江苏省镇江中学、镇江市第一中学等校2026届高三下学期适应性训练数学试题（含解析）高考模拟

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命题单位：南京市东山高级中学
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 若空间中四条两两不同的直线，满足 则下面结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. 既不垂直也不平行D. 的位置关系不确定
【答案】D
【解析】
【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可.
【详解】如图所示，取，，，
当取时，，当取时，，排除ABC.
故选：D.
2. 已知复数，其中是虚数单位，，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据复数除法的法则将变形，再根据复数模的公式计算即可得解.
【详解】因为复数
，
所以.
3. 集合的子集个数是（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 无数个
【答案】A
【解析】
【详解】由2−xx−4+12≥0 ，得−xx−4≥0 ，即xx−4≤0x−4≠0，
解得，所以，
所以集合的子集个数是.
4. 在等差数列中，，，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】运用等差数列通项性质求解.
【详解】设等差数列公差为d，那么.
5. 计算保留到小数点后3位的结果是（ ）
A. 0.945B. 0.905C. 0.904D. 0.903
【答案】C
【解析】
【分析】由0.9910=1−0.0110结合二项式展开式计算前四项的和即可求解.
【详解】0.9910=1−0.0110=C100⋅110⋅−0.010+C101⋅19⋅−0.011+C102⋅18⋅−0.012+⋯+C1010⋅10⋅−0.0110，
由于展开式的第一项C100⋅110⋅−0.010=1 ，第二项C101⋅19⋅−0.011=−0.1 ，
第三项C102⋅18⋅−0.012=0.0045 ，第四项C103⋅17⋅−0.013=−0.00012 ，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略，
由，
所以保留到小数点后3位的结果是.
6. 若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（ ）
A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角，从而选出正确答案.
【详解】BA⃗BA⃗,BC⃗BC⃗分别是非零向量BA⃗,BC⃗同向的单位向量，
因为BABA+BCBC⋅AC=0 ，所以角的角平分线与垂直，
即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形.
由，得.
又，所以.
因此，是等边三角形.
7. 已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解.
【详解】函数的定义域为R，求导得
，而，
当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，f(x)min=f(ln1m)=lnm−1m+1 ，
而当时，，当时，，
函数有两个零点，当且仅当，令函数，
而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增，
又，因此不等式的解集为.
所以实数m的取值范围是.
8. 椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆及所给条件表示出点的坐标，并将其代入椭圆方程，利用将椭圆方程转化为关于的齐次方程，即可求出椭圆的离心率.
【详解】
如图所示，圆是以为直径的圆，点是圆与椭圆在第二象限的交点，
且，则，，
所以点M−ccs30°,csin30°，即M−3c2,c2.
将点的坐标代入椭圆的方程可得−3c22a2+c22b2=1 ，即.
在椭圆中有，将其代入上式，整理可得，
等式的两边同时除以可得3ca4−8ca2+4=0 ，即，
即，解得或.
因为椭圆的离心率，所以，故，解得.
所以椭圆的离心率为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（ ）
A. 直方图中x的值为0.0044
B. 在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70户
C. 估计该小区用户月用电量的中位数不超过
D. 用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过的人数，则
【答案】AB
【解析】
【详解】对于A，由图可得组距为50，根据频率和为1，得50×0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012=1 ，解得，故A正确；
对于B，用电量落在区间内的频率P=50×0.0036+0.0060+0.0044=0.7 ，
由样本容量为100，得用电量落在区间内的户数，故B正确；
对于C，由图可得第一组的频率为，第二组的频率为
，第三组的频率为；
前两组的累计频率为，前三组的累计频率为，
中位数位于第三组内；
设中位数为，则0.3+m−150×0.0060=0.5 ，解得；
，中位数超过，故C错误；
对于D，用电量不超过的频率为前两组频率之和，即；
用频率估计概率，从该小区抽取1人，其用电量不超过的概率.
从该小区抽取10人，设X表示用电量不超过的人数，
则X服从二项分布B10，0.3，则EX=10×0.3=3≠1.5 ，故D错误.
10. 已知O是坐标原点，抛物线的焦点是点F，，B，C是抛物线上的三点，点T在圆上运动，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 如果，则直线BC与x轴的公共点为
D. 如果直线AB，AC均与圆M相切，则直线BC的方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，将点代入抛物线，得到方程后再求解即可；对于B，的最小值，等价于求圆心到​的距离减去半径;对于C，联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可；对于D，运用几何法，设切线，求解方程即可.
【详解】对于A：因为在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的准线方程为：，则AF=2+12=52≠3 ，故A不正确；
对于B：根据抛物线定义，等于点到准线​的距离，
要求的最小值，等价于求圆心到​的距离减去半径,
即2−−12−1=52−1=32，所以BT+BF的最小值为，故B正确；
对于C，显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为x=my+t,Bx1,y1,Cx2,y2，
由y2=2x,x=my+t，得，所以，所以，
所以，解得：或，
当时，直线过原点，不满足题意，舍去，
所以，即直线BC与x轴的公共点为，故C正确；
对于D，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即，
又直线AB与圆相切，所以，整理得，即，
同理可得，所以直线BC的方程为，故D正确.
