江苏省镇江市多校2025-2026学年高一下学期期中质量监测联考数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省镇江市多校2025-2026学年高一下学期期中质量监测联考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了 已知，求等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1 ．本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨 水的签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡的规定位置。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项的方框涂满、 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3 ．回答第Ⅱ卷时，须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡指定位置上作答，在其它位置作 答一律无效。
第I卷 （选择题，共 58 分）
一、单选题
1．在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可得：.
故选：D.
2．已知分别为△ABC三个内角所对的边，若，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【详解】由正弦定理，，可得，
因，则，故.
故选：A.
3．在△ABC中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在中，是线段上的靠近的三等分点，则，
即，解得.
4．设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得，
即，又与是不共线向量，
所以解得.
故选：B．
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
6．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的最大值为2
C．在区间上单调递增D．的图象关于对称
【答案】C
【详解】由
对A项的最小正周期为，故A错；
对B项的最大值为，故B错；
对C.项当时，有，因为在上单调递增，
所以在区间上单调递增正确；
对D.项，当时，有，所以不是的对称轴，故D错．
故选：C
7．如图，在△ABC中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A．2B．8C．9D．18
【答案】C
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故选：C
8．已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，若△ABC为锐角三角形，，且，求△ABC面积的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为在△ABC中， ，，
所以.
又因为△ABC为锐角三角形，
所以，解得.
又因为，
所以由正弦定理可得：，
由三角形面积公式可得：
.
又因为，所以，则.
故，即.
所以△ABC面积的取值范围是.故选：B.
二、多选题
9．已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．
C．
D．复数在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ABD
【详解】复数，
对于A，的虚部为，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，复数在复平面内对应的点位于第四象限，D正确.
故选：ABD
10．设向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若与的夹角为钝角，则
B．的最小值为9
C．与共线的单位向量是
D．若，则
【答案】AD
【详解】对于A，由向量与的夹角为钝角，得，解得，A正确；
对于B，，当且仅当取到等号，B错误；
对于C，与共线的单位向量有两个，为，C错误；
对于D，由，得，解得，D正确.
11．在△ABC中，，，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．边上的高为B．
C．D．边上的中线为
【答案】ABD
【详解】如图，过点C作于点D，
则向量在向量上的投影向量为，
由已知，所以，
设，则，又，所以，所以，
在中，，又，所以，
所以，，，所以，
在中，易得，
所以边BC的高为，故选项A正确；
在中，由余弦定理的推论得，
又因为，
所以，故选项B正确；
，故选项C错误；
设的中点为，则，
所以，
则，故选项D正确，
故选：ABD.
第Ⅱ卷 （非选择题，共92分）
三、填空题
12. 已知，i为虚数单位，且，则___________.
【答案】0
【详解】因为，则，
故答案为：0.
13．______.
【答案】
【详解】因为，
所以.
故答案为：
故答案为：
14．如图，在梯形中，，，，，，
（1）________．
（2）P是上的动点，则的最小值为___________．
【答案】 4 11
【详解】（1）由题设知：.
（2）若且，
∵，，
∴，
∴，
故当时，的最小值为11.
故答案为：4，11.
四、解答题
已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若是单位向量，且，求与的夹角．
【详解】（1）设，由，且，
得分
所以或
故或分
（2）因为，，且，
所以，即.
所以，分
即.
因为夹角，所以与的夹角．分
16．在△ABC中，
(1)求；
(2)若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，则，
则分
因为，所以，
则有，解得，则分
（2）由题意得，其中，
则，解得，分
由余弦定理得，
因为，则，分
则△ABC的周长为分
17. 已知，求
（1）的值；
（2）的值.
【详解】（1）由， ，，
即，分
，又
即分
（2）易知，，则，又
从而，，分
由（1）知
又，，从而,
则
分
从而分
18．某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设．
（1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大,最大面积为多少；
（2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）．
【详解】解：(1)
∵线段AB长为4百米，所以圆的半径为2百米，即,
当时，由三角形的面积公式得：
，分
，则S=23sin(θ+π6)+3.，
，当，即时取等号，
∴当时，S取得最大值，分
当时，郁金香种植面积最大，最大面积为分
(2)由余弦定理得：
，，
，
令，∵，∴，
，
分
，即时，的最大值为6.
故当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
(1)设函数，试求的伴随向量；
(2)记向量的伴随函数为，在△ABC中，，，求的值；
(3)记向量的伴随函数为，函数，函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域．
【详解】（1），
所以．分
（2）由题意，得．
所以，又C为△ABC的内角，所以．
因为，所以，所以．分
所以．分
（3）由题意，得，故，
∵，∴，分
在[t,π6]上单调递增，在[π6,t+π4]上单调递减，且，
所以，，
此时，；分
∵，∴，∴，
即可得函数的值域为分