西萍乡市九年级学业水平模拟考试数学试卷（含解析）

这是一份2026年江西萍乡市九年级学业水平模拟考试数学试卷（含解析），共37页。
2．本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. -2的倒数是（ ）
A. -2B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解．
【详解】解：-2的倒数是-，
故选：B．
本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握．
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对应运算法则逐一计算各选项即可判断正误．
【详解】解：，∴ A错误；
∴ B错误；
，∴ C错误；
，∴ D正确．
3. 榫卯结构是我国古建筑中极为精巧的发明，体现了我国劳动人民的智慧和工匠精神．榫卯的凸出部分称为榫，凹进的部分称为卯，榫和卯咬合，起到了连接和固定的作用．如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了俯视图的概念，熟练掌握俯视图的定义（从物体上方观察得到的平面图形）是解题的关键．先明确“俯视图”是从物体上方观察得到的视图，再分析卯的形状，从上方观察其轮廓与线条特征，对比选项得出答案．
【详解】解：由题意可得
卯的俯视图是，
故选：C．
4. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可得到答案．
【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，
∴的被开方数满足，
解不等式得．
5. 如图，某校八年级某班的全体同学最喜欢的球类运动用的扇形统计图来表示，下面说法中错误的是（ ）
A. 喜欢足球的人数最多
B. 喜欢乒乓球的人数占全班总人数的25%
C. 喜欢排球的人数占全班总人数的
D. 喜欢足球的人数是喜欢篮球的人数的2倍
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查扇形统计图，喜欢排球的人数占全班总人数的比例．
【详解】喜欢排球的人数占全班总人数的比例，C选项说法错误，该选项符合题意．
故选：C
6. 如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了动点轨迹和最短路径问题，解题的关键是画出对应图形，找出G的轨迹在一个圆上，再由“将军饮马”模型求出最小值．
【详解】解：当E在上，F在上时，由这两点运动速度相同，故，由正方形性质知，，
由
，
，
，
，
故由圆周角性质得G在以为直径，中点O为圆心的圆上，以为对称轴将点B翻转上去得到点，如图所示
则 ，故 三点共线时最短，若 三点不共线，则 中 ，
故当 三点共线时最短，此时 四点共线，由于圆的半径为1， ，
故由勾股定理得 ，
最小为 ，
此时实际上E在上，F在上，如图所示
此时，但不变
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上）
7. 写一个小于3的无理数：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算．根据无理数估算的方法求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
8. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：x2−16=x2−42=x+4x−4．
9. 如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则___________ °．
【答案】115
【解析】
【分析】本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形对角互补，圆周角定理等知识点．作出弧所对的圆周角，根据内接四边形对角互补求出即可．
【详解】解：作出弧所对的圆周角，
∵，,
∴，
∵沿着弦折叠，
∴，
故答案为：115．
10. 若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求解参数的取值范围，先分别解出两个一元一次不等式，再结合不等式组有解的条件，推导参数的取值范围即可．
【详解】解：
由①得：
由②得：
关于的不等式组有解
即．
11. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________．
【答案】1
【解析】
【分析】过点作于H，由旋转的性质可得，则可求出，再根据图形面积之间的关系可证明，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点作于H，
由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴．
12. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．平移得到，点A，B，C的对应点分别为，，．当有两顶点在二次函数的图象上时，的长度为______
【答案】2或6或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，能运用平移的方法表示出平移后点的坐标是解题的关键．注意分类讨论思想有应用．
利用平移的规律分别表示出平移后对应点的坐标，再根据有两顶点在抛物线上，分类讨论，即可解决问题．
【详解】解：当点和点在抛物线上时，

令点坐标为，
因为点是由点向右平移四个单位得到，
则点坐标可表示为，
所以，
解得，
将代入得，
，
故，，
此时点坐标为，
所以．
当点和点在抛物线上时，

令坐标为，
则①．
因为点是由点向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
则点坐标可表示为，
所以②，
由①②得，
，
所以．
此时点坐标为，
所以．
当点和点在抛物线上时，

令坐标为，
则①．
因为点是由点向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
则点坐标可表示为，
所以②，
由①②得，
，
所以，
此时点坐标为，
所以．
故的长为：2或6或．
故答案为：2或6或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算、证明
（1）；
（2）如图，四点共线，，，求证：．
（3）
【答案】（1）1 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先计算负整数指数幂，锐角三角函数值，零指数幂，再加减即可；
（2）先根据线段的和差可得，根据角度转换得到，再运用证明三角形全等即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
证明：，
，
．
14. 先化简，再求值：，其中，是方程的两个根．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出 ，代入化简结果，即可求解．
【详解】解：原式

∵，是方程的两个根
∴
∴原式.
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15. 如图是的正方形网格，是格点三角形（顶点在小正方形的顶点处），请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，请作线段，且点在边上，使得平分的面积；
（2）如图2，请作线段，且点在边上，使得平分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分，三角形的中线平分三角形的面积解答即可；
（2）根据矩形的性质，中线的性质，平行线的性质，面积的性质作图即可．
【小问1详解】
解：根据矩形的对角线互相平分，三角形的中线平分三角形的面积，作图如下：
则线段即为所求；
【小问2详解】
解：连接交于点G，根据矩形的性质，得到点G是的中点，
连接，
则，
连接，设与的交点为E，
连接，设的交点为Q，
根据三角形中位线，得，
，
，
，
则即为所求．
16. 酚酞溶液是初中化学常用的酸碱指示剂，其特性为：遇碱性溶液变红，遇酸性或中性溶液不变色（仍为无色）．某化学实验小组用酚酞溶液检测了编号为甲、乙、丙、丁的四种无色溶液，结果如下表所示：
已知这四种溶液中只有酸性和碱性两种类型（无中性溶液）．
（1）若从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为___________；
（2）若从这四种溶液中随机选取两种进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵四种溶液中，甲和丁变红色，
∴从这四种溶液中随机选取一种进行检测，则检测到碱性溶液的概率为；
【小问2详解】
解：画表格如下：
共有12种等可能出现的结果，其中恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的结果有8种，
则恰好有一种酸性溶液和一种碱性溶液的概率是．
17. 某新修公路沿线需要进行绿化施工，由甲、乙两工程队合作完成．已知若由甲工程队单独施工，需要30天才能完成此项工程；若由乙工程队先施工30天，剩下的由甲、乙合作施工，则还需10天才能完成此项工程．
（1）求乙工程队单独完成此项工程需要多少天？
（2）若甲工程队每天所需费用为1万元，乙工程队每天所需费用为1.5万元．甲、乙两工程队合作完成此项工程，总费用恰为56万元，则应安排甲工程队施工多少天？
【答案】（1）60天 （2）17天
【解析】
【分析】（1）设乙工程队单独完成此项工程需要天，根据题意，列出方程求解即可；
（2）分甲乙工程队不同合作方式，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，
由题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：乙工程队单独完成此项工程需要60天．
【小问2详解】
解：①设甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲、乙工程队一起施工，共施工天，
则，
解得：，不符合题意，舍去；
②设乙工程队单独施工天，剩下的部分由甲、乙工程队合作施工，合作施工天，
则，
解得：，
③设甲工程队单独施工天，乙工程队单独施工天，剩下的部分由甲、乙工程队合作施工，
则，
解得：，
综上所述，应安排甲工程队施工17天．
本题考查了分式方程和二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 随着无人机技术应用的深化以及管理政策的完善，无人机行业展现出广阔的应用前景．为了解学生使用无人机的情况，数学社团的同学们通过问卷调查获得了数据，并对同一批统计数据进行了整理分析．
【整理数据】
（1）填空：______，“娱乐摄影”对应的圆心角度数为______°．
（2）补全无人机用途的条形统计图．
【分析数据与决策判断】
（3）估计学生每周使用无人机时长的中位数在（ ）之间．
A．25-40分钟 B．40-55分钟 C．55-70分钟 D．85-100分钟
（4）结合进一步的访谈调查发现，同学们对无人机的工业级应用（如快递物流、地理测绘等）并不了解，其中“每周使用无人机时长”在40分钟以上的同学更愿意参与下一步的科普讲座活动，已知全校学生约500人，请估计大约需要准备多少坐席？
【答案】（1）24，216；（2）图见详解；（3）B；（4）大约需要准备260个坐席
【解析】
【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、中位数及频数直方图，解题的关键是理解题意；
（1）根据统计图可进行求解；
（2）由（1）可知：“娱乐摄影”的人数为人，然后可补全条形统计图；
（3）根据中位数的定义可进行求解；
（4）由题意易得个，进而问题可求解．
【详解】（1）解：由统计图可知：被抽取的总人数为（人），
∴，“娱乐摄影”对应的圆心角度数为；
故答案为24，216；
（2）解：由（1）可知：“娱乐摄影”的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：由（1）可知：被调查的总人数为50人，所以中位数为第25和第26数据的平均数，则根据频数直方图可知：中位数为40—55分钟之间；
故选B；
（4）解：由频数直方图可知：
（个）；
答：大约需要准备260个坐席．
19. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为.
（1）求坐垫到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）99.5（2）3.9
【解析】
【分析】（1）作于点，由可得答案；
（2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案
【详解】（1）如图1，过点E作于点，
由题意知、，
∴，
则单车车座到地面的高度为；
（2）如图2所示，过点作于点，
由题意知，
则，
∴.
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．
20. 如图，直线与反比例函数（）的图像交于点和两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x为何值时，；
（3）若点C为直线下方且在x轴上的一点，当时，求的面积．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据反比例函数图像上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点A和点B的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）将不等式变形为反比例函数与一次函数的形式，然后根据函数图像的位置关系确定x的取值范围；
（3）如图，设直线与x轴的交点为D，点C的坐标为，过点C作y轴的平行线，分别过A、B作于点F，于点E，那么为，利用得出点C的坐标，从而得出的长即可得到本题的解．
【小问1详解】
解：点和两点在反比例函数的图像上，
，
，
点A、B的坐标为和，
依题意知：，
反比例函数的解析式为：，
把A、B两点的坐标代入一次函数表达式中：
，
解得：，
一次函数的解析式为：；
【小问2详解】
，即，也就是反比例函数图像在一次函数图像上方，
或；
【小问3详解】
如图，设直线与x轴的交点为D，点C的坐标为，
在直线中，令，即解得：，
，
过点C作y轴的平行线，分别过A、B作于点F，于点E，如下图所示，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（不符合题意，舍去），
检验：当时，，
是方程的解，
，
，
．
本题考查了一次函数和反比例函数的解析式求解以及函数图像的应用，掌握一次函数和反比例函数的特征是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，为的直径，为上的一点，连接，点在的延长线上，且满足，过点作交的延长线于点，交于点．
（1）求证：为的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的判定证明即可；
（2）连接，，证明，，证明即可；
（3）由（2）可知，得到，利用勾股定理和（２）的结论求解即可；
【小问1详解】
证明：连接，则
，
为的直径，
即，
又
为的切线；
【小问2详解】
证明：连接，则，
，
与相切于点
，
，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：（3）由（2）可知，
为的直径
，
；
22. 定义：若一次函数与反比例函数同时经过点，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点为关联点．例如：一次函数与反比例函数都经过点，则就是两个函数的“关联函数”．
（1）判断与是否存在“关联函数”？如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”，如果不存在，请说明理由；
（2）已知：整数满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“关联函数”，求的值；
（3）若一次函数和反比例函数在自变量的值满足的情况下，其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式．
【答案】（1）存在，关联点为或，关联函数为
（2）
（3）“关联函数”的解析式为或
【解析】
【分析】（1）由题意联立与，解方程组即可得出“关联点”和“关联函数”；
（2）由题意根据一次函数与反比例函数，得到它们的关联函数，利用已知得出的关系式，再利用整数满足条件，列出不等式，即可得出结论；
（3）先写出它们的关联函数，求得它的对称轴为直线，然后根据已知的自变量的取值范围分三种情况讨论，即可求得.
【小问1详解】
解：存在关联点和关联函数，理由如下：
整理得：，
解得：，
所以，关联点为或，
关联函数为：；
【小问2详解】
解：由题意知：，
得关联函数为：，
因此可得：
解得：，
，
，
解得：，
是整数，
；
【小问3详解】
解：由一次函数和反比例函数得：“关联函数”的解析式为，
函数的对称轴为：；
当时，即，
，函数取得最小值，即，
解得：或（舍去）；
当，即，
函数在处取得最小值，即，无解；
当即时，
函数在处，取得最小值，即，
解得：（舍去），
综上，或，
故“关联函数”的解析式为或．
六、解答题（本大题共12分）
23. 综合与实践
图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题．
（1）【观察猜想】
如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的值是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________；
（2）【类比探究】
如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点．
①求的度数；
②连接交于点，若，求；
（3）【拓展延伸】
如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，求的值．
【答案】（1）；
（2）①；②；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得和为等边三角形，结合角的和差可得，利用全等三角形的性质可得，结合三角形内角和可得直线与直线相交所成的较小角的度数．
（2）①连接，根据正方形的性质可得， ，证明，根据相似三角形的性质可得．
②连接交于点，根据正方形的性质可得，进而证明，利用相似三角形的性质可得，
进而得出．
（3）连接，根据题意可利用中位线定理和等腰三角形的性质，得，，， ，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和可得，根据勾股定理即可求得，由题意可知，，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，根据相似三角形的性质和判定，勾股定理，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴为等边三角形，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴如图，延长交于点，则直线与直线相交所成的较小角的度数是：．
【小问2详解】
解：①如图，连接，交与点，
∵四边形是正方形，
∴，且，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
②解：补充图，如图所示：
∵是正方形的对角线，
∴，
由①可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问3详解】
解：连接，如图所示：
∵，点、分别是、的中点，
∴是的中位线，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
射线将分成的两个角，
，
旋转后，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，如图所示：
∵，
∴，
又∵，，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，，
∵
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，（舍），
．
溶液编号
甲
乙
丙
丁
酚酞变色
红色
无色
无色
红色

甲
乙
丙
丁
甲

甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