11. 已知数列满足，，，为其前n项和，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据已知的递推公式求出数列的前几项，进而分析数列的规律，再逐一分析选项即可.
【详解】选项A：因为Dn+2=Dn+1+(−1)nDn, n∈N∗, D1=1, D2=2 ，所以：
当时，D3=D2−D1=2−1=1 ，
当时，D4=D3+D2=1+2=3 ，
当时，D5=D4−D3=3−1=2 ，
当时，D6=D5+D4=2+3=5 ，
所以S6=D1+D2+D3+D4+D5+D6=1+2+1+3+2+5=14 ，故A正确；
选项B：由Dn+2=Dn+1+(−1)nDn可得：
当为偶数时，Dn+2=Dn+1+Dn，
则D2n+4=D2n+3+D2n+2，D2n+3=D2n+2−D2n+1，D2n+2=D2n+1+D2n，
将D2n+3=D2n+2−D2n+1代入D2n+4=D2n+3+D2n+2，
可得D2n+4=D2n+2−D2n+1+D2n+2=2D2n+2−D2n+1，
再将D2n+1=D2n+2−D2n代入上式可得：
D2n+4=2D2n+2−(D2n+2−D2n)=D2n+2+D2n，故B正确；
选项C：S2n−1=D1+D2+D3+D4+…+D2n−1，
k=1nD2k=D2+D4+D6+…+D2n,
因为D1=1 ，，D5=2 ，…，所以包含奇数项和偶数项，
因为k=1nD2k只包含偶数项，所以S2n−1≠k=1nD2k，故C错误；
选项D：当时，k=12D2k−12=D12+D32=12+12=2 ，D3⋅D5=1×2=2 ，
所以k=12D2k−12=D3⋅D5，
假设当n=m (m∈N∗) 时，k=1m+1D2k−12=D2m+1D2m+3成立，
当时，k=1m+2D2k−12=k=1m+1D2k−12+D2m+32=D2m+1⋅D2m+3+D2m+32=D2m+3D2m+1+D2m+3，
因为Dn+2=Dn+1+(−1)nDn，所以
D2m+5=D2m+4−D2m+3，D2m+4=D2m+3+D2m+2，D2m+3=D2m+2−D2m+1，
则D2m+5=D2m+3+D2m+2−D2m+3=D2m+2，D2m+2=D2m+1+D2m+3，
综上D2m+5=D2m+1+D2m+3，即D2m+3(D2m+1+D2m+3)=D2m+3⋅D2m+5，
所以k=1m+2D2k−12=D2m+3⋅D2m+5，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______．
【答案】（答案不唯一，也可以是中的任何一个）
【解析】
【详解】，，，，
的负整数的值为.
所以答案不唯一，可以是−4,−3,−2,−1 中的任何一个.
13. 已知关于n的方程为，则_____．
【答案】或
【解析】
【详解】，，，，，
或，
当时，.
当时，A5nA4nC5nC4n=A54A44C54C44=C54A44A44C54=A44A44=576 .
综上可知，的值为或.
14. 函数，，且的值域为______（用表示）．
【答案】
【解析】
【详解】函数，，且，
根据三角恒等式，
可得fx=sin2xk+cs2xk=sin2xk+1−sin2xk，
令，，
设函数gt=tk+1−tk，，且，
求导可得g't=ktk−1−k1−tk−1，
令，即ktk−1−k1−tk−1=0 ，解得，
当时，t1−tk−1，即，单调递增，
因此在时取到最小值，
g12=12k+1−12k=2×2−k=21−k，g0=0k+1k=1 ，g1=1k+0k=1 ，
所以函数的值域为，即函数的值域为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的首项是，且．
（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若，求满足条件的最小整数n的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
，
所以1an+1−1=131an−1⇒1an+1−11an−1=13，
又，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，
可得.
【小问2详解】
由（1）得为等比数列，
设数列的前项和为，Sn=1a1−1+1a2−1+1a3−1+⋯+1an−1=1a1+1a2+1a3+⋯+1an−n=23⋅1−13n1−13，
所以1a1+1a2+1a3+⋯+1an=1−13n+n>2026⇒n−13n>2025 ，
构造函数令fx=x−13x，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数，
为整数，所以当，2025−1320252025 ，成立，
所以满足条件的最小整数n的值为.
16. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为．
（1）求甲连续打前四局比赛的概率；
（2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率；
（3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可；
（2）利用条件概率求解即可；
（3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可.
【小问1详解】
由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜，
第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为，
第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为，
第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为，
所以甲连续打前四局比赛的概率为：.
【小问2详解】
设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局，
对于前四局中第二局乙获胜：
即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为，
第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为，
所以，
在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第3,4局继续轮空
第三局：乙、丙对打，丙胜，概率为，
第四局：甲、丙对打，丙胜，概率为，
所以，
根据条件概率知：.
【小问3详解】
由题意知得分的可能值为：，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以得分的数学期望为：.
