2025-2026学年江苏省苏州市高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年江苏省苏州市高二（下）期中数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知A（3，5，-7），B（-2，4，3），则=（ ）
A. （-5，-1，10）B. （5，9，-10）C. （5，1，-10）D. （1，1，-10）
2.已知，则f′（4）=（ ）
A. B. -2C. 2D.
3.某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式.当运动员的滑雪路程为38m时，则运动员此时的滑雪速度是（ ）
A. 17.5m/sB. 20.5m/sC. 22m/sD. 153.5m/s
4.线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB=3，BD=4，AC=5，则C，D两点间的距离为（ ）
A. 5B. C. D.
5.已知在上的投影向量是（2，1，1），则=（ ）
A. B. 3C. D.
6.点M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上且，点P在线段AN上且，若，则x+y+z=（ ）
A. B. C. D. 1
7.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.直线FC1到平面AB1E的距离为（ ）
​​​​​​​
A. B. C. D.
8.已知a＞0，函数f（x）=（x-a）lnx在区间（1，e）上不单调，则a的取值范围是（ ）
A. 0＜a＜1B. a＞eC. a＞4D. 1＜a＜2e
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A. B.
C. D.
10.设，两个函数的图象如图所示，则（ ）
A. f（x）的图象是C1，g（x）的图象是C2
B. f（x）的图象是C2，g（x）的图象是C1
C. 当x∈（0，1）时，
D.
11.如图，在四面体ABCD中，二面角A-BC-D的大小为α，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，则（ ）
A. 无论α为何值，BC⊥AD
B. 当AD与平面BCD所成角为45°时，α=90°
C. 当α=90°时，二面角A-CD-B大于60°
D. 当α=120°时，二面角A-CD-B的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数f（x）=x2-1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是 .
13.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的正切值是 .
14.已知a＞0，b＞0，若函数f（x）=alnx-x-bex-1在区间（1，+∞）上单调递减，则的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=60°.
（1）用表示，并求AC1的长；
（2）求证：A1C⊥平面BDD1B1.
16.(本小题15分)
已知函数.
（1）求f（x）的极值；
（2）若对任意x1，x2∈[-3，3]，都有|f（x1）-f（x2）|≤M恒成立，求实数M的最小值；
（3）若过点的直线l与曲线y=f（x）相切，求l的方程.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=3，M是AB的中点，N是B1C1的中点.
（1）求MN与CC1所成角的余弦值；
（2）求平面A1MN与平面ACC1A1所成角的正弦值；
（3）记P是BC1与B1C的交点，在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
现有一块半径为R的圆形铁皮，开展如下设计与优化问题：
（1）若从该圆形铁皮中剪出一个内接等腰三角形（三角形的三个顶点均在圆周上），试问：当等腰三角形的顶角θ取何值时，该三角形的面积取得最大值？
（2）若从该圆形铁皮中剪出一个圆心角为α的扇形（扇形的顶点与圆心重合，弧长对应圆周上的一段弧），并将该扇形制作成一个无盖的圆锥形容器（扇形的两条半径作为圆锥的母线，弧长作为圆锥底面的周长），试问：当扇形的圆心角α取何值时，该圆锥形容器的容积取得最大值？
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+（2-a）x,g（x）=ax2.
（1）当a=1时，
①求曲线y=f（x）在x=1处的切线；
②是否存在实数m,n使得不等式f（x）≤mx+n≤g（x）恒成立，若存在，求出m,n的值；若不存在，说明理由.
（2）若函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】2.1
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】， ，，，
所以
=
=2+22-2-22-2+2=0，
所以，即A1C⊥BD．
=2+2-22=0，
所以，即A1C⊥BB1．
又BD∩BB1=B，BD，BB1⊂平面BDD1B1，
所以A1C⊥平面BDD1B1
16.【答案】f（x）的极大值为；f（x）的极小值为
17.【答案】 存在满足条件的Q，且=
18.【答案】当等腰三角形的顶角时，该三角形的面积取得最大值 当扇形的圆心角时，该圆锥形容器的容积取得最大值
19.【答案】①y=2x-1；②存在实数m，n满足题意，m=2，n=-1 （0，1）