2025--2026学年山东省青岛胶州市第一中学高二下册3月份阶段性质量检测数学试题 [含答案]

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一、单选题
1. 函数 的导数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由，得.
2. 下列函数在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】每个选项求导判断在上是否恒成立.
【详解】对于A，，，不符合题意；
对于B，在上恒成立，符合题意；
对于C，，，不符合题意；
对于D，，，不符合题意.
故选：B
3. 设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求出即得解.
【详解】解：由题得，，
所以.
故选：C
4. 若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.
【详解】依题意知， 有两个不相等的零点，
故， 解得且 .
故选：D.
5. 定义在上的连续可导函数，若当时，有，则下列各项正确的是
A. B.
C. D. 与大小关系不定
【答案】A
【解析】
【分析】根据可得的单调性，由函数连续可知，进而得到结果.
【详解】由得：
当时，；当时，
则在上单调递增，在上单调递减
在上连续
即，
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据函数的单调性比较大小的问题，易错点是忽略函数连续的条件，造成的大小无法确定.
6. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可
【详解】不妨设，定义域为：
对求导可得：
令
解得：（其中舍去）
当时，，则此时该点到直线的距离为最小
根据点到直线的距离公式可得：
解得：
故选：A
7. 已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意转化为存在，使得，即存在，使得，利用导数求在上的最小值即可.
【详解】因为，所以，
因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，
即，令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以.
故选：A
8. 已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据导函数求出函数单调递减，结合函数是偶函数得出，最后应用结合函数的单调性求解即可.
【详解】因为，所以,
令,
因为，所以单调递减，
单调递减，
因为，所以为偶函数，
因为，所以，
当时，
单调递增，
单调递增，
所以.
故选：B.
二、多选题
9. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个选项：
其中正确的选项有（ ）
A. 汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同；
B. 汽车在时间段内不断加速行驶；
C. 汽车在时间段内不断减速行驶；
D. 汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度.
【答案】ABC
【解析】
【详解】时间段内是直线，斜率不变，故汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，
故A正确；
时间段内，切线斜率逐渐增大，故汽车在时间段内不断加速行驶，
故B正确；
时间段内，切线斜率逐渐减小，故汽车在时间段内不断减速行驶，
故C正确；
汽车在时刻的瞬时速度大于，在内，位移不变，故时刻的瞬时速度为，
故D错误.
10. 已知函数的定义域为且的图像是一条连续不断的曲线，的导函数为.若函数的图像如图所示，则（ ）
A. 的单调递减区间是
B. 的单调递增区间是，
C. 当时，有极值
D. 当时，
【答案】AD
【解析】
【详解】根据图像可知当时，，可得；
当时，，可得；
结合的图像是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减；
当时，，仅当时取等号，可得，
对于AB，时，单调递减，
当时，，此时单调递增，
因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误；
对于C，易知当时，，当时，，
即在处左右两侧，函数单调性不改变，因此C错误；
对于D，因为时，，由，可得，
因此，即D正确.
11. 已知函数有两个极值点，则（ ）
A.
B. 当时，有三个零点
C. 当时，仅有一个零点
D
【答案】BCD
【解析】
【分析】求导，根据函数有两个极值点，可得，计算可判断A；分和两种情况讨论可判断BC；利用韦达定理可得，计算可判断D.
【详解】对于A，由，得，
因为函数有两个极值点，
所以有两个不等的实数根，
即有两个不等的实数根，
所以，解得或，故A错误；
对于B，当时，二次函数与轴有两个不同的交点，开口向上，
当时，；当，；当，，
所以是极大值，是极小值，又，则可得有三个零点.
同理可得当时，有三个零点，故B正确；
对于C，当时，由B可知是极小值，又，所以，
此时极大值，所以函数在，函数从递增到有1个零点，
其余区间内无零点，
同理可得当时，函数仅有一个零点，
综上所述：当时，仅有一个零点，故C正确；
对于D，由韦达定理可得，
，
又，
所以，故D正确
故选：BCD.
三、填空题
12. 函数的单调递减区间为__________．
【答案】
【解析】
【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可.
【详解】由题意，函数的定义域为，
求导可得，
令，因为，所以解得.
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：.
13. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是____________．
【答案】25
【解析】
【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为，
因为，直线的斜率为，
所以，，，
所以，
因为，
所以，当且仅当时等号成立.
所以的最小值是25.
故答案为：25.
14. 函数 （>0且）只有一个零点，则 b 的范围________.
【答案】或
【解析】
【分析】通过讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，结合这一特殊点，确定使得函数只有一个零点的的取值范围.
【详解】函数只有一个零点，显然.
即总是零点，由题知函数只有一个零点，即不能有其他的零点.
因为，由于
所以若，则，即
所以单调递增且，所以只有唯一一个零点.
若，则，而
所以导函数为单调递增函数.
当时，，故所以.
同理可以得到当，.
即存在唯一的实数，使得.
即单调递减，在单调递增.
若即，
此时，且，符合只有唯一一个零点.
若，即，此时，则必存在一个零点
又因为，因此有两个零点，不符合题意.
同理，当时，也不符合题意.
故或.
四、解答题
15. 已知函数 .
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求解，
（2）由导数与单调性的关系判断后求解，
【小问1详解】
，则，
而，故在点处的切线方程为
【小问2详解】
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当，最大值为，而，，故最小值为0.
16. 已知函数f(x)＝ax－2lnx．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；
（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；
当a＞0时，令得；令得；
综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
由题意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解
则ax≤x－2＋2lnx，．
令，
所以，因此有
所以a的取值范围为：
【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.
17. 已知函数在时有极值0.
（1）求函数的解析式；
（2）记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0,则，两式联立可求常数a，b的值，从而得解析式；
（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
由可得，
因为在时有极值0，
所以，即，解得或，
当时，，
函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去.
所以常数a，b的值分别为.
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，
，
令，解得，
当或时，当时，，
的递增区间是和，单调递减区间为，
当有极大值，
当有极小值，
要使函数有三个零点，则须满足，解得.
18. 已知函数
（1）讨论函数 的单调性;
（2）若函数 没有极值点，且对任意 ，，且，都有 ，求 a 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）求得导函数，分和两种情况讨论导函数的符号，解不等式即可求得单调区间；
（2）根据（1）中得到的单调性结论，将绝对值不等式转化，构造函数，通过求导数，分离参数后转化为二次函数，即可求得的取值范围．
【小问1详解】
解：求导可得，当时，在上恒成立，
所以在上是减函数；
当时，，得(舍负)，
由得，由得，
所以在上是增函数，在上是减函数.
【小问2详解】
因为函数没有极值点，可得，在上是减函数，
若，则，所以，即，即；
只要满足在上为减函数，
，则，即在上恒成立，
，所以，即的取值范围是.
19. 设函数，直线是曲线在点处的切线．
（1）当时，求的单调区间.
（2）求证：不经过点.
（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：，，）
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明见解析 （3）2
【解析】
【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可；
（2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可；
（3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可.
【小问1详解】
，
当时，；当，；
在上单调递减，在上单调递增.
则的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
，切线的斜率为，
则切线方程为，
将代入则，
即，则，，
令，
假设过，则在存在零点.
，在上单调递增，，
在无零点，与假设矛盾，故直线不过.
【小问3详解】
时，.
，设与轴交点为，
时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知.所以，
则切线的方程为，
令，则.
，则，
，记，
满足条件的有几个即有几个零点.
，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
因为，
，
所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.
【点睛】
关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.
x
g'(x)
＋
0
－
g(x)
↗
极大值
↘