17. 已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点．
（1）如果，求实数k的取值集合；
（2）如果，当点M在运动时，
①求出点的轨迹方程；
②求的最大值并求出对应的s的值．
【答案】（1）
（2）
①②；
【解析】
【分析】（1）根据题意，联立方程组讨论和，利用解出的取值集合；
（2）①首先联立双曲线与直线方程，利用唯一公共点的条件得到与点坐标的关系，根据过且与垂直的直线方程可由垂直直线斜率关系得出，将坐标代入该直线方程，得到与坐标的关系，再通过消去k,m,M 的坐标，推导出的轨迹方程；
②由①得到的轨迹方程，将1s2−116t2​转化为单变量函数，利用基本不等式最大值，同时确定对应的值.
【小问1详解】
当，直线方程，
联立双曲线C:x2−y24=1 与直线，代入整理得，
由题知直线与双曲线有唯一公共点，
故当时，即，此时直线与双曲线渐近线平行，仅有一个交点，符合条件；
当时，Δ=(−4k)2+4(4−k2)×8=128−16k2=0 ，解得，
故实数k的取值集合为.
【小问2详解】
①联立与得：，
由唯一公共点且k≠±2 ，得，化简得 m2=k2−4m≠0，
设切点，由二次方程顶点公式得 x0=km4−k2,y0=4m4−k2 ，
故过且与垂直的直线方程为y−4m4−k2=−1k(x−km4−k2) ，
分别令，，得s=5km4−k2,t=5m4−k2⟹k=st，​
将​和m=t(4−k2)5代入m2=k2−4 ，整理得，
即为P(s,t) 的轨迹方程.
②由①知的轨迹方程s2=4t2+25 ，故 1s2−116t2=14t2+25−116t2=12t2−254t2+2516t2，
令u=t2(u>0) ，v=12u−25 ，
原式=vv+10034v+1003=9v4v2+125v+2500
当时原式小于0，故最大值仅在时取得，
当时化简得14u+25−116u=94(v+2500v+125)，
​ 由基本不等式v+2500v≥2v⋅2500v=100 ，当且仅当时取等，
因此 1s2−116t2≤94(100+125)=1100，此时，
得u=254​，即t2=254，代入s2=4t2+25 得，即s=±52，
因此最大值为，对应.
18. 如图，四边形是平行四边形ABCD在平面上的投影（）．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知四边形是边长为的正方形，，，，，，，点和分别是和的中点，设直线DE与的交点为S．
①求证：点S在直线上；
②求平面SCD与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）先证明线面平行，证明面面平行，最后用面面平行的判定定理证明，同理可得两组平行线段，即可证明平行四边形.
（2）①先根据平行四边形和中点得到的中位线，求出为的中点，再用中位线的判定求出是的中点，可得点S在直线上.
②设空间直角坐标系，先求出两个空间向量的法向量，再用法向量夹角的余弦值的绝对值求出平面SCD与平面的夹角的余弦值.
【小问1详解】
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面，
又，平面，平面，
平面，
，平面平面.
又两个平行平面被平面所截，交线为和
所以；同理，
故是平行四边形.
【小问2详解】
①因为是正方形，所以，
又因为，所以，
平面，平面，
所以平面，平面平面于，所以，
又因为，所以为平行四边形，
因为是的中点，在中，由可得,
，即为的中点，
连接，取与的交点为，
在中，为的中点，且，所以，
又因为，此时重合，所以三点共线，点S在直线上.
②在三角形中，，
由余弦定理可得，所以，
所以，所以三角形为直角三角形，
即，所以点是在平面的投影点，又因为，
所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
可得，，，
，，，，
设平面的法向量，
由题意得，，
得到n1⋅DC=0⇒3x1+z1=0n1⋅DS=0⇒x1+3y1−3z1=0，
令，则，故；
设平面的法向量，
由题意得，，
可得n2⋅FE=0⇒3z2=0n2⋅FD'=0⇒x2−3y2=0，
令，，，所以；
设平面SCD与平面的夹角为，两平面的法向量夹角为，
所以.
19. 已知函数，其中，曲线在点处的切线方程为．
（1）求a的值；
（2）证明：当时，；
（3）设，若对任意恒成立，求m的最大值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）2.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即可.
（2）由（1）求出，多次求导确定函数在的单调性即可得证.
（3）令，将不等式等价变形，取并结合（2）的信息确定，在构造函数，结合（2）中信息确定函数单调性而求得整数的最大值.
【小问1详解】
函数，求导得，则，而，
因此曲线在点处的切线方程为y=(1−a)x+a−1 ，依题意，，
所以.
【小问2详解】
由（1）知函数，求导得，
令函数，求导得，
令函数，求导得，
函数，即在上单调递减，而，
则存在，使得，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，又，
即当时，，即，当且仅当时取等号，
因此函数在上单调递增，，
所以当时，.
【小问3详解】
不等式，
令，由，得，原不等式等价于，
依题意，不等式对任意恒成立，
令，则，由（2）知，因此，
而，则，令函数，由（2）知，
则，，令函数，
求导得，当且仅当时取等号，
函数在上单调递减，，因此对任意恒成立，
即当时，不等式对任意恒成立，
所以整数的最大值为2.
